Creación de un ábaco pitagórico para el templo de Ra

Proseguimos con la narración sobre Pitágoras relatada por Joshua, hijo de Mishel; donde explica como ingresaron el templo de Ra. Recordemos que se sitúa en el año 535 a.C. y que las notas aclaratorias, las incluimos en letra arial mientras el texto del relato está en cursiva :

El ingreso en el templo de Ra, no fue todo lo feliz que creímos en un primer momento. Tanto Pitágoras como yo, jamás habíamos pensado que entrar de “aprendiz" (o "lego”), supondría tener que comenzar por las cocinas, o por las labores de limpieza. Buenas prebendas se entregaron al clero antes de nuestro examen y considerábamos que con nuestra edad y nuestros conocimientos, lo último que nos correspondía era: Arreglar los refectorios y salas de comida, ayudar a la preparación de alimentos, cosechar y hasta limpiar "las letrinas" (se refiere "posiblemente" a los grandes orinales en cerámica que los egipcios tenían prohibido verter en el Nilo). Pero tristemente, este fue nuestro cometido, al menos durante el primer mes desde que nos internamos entre aquellos; un trabajo nefasto y horrible, que casi nos hace desistir de ingresar en la comunidad, esperando solo que pasara el tiempo y hacerlo en calidad de sacerdotes plenos.

Las dos primeras semanas fueron inolvodables por nefastas y en el día vigésimo primero (se refiere al transcurrir de dos semanas egipcias, cada una de 10 días -tres semanas configuraban el mes de 30-), un sacerdote maestro se acercó hasta nosotros advirtiendo que en nueve noches mas se cumpliría la primera mensualidad desde que habíamos entrado. Por ello, si descubríamos algo verdaderamente importante y útil para el recinto sagrado, quizás podían asignarnos otras labores en aquel lugar y sacarnos de los servicios (casi de esclavitud), a los que nos habían dedicado. Nuestros compañeros de faenas, en estos tristes y penosos trabajos de limpiezas y cocinas, ya nos habían advertido que nosotros (al no ser legos ni esclavos), habiendo ingresado como matemáticos, teníamos la oportunidad de liberarnos de aquel triste rango (el mas bajo existente en la comunidad). Pero que para lograrlo, habíamos de inventar o descubrir algo útil y desconocido en el templo; por cuya idea solamentre nos cambiarían de destino. Aunque eso sí, ya nos habían advertido que ello no supondría nunca recibir el título pleno de sacerdotes del santuario de Ra (para lo cual aún nos quedaban muchos peldaños y pruebas)… 

Desde el momento en que supimos que podíamos solicitar audiencia con los sacerdotes sabios, para exponerles una idea nueva y con ello, salir de las labores que nos habían asignado, no paramos de pensar (día y noche). Conociendo bien que para conseguir el cambio a un mejor destino, lo que presentásemos como idea y fuente de sabiduría matemática, había de ser verdaderamente valioso; pues de lo contrario nuestro nuevo trabajo allí, sería mas o menos igual al que hasta ahora hacíamos. De hecho, los esclavos y legos de limpieza nos comentaron que gran parte de los que ingresaban intentando ser matemáticos-sabios de la Casa de la Vida (colegio de sacerdotes con labores de enseñanza e investigación), terminaban marchándose, desesperados y tras meses de compartir las peores tareas con ellos. Pues en repetidas ocasiones intentaban cambiar a destinos superiores, pero sus ideas y proyectos no eran ni valorados, ni tenidos como importantes por los maestros (que les enviaban y reenviaban a refectorios, letrinas y cultivos….).

Por todo ello, Pitágoras y yo, no cesábamos en pensar qué podríamos presentar para recibir un mejor trato y poder cambiar aquel trabajo por algo mas adecuado a nuestra capacidad, rango y edad. De tal manera, decidimos llegar a inventar un ábaco para cálculo, mucho mejor que los que usaban en el templo. Pues los que los sacerdotes tenían para operar, eran hechos con cuentas engarzadas (o con habas unidas) y prácticamente solo servían para multiplicar; siendo con ellos difícil dividir y aún menos hallar las raíces de los cuadrados (o del cubo). Pitágoras, deseaba basarse en su teoría de los números para conseguir diseñar los ábacos y yo no cesaba de pensar en una fórmula cercana a las banquillas de cambistas, tan usadas por los mercaderes judíos (a quienes por aquellas banquetas, con tableros de ábacos marcados para el cálculo y cambio, les denominaban "banqueros"). Ambo pensábamos en acelerar sobreese  método en el que la contabilidad que se realizaba por pequeños cálculos dispuestos en cuadrados, líneas o círculos (de aquí el nombre de cálculo que se  da a las piedrecitas de poco tamaño y color claro, fáciles para usar como cuentas).

Consecuentemente, mi amigo Pitágoras, me explicó que (en su teoría), los números se dividían en grupos, según las figuras que con ellos podíamos hacer; si los representámabos en grupos de cantos pequeños. Algo que es fácil entender y que aprovecho ahora para explicar, poniendo en lo que redacto un círculo redondo “0”, en el lugar de estos cálculos (o piedrecitas).

De tal manera, Pitágoras me enseño que había números cuadrados, que eran los que permitían hacer un cuadrado. El primero de estos era el 4; cuyo cuadrado se representaba así (supongamos que las 0 son cantos):

0  0

0  0

Y que por ello, el cuadrado de 2 era 4, "la raiz del cuadrado" 4 era 2.

Como ocurría también con el 9, el segundo cuadrado que se representaba por 9 piedras dispuestas así:

0   0   0

0   0   0

0   0   0

Por lo que el cuadrado de 3 era 9 y la raiz del cuadrado 9=3  (ya que vemos como este cuadrado se hace con tres filas de tres piedras).

Del mismo modo había números triangulares, del que el primero era el 3, que se representaba así:

  0

0   0

Formando un triángulo perfecto, al igual que el siguente era el 6, así dibujado con piedras:

    0

  0    0

0   0    0

Y el mas perfecto era el 10, que formaba cuatro filas de cálculos, de cuya combinatoria partía gran parte de la filosofía que Pitágoras había aprendido en Mileto, Tiro y Sidón. Donde le habían comunicado y enseñado que esta teoría del número piramidal, era de origen fundamentalmente egipcia e intentaba resolver todos los principios de la matemática en base al número 10. Un número mágico igual a los dedos de la mano, con los que el hombre cuenta y que conforman la base matemática mas sencilla: LA DECIMAL; que habían impuesto e “inventado” los egipcios desde tiempos al menos de Imhnotep (el Gran Arquitecto de época del faraón Djoser, constructor de Saqqara…). (La imposición y regulación de las reglas matemáticas y de medida por este Gran Arquitecto, se datan en el siglo XXVII a.C.)

Aquel 10 dispuesto en forma piramidal era perfecto y de ese decían los egipios y Pitágoras, que nacía la Armonía Universal, habiendo de ordenarse del siguiente modo:

        0

      0   0

    0   0   0

  0   0   0   0

Su equivalencia en números era:

         1              =1

      1  +  1           =2

   1  +  1  +  1        =3

1  +  1  +  1  +  1     =4

Por lo que aquel triángulo primigenio, se consideraba que regía las fórmulas de la armonía universal que se expresaba en base a la división de las piedras que lo componían. De ello, los sacerdotes egipcios, ya nos habían explicado que casi todos los edificios sagrados del Nilo, desde la mas remota antigüedad, conservaban las reglas de esta armonía, que se basaba en las fracciones de lo que llamaba Pitágoras el Tretratkis y decía él que era donde se unían: La razón de la belleza, la matemática y la espiritualidad.

Este triángulo contenía los secretos de arte y matemática, que se podían expresar en unas proporciones dispuestas en quebrados que se originaban entre unas filas y otras; dando como resultado las siguientes fracciones (tomando el número de la fila superior y partiéndolo por el de la inferior):

1/2

2/3

3/4

Que expresados a la inversa (tomando las filas de abajo arriba) son:

4/3

3/2

2/1

Proporciones que para los sacerdotes de Egipto eran sagradas y configuraba el principio del Maat (secreto de la armonía y justicia del Universo), tal como podía observarse en las dimensiones de los edificios de la arquitectura mística faraónica. Fórmula que para Pitágoras fue un verdadero tesoro, que nunca abandonó y del cual partió en todos sus estudios.

Pero no voy ahora (en estas palabras) a explicar mucho más sobre esta joya de la filosofía matemática basada en el número de dedos que hay en la mano; pues ya volveremos al Tetratkis cuando hablemos mas sobre las ideas de los templos egipcios y de los principios matemáticos que instituyo mi amigo Pitagóras. Basados muchos en ese triángulo mágico, que tuvo el samio como dogma indiscutible de toda Armonía; del cual, mas adelante hablaremos. 

Tras este inciso, continúo explicando, como inventamos en base a ello nuestro ábaco de cálculo, para lograr escapar de los peores trabajos que nos habían asignado en el templo (pues aquel se nos ocurrió, gracias a este forma de ver y representar los números):

De tal manera, mientras trabajábamos en las cocinas, el día vigésimo cuarto, nos quedamos mirando un especiero que había sobre una de las mesas del refectorio. Este era un común tablero de especias, que consistía en una madera con agujeros, donde poner cada hierba, picante y las sales, para las comidas. Apenas se usaba en cocina, ya que los sacerdotes tenían prohibido grandes sabores en sus viandas dentro del templo y menos comer con sal; por lo que servía para guardar especias de ofrendas (el dato que nos da sobre el tipo de cocina en los templos, sobria y sin sal ni especias, es real; tanto como que estas se usaba de ofrendas para los dioses). Aquel especiero que vimos en el refectorio, estaba hecho por manos artísticas y de forma especial, por tratarse de un regalo (o encargo) para las ceremonias el templo. Guardaba unas distancias y proporciones perfectas en sus oquedades, tanto como el número esos cuencos y su separación parecía corresponder a un diseño matemático o calendárico.... Me quedé mirándolo y comenté a Pitágoras, el gran trabajo que tenía aquella tabla de madera noble, llena de cuencos dispuestos en líneas guardando unas distancias y separaciones perfectas.

Tras mirarlo detenidamente, le preguntamos al sacerdote sirviente (lego) jefe de cocinas, por la procedencia de ese objeto que parecía valioso y bien trabajado (demasiado bueno como para ser usado de especiero). Este nos contestó que se trataba de un regalo de un fabricante de Senet (Juego egipcio similar al ajedrez - parchis, con base en el calendario) que se hubo arruinado y comió durante mucho tiempo de lo que en esas cocinas sobraba y le daban. Por lo que les había regalado ese tablero, con tantos cuencos (perfectamente labrados y ahuecados) como días tenía el año; y como platos le había dado diariamente el cocinero del templo. Era una pieza grande, con un total de 360 agujeros, divididos en 12 grupos de 30 filas y a un lado, guardaba cinco oquedades más (maravillosamente labradas  y que correspondían a los epagómenos). (se refiere a los cinco dias finales del años egipcio que constaba de 360 más 5 festivos). Lo estuvimos viendo y se nos ocurrió hacer una prueba con este especiero para ensayar el ábaco que estábamos preparando (un tablero de cálculo que deseábamos presentar a examen de sabios en el templo).

Pedimos prestado el especiero al jefe de cocinas y nos lo dejó durante una noche, en la que experimentamos lo que considerábamos un gran invento a presentar: Nuestra idea era la de crear un medio sencillo y rápido por un tablero que permitiera dividir y hallar raíces del cuadrado automáticamente (aún siendo analfabeto....). Lo ideamos por medio de la fórmula explicada y con esta tabla de especias hicimos la útima prueba, viendo que funcionaba perfectamente. Para ello, bastaba con utilizar unos garbanzos o unas habas y “jugar con ellas, de manera matemática”.

De tal forma, dedujimos que para hallar una raíz del cuadrado, bastaba hacer sobre aquel tablero cargado de agujeros, un cuadrado. Rellenando con las habichuelas los cuencos, hasta completar el cuadrado; resultando la raiz del cuadrado, el número de habas o garbanzos (cuencos rellenos) que cada lado tenía...  Finalmente, decidimos que siendo más cómodo y rápido trabajar con alubias (que no rodaban tanto), las dispusimos en sus “saquitos” agrupando las que nos dejaron en las cocinas de ofrendas, de 10 en 10, así hasta cinco mil. Pues las habas y las legumbres estaban prohibidas para comer en el templo, aunque habían de usarse como ofrendas y sobre todo para hacer cuentas de ábacos con ellas. Tras tomarlas y ponerlas en sus saquitos de diez en diez (tal como se vendían en el recinto sagrado para contar o envíar a los dioses como ofrendas sagradas), fabricamos nosotros en arcilla secada al sol (sin necesidad de cocerla) un gran ábaco con la misma forma al especiero pero con cien agujeros por lado:

Era muy similar al susodicho especiero, que había en la cocina; pero mucho mayor y con huecos mas pequeñitos y juntos (donde entraba una alubia perfectamente). Pusimos un total de 100 x 100 vanos, distribuidos de manera perfecta, alineados, equidistantes y numerados del uno al cien (marcado así sus lados y los frentes). Por lo demás, solo necesitábamos unas varillas largas para manejar perfectamente (en recto) las alubias y para trabajar la operación de división. Pues para esta última bastaba con valerse de unos simples listones de madera móviles, que se colocaban sobre estas filas de huecos y alinealos (como veremos). Tras haber fabricado nuestro “invento”, pedimos a consultas llegar hasta el consejo de maestros y les propusimos que nos examinaran de aquellas ideas que podían ser útiles para la comunidad de matemáticos.

 

SOBRE LO QUE LOS SACERDOTES COMENTARON DE NUESTRO ÁBACO, PARA DIVIDIR Y HALLAR RAICES DE LOS CUADRADOS:

Sucedió el dia trigésimo tercero, cuando decidieron recibirnos a pruebas. Pitágoras decía que aquello era buen presagio, pues el número de días que llevábamos en el templo, le sugería que los sacerdotes querían saber de nosotros tras una cifra de jornadas concreta (señalada e importante). Yo no iba tan optimista y cargaba con las 500 bolsas (cada una de 10 alubias), que habíamos pedido prestadas en las zonas de ofrendas, para probar nuestro “experimento matemático”.

Llegamos ante el consejo de sacerdotes, que se había reunido mirando el ábaco con algo de extrañeza, excepticismo y sin saber qué les íbamos a contar, o enseñar. Una vez allí, llegados todos los convocados, el primero que habló fue Pitágoras, quien con mucha seguridad, afirmó que aquel artilugio -que consistía en una tabla hecha de arcilla, con 10.000 agujeros numerados a los lados (cien por cada)-, era un ábaco de dividir cualquier cifra a toda prisa. Los asistentes le preguntaron cómo se usaba y el samio pidió que le diéran dos números, para partir uno por otro. Aquellos propusieron que dividiera 550 entre 15 y el Pitágoras me pidió que yo continuara; solo dijo como nota aclaratoria: Llamaremos en el ábaco “filas”, al alineamiento de huecos en vertical y “líneas”, a las que van de lado a lado (en horizontal).

Fuimos abriendo entonces las 55 bolsas de alubias y tomé un listón de madera, que situé tras la fila número 15 (dejando libres quince filas de huecos, separados con esa madera, del resto del tablero de arcilla).
Mientras hacía aquello, Pitágoras había vaciado algunas de las bolsitas de habas que contenían el total de 550. Yo abrí el resto, y en un momento estaban todas rodando sobre el ábaco entre la fila 1 y la 15.
Dándoles con otra maderita para que se igualaran e introdujeran en las oquedades  superiores, en un momento se cubrieron todos los vanos libres con las habichuelas; completando hasta la línea 36 (de la 37, solo se llenaron 10 cuencos).
Al ser 550 y su divisor 15; llenando las habichuelas todos los agujeros hasta la linea 36 (sobrando 10); Pitágoras dío a toda prisa el resultado que era:

550 : 15 = 36 + 10/15

(Recordemos que en Egipto no había decimales y 36,666... se expresaba 36+10/15)

Los sacerdotes se miraron con cara de poco convencidos, comentando que habíamos tardado mucho y ellos de cabeza quizás pudieron calcular el número antes. Pese a sus injustas quejas, en verdad no habíamos necesitado prácticamente tiempo y por ello, Pitágoras les dijo que propusieran cualquier otro número a dividir, mucho mayor; una cifra entre 10.000 y 100 (auque el número de vanos lo permitían, el de alubias que teníamos solo hubiera dejado calcular 5000 dividido por 100). Aquellos, no quisieron saber mas de divisiones y pidieron que pasáramos a hacerles raíces de los cuadrados.

Les preguntamos de qué número deseaban la raiz del cuadrado, pudiéndo llegarse hasta el 10.000. Nos dijeron que calculasemos la de 150 (que era sencilla).

Operamos sobre el ábaco con toda prontitud, pues la cara de los maestros no era de complacencia.

Tomamos 150 habichuelas; las soltamos agrupadas en una esquina para que fuera formando un cuadrado perfecto sobre los vanos, dándoles golpes con las maderitas. En poco tiempo habíamos conformado un cuadrado de 12 x 12 alubias metidas en sus vanos y sobraban 6. Entonces dijo uno de los maestros con tono de alegría:

-“El resultado es 12 + 6/12”-

En ese momento, Pitágoras se excedió en su gesto, pues sonriendo y con ironía expuso:

-“Eso sería si se tratara de dividir, ya en esas operaciones, el resto corresponde a las habas que sobran, partidas por el divisor (como pasaba antes que salía 36 y 10/15). Pero en las raíces del cuadrado, no es así. Se calcula el resto haciendo lo siguiente:

El resultado de un cuadrado formado con 150 alubias es de 12 y nos sobran 6.

Luego, se divide 150 entre 6: pudiendo realizar la división sobre el tablero ábaco en un momento, aunque, en este caso como es fácil sabemos de cabeza que 150÷6 = 25.

Por lo que el resto es 6/25 y el resultado mas o menos exacto:

La raíz del cuadrado de 150 = 12 + 6/25”-.

(Nota: Obsérvese que en todo el texto habla de "la raiz del cuadrado", nunca de la raiz cuadrada, lo que significa claramente que la antigua idea es hacer un cuadrado con el número del que queremos hallar su "raiz" -el valor de los lados del cuadrado que forma ese número....-. El resultado que sale por el método descrito es casi exacto a la raiz cuadrada que en sistema decimal es: Raiz de 150 = 12,2474)

Quedaron bastante asombrados, sobre todo al saber que el ábaco de 100 x 100 agujeros que habíamos creado permitía hallar raíces del cuadrado hasta el número 10.000 (al disponer de un total de diez mil vanos…). Pero, tristemente, Pitágoras se había confiado en su éxito y al explicar el funcionamiento de nuestro invento, había sonreído demasiado; incluso hasta una vez, de manera irónica. Ello ocurrió cuando un maestro sacerdote (que era tenido por el más sabio y tenía categoría de Supemo, en matemáticas) se confundió y dio rápidamente, como solución  12 + 6/12. Tanto, que aquel se había sentido herido y se marchó de la reunión antes que termináramos, siquiera de explicar por qué el resultado era de 12 + 6/25 y no 12+6/12 como él aseveró…. Yo sabía que aquello sí que era un “mal presagio”, pues Pitágoras desconocía que en Egipto, el respeto se conocía solo con la mirada y con los gestos mas básicos; y aquello había sido una posible humillación para quien se tenía por el mas sabio de la comunidad matemática de Ra, en Uaset…. El Sacerdote Supremo de la Casa de la Vida dedicada a la sabiduría numérica y astronómica del dios Toth...

  

Efectivamente. Aunque los sacerdotes en un principio quedaron muy interesados y divertidos con nuestro ábaco, se fueron rápido y sin querer hablar; diciendo que debían determinar su verdadero valor, siguiendo los pasos de aquél que había salido el primero (siquiera antes de que termináramos de explicar su uso). Se marcharon del "claustro" donde nos habían convocado, diciéndonos que antes de la noche, nos trasmitirían sus juicios acerca de este (y nos darían un nuevo destino en trabajos; si el Consejo Sacerdotal consideraba que éramos merecedores de ello). Volvieron a la tarde, mientras ya nos habíamos incorporado a los servicios de cocina, acercándose hasta el refectorio en donde "trabajábamos para la comida tercera" y nos transmitieron su “veredicto”:

Dijeron que: El ábaco, mas o menos, ya se conocía desde antiguo (según les aseveró aquel Supremo y los sabios de otros templos, a los que habían preguntado y comentado sobre nuestro invento). Pese a lo que quizás, consideraban que seguramente era idea nuestra.... Pitágoras al oír estas palabras se enfureció y dijo en tono "demasiado alto, para un simple aspirante":

-“¡¿Es que en Egipto no hay manera de hacer algo nuevo….?!. ¡¿Es que alguien va a creer que hubiéramos copiado de algún sitio este ábaco, que hemos hecho inspirados en ese especiero de comidas con forma de Senet. Pues no hemos visto mas que ese tipo de utensilios en días, ya que llevamos mas de un mes sin salir de las escobas, los platos, los orinales y los pucheros?!...”-. 

Pronunciado ese triste discurso, les señaló el especiero del refectorio, en el que nos habíamos "inspirado" para aquel ábaco. Al ver semejante gesto y oír este tono de voz, se acercó hasta Pitágoras el mas mayor de los sacerdotes matemáticos, El Supremo, aquel con quien el samio había ironizado sobre el resultado de la raíz del cuadrado…. (quien se habia mantenido apartado del grupo y fuera de la habitación). Le miró a los ojos fijamente y le dijo:

-“Veo que eres griego en todo; hasta en tu forma de hablar, sin respeto ni orden. No te preocupes, en el templo de Amón en Uaset (Luxor, actual Karnak) vas a educar tu disciplina y tu mente a la manera egipcia. Habíamos pensado que para salir de entre los legos y esclavos dedicados a limpieza y cocina, debíais crear un ábaco más. Uno que calculara instantáneamente raíces del cúbo. Para ello, os íbamos a dar dos semanas de tiempo, dejando que estuvierais en una celda cómoda., junto a un estanque y un patio, aislados trabajando, como vivisteis en los dias previos al ingreso. Pero creo que es mucho mejor que mientras pensáis y creaís el citado ábaco de raices del cubo, paséis a la panadería del templo. ¡Pues es seguro, que dos semanas amasando pan y harina, os van a disciplinar la mente y a sanear el cuerpo para diseñar muchos ábacos y muchas buenas tortas ácimas y dulces!...."-

Tras decir aquello, el viejo sacerdote, tomó el bastón en su mano y con gesto adusto y altivo, se marchó, saliendo del refectorio, de manera despectiva. Sus compañeros se acercaron a nosotros y nos concluyeron con voz un tanto triste:

-“Ya sabéis; la última palabra la tenía él y así es: En dos semanas debéis construir un ábaco que calcule en el momento las  raíces del cubo… Para pensarlo, estaréis esos veinte días en la panadería del templo (algo duro, pues hay que amasar y tostar, desde las primeras hasta las últimas horas del día…). De no solucionar el ábaco que os solicitamos, ni inventar algo que sea útil a la comunidad; regresareis a este puesto de limpieza y cocina. Aunque si la vida del templo no os complace, todavía podéis salir de ella”-.

Se fueron los sacerdotes del refectorio, donde estábamos nosotros limpiando sus bancos y sirviendo sus platos y tazas para la cena. Pitágoras y yo nos miramos…. Solo le pude decirle:

-“No me extraña nada lo que les reprochaste. Si yo no lo hice es porque estoy educado en Egipto y no me atrevo a expresar abiertamente mis sentimientos tal como tú eres capaz de hacerlo. No te preocupes, Zeus, Yahvé y el mismo Ra, nos ayudarán a salir de aquí (para bien o para mal)”-.  

Nos quedamos pensativos, muy preocupados meditando sobre cómo podríamos crear un ábaco que calculase las raíces del cubo. Y solo en dos semanas.... Mientras habíamos de amasar y tostar durante veinte dias, el pan del templo....

Muy interesante es ver en este relato, que en la mente pitagórica y en la soluciones matemáticas que en la Antigüedad se daban, se pueden realizar raices cuadradas y divisiones, aún siendo analfabeto. Ello, hoy puede parecernos iverosímil o inútil,  pero entonces, para los cambistas o comerciantes; quienes debían demostrar su honradez a sus clientes y proveedores; pudo ser fundamental. Igualmente lo debía ser para los sacerdotes y guías que en el desierto, que debían calcular la hora y situación de las estrellas de manera semiautomática, para no perderse o regular la jornada.

En próximos relatos, recogeremos otras muchas soluciones que dieron para ábacos y problemas matemáticos similares; medios que quizás hoy, bajo el prisma de la matemática moderna, parezcan inverosímiles e increibles. Aunque como hemos visto, bien ha quedado demostrado, que con unas alubias, un tablero lleno de agujeros equidistantes y unas varillas para manejar las habichuelas; se puede dividir y hallar raices cuadradas (aún siendo analfabeto). Por lo demás, para la multiplicación y suma, se usaba desde los tiempos mas remotos, el ábaco de cuentas (normalmente, dispuestas en filas de cuerdas).