Sobre el cuadrado y en triángulo trazado en el Mar de Salomón

Muchos historiadores de la ciencia, afirman que en época de Salomón, los hebreos apenas tenían conocimientos de geometría ni de matemática (menos de geodesia), estimando el valor de "pi" = 3. Su argumento parte de considerar que en el siglo X a.C.,  las élites judías carecían de mayores conocimientos científicos... Para comprender la preparación que un rabino tenía hace tres mil años, invitamos a los que afirman que eran tan ignorantes, a traducir una sola página del arameo antiguo (valiéndose de cuantos diccionarios o gramáticas necesite y transcribiéndole el alefato a caracteres modernos...). Pronto podrá comprobar que es mucho mas complejo comprender una sola línea en hebreo clásico escrito, que hallar la razón de la "antigua cuadratura del círculo".

Veamos como estas son relativamente simples de encontrar, mediante matemática fáctica:

Algunas razones sobre la cuadratura y la triangulación del círculo que hemos realizado sobre El Mar de Salomón:

Habíamos visto como valiéndonos tan solo de unas cuerdas métricas, podíamos solucionar la "cuadratura y la triangulación" del círculo, tensándolas sobre la pila de abluciones del Templo de Salomón, que estaba marcada con grados (300 coloquíntidas). Del mismo modo, ya hemos explicado que la llamada “cuadratura del círculo”, en la Antigüedad no se planteaba como en la Edad Moderna. Pues modernamente se entiende como “cuadratura”, a una razón matemática absoluta, que solucionase de manera definitiva (y final), la circunferencia con el cuadrado (o el rectángulo) que en su interior, o en su exterior, se trazase. Este último problema, al parecer carece de resolución matemática; por lo que llamaremos “cuadratura del círculo” al concepto antiguo de ella. Siendo esta  una pregunta que en la Antigüedad se hacían, sobre  la razón lógica entre el cuadrado inscrito en una circunferencia (o trazado sobre ella) y el perímetro o diámetro de esta.  Al hablar de ello, ya explicábamos que –al parecer- esta era una de las cuestiónes principales que se hacía a los pretendientes a ingresar a ciertas escuelas de matemáticos alejandrinos. A los que se les entregaba una cuerda con la que habían medido una circunferencia y un cuadrado de igual contorno, planteando cúal era la relación entre ambas figuras, áreas y perímetros .

Vimos que el problema podía solucionarse valiéndose de un “artilugio matemático” similar al Mar de Salomón, que nace del sistema antiguo de estudio de la geometría que se sabe era: Trazar círculos, triángulos y cuadrados sobre la arena o sobre un tablero (y analizarlos). De ello, dijimos que el nombre que le da El Antiguo Testamento a la pila de abluciones del Templo de Salomón, denominándola “Mar”, considerábamos que tenía un significado relacionado con el estudio de la geodesia y la astronomía (fundamentalmente para guiarse en el mar y en el desierto). Conservando en sí mismo una medidas y unos secretos que se relacionaban con la cuadratura, la forma de hallar el perímetros, o fórmulas para encontrar diámetros y volúmenes de la esfera. Todo ello valiéndose de las 300 coloquíntidas (naranjitas) que rodeaban la pila, a modo de grados centesimales colocados en el contorno (equivalentes a los 360 sexagesimales). Pero veamos a qué razones y conclusiones primeras se llega entre la circunferencia y su cuadrado (o su triángulo), con este método de matemática fáctica (que precisa de operar y calcular lo mínimo):

Razones y relación del triángulo y el cuadrado, con su circunferencia:

Tras haber trazado un triángulo equilátero insertado en la circunferencia de la pila del templo de Salomón; algo que se realizaba fácilmente, tensando tres cuerdas métricas de 120^o en 120^o grados sexagesimales (100 grados centesimales que correspondían a 100 coloquíntidas). Comprobábamos que la relación entre perímetro, el diámetro y cada lado de este triángulo se relacionaba con la raíz cuadrada de tres. Dado que:

√3 × Diámetro ÷ 2 = Lado del triángulo equilátero insertado en la circunferencia.

Evidentemente, ello porque √3÷2 es el coseno de 30^o . Debiéndose la aparición de este grado 30, a que desde él hasta el opuesto (grado 150) es donde tensaremos la primera cuerda para crear el lado primero del triángulo equilátero insertado en la circunferencia.

Pero a su vez, veremos que sucede “algo extraño”, multiplicando de nuevo √3÷2 (0,866025403) por uno de los catetos (o lados) del triángulo, pues nos va a dar la altura del triángulo. Es decir:

(√3÷2) × Lado del triángulo = Altura del triángulo

En el caso y ejemplo que analizamos (del perímetro del Mar de Salomón), sería:

(√3÷2) × 8,660254038… Codos = 7,5 Codos

De lo que se deduce que el triángulo equilátero tiene su razón de lados y de altura central en base a coseno de 30^o de la circunferencia en la que se pueda insertar. Coseno que es igualmente √3/4 y que por ello se relaciona plenamente con el coseno de 45^o, que va a darnos la longitud de cada lado del cuadrado insertado en la misma circunferencia.

Puesto que 3/4÷3/2 = 1/2; de lo que siendo coseno de 45^o = √ ½ resulta que:

El área del cuadrado perfecto que se inserta en una circunferencia, será igual al cuadrado del lado de su triángulo equilátero (insertado en la misma) dividido por 3/2. Es decir:

Lado del cuadrado x Lado del cuadrado = Lado del triangulo x Lado del triángulo ÷ 3/2

Lo que en el ejemplo que tenemos resulta con el Diámetro de 10 Codos del Mar de Salomón, como:

Cuadrado=7,071067812 Codos por lado // Triángulo=8,660254038 Codos por lado

De lo que: 7,071067812²  = (8,660254038² ÷ 3/2) = 50 Codos

Pero todo ello, nos lleva a una relación mas curiosa, tal como es la de que el Diámetro multiplicado por el Radio de la circunferencia, es también igual a los dos lados de su cuadrado multiplicados, o al área del cuadrado. Es decir:

Radio × Diámetro = Lado del cuadrado × Lado del cuadrado = Lado del tríangulo² ÷ 3/2

De lo que conociendo simplemente el Diámetro y su Radio, podemos deducir sin necesidad de calcular prácticamente cual es la longitud de los lados de su triángulo equilátero y su cuadrado perfecto, insertado en la circunferencia. Es decir (siendo D, diámetro y R, el radio; L lado ; C Cuadrado y T triángulo):

D × R = LC ² = LT ² ÷ 3/2

De lo que la raíz cuadrada, del Diámetro multiplicado por el Radio, es igual a cada lado del cuadrado : √D×R = Lados del cuadrado

Pudiendo llegar también a deducir los lados del triángulo, porque:

√{(coseno de 45^o)² x 3/2} = coseno de 30^o

coseno de 30^o = √3/4

Pero, tal como vemos, basta con conocer el Diámetro y el Radio, para saber cual el es área del cuadrado; y teniendo el área del cuadrado pronto podemos deducir la del triángulo, dado que el área del cuadrado multiplicado por 3/2 nos dará un total igual a dos lados del triángulo multiplicados.

Pese a ello, tan solo hace falta conocer el diámetro de la circunferencia en la que se va a insertar el triángulo equilátero para conocer la altura y sus lados. Ya que la altura es igual a ¾ de este. Y dado que los catetos son todos iguales, fácil es saber cual serán los lados del triángulo teniendo tan solo el valor de su altura:

Bastará hacer Altura del triángulo dividida por √3/2 = Lado del triángulo

Es decir, que teniendo el Diámetro, para hallar el triángulo completo bastará:

Diámetro × ¾ = Altura   //  Altura÷√3/2 = Lado

(Diámetro × ¾) ÷ √3/2 = Lado del triángulo.

½ del Lado × Altura = Área del triángulo

Por último, veremos otra razón común como es que el Lado del triángulo multiplicado por Lado del triángulo y partido por 2/3; es el igual al área del cuadrado insertado en la circunferencia.

Vamos a explicar los dos casos anteriores con el ejemplo del Mar de Salomón, con

10 Codos de Diámetro

Hallar el triángulo insertado directamente:

10 × ¾ = 7,5 Codos = Altura del triángulo

7,5 ÷ (√3÷2) = 8,660254038 Codos = Lados del triángulo

A su vez (Lado del triángulo)² ÷ 2/3  = Area del Cuadrado = Lado del cuadrado²

Por último el área del triángulo se puede hallar igualmente como Lado del triángulo al cuadrado multiplicado por (√3÷4)

Siendo igual que ½ del Lado × Altura = Area del triángulo, que en nuestro caso es   4,3301270 Codos × 7,5 Codos = 32,47595264 Codos cuadrados

O lo que es lo mismo

8,660254038² × (√3÷4) = 32,4759564 Codos Cuadrados (área en el triángulo)

Como podemos observar, no es necesario tener grandes conocimientos matemáticos, ni siquiera multiplicar (ni menos dividir) operaciones complejas, para obtener las áreas y lados del triángulo y el cuadrado insertado en una circunferencia. Igualmente, hemos visto que no se precisa del número "pi", bastando trabajar con cuerdas, jugando con el  el diámero y el perímetro; lo que nos permitirá hallar relación entre áreas, cosenos, ángulos y contornos. Apareciendo en el triángulo y cuadrado dentro del círculo, razones relacionadas con el número 2 y 3; que son los lados que en ambos casos tienen las figuras geométricas que hemos trazado dentro de la circunferencia. Por lo demás, la comprobación de los hechos descritos, puede ser perfectamente empírica; valiéndose de recipientes en forma cuadrada, triangular o circular, que una vez llenados de agua y medidos por cubicaje; demuestren que las áreas y volúmenes calculados son ciertos.