Demostración de la utilidad matemática del Codo Perimetral, que hemos hallado en El Mar de Salomón (cálculo de areas y volúmenes esféricos, sin precisar de "pi").

Hace ya veinticuatro años, discutíamos con los científicos sobre la posibilidad de la existencia de una matemática empírica y no exacta en la Antigüedad; matemática que pudiera suplir comunmente, las funciones de una ciencia exacta. Muchos de ellos no daban crédito a nuestras ideas, hasta que pudimos demostrarlas. Entre ellas, la que mas interés despertó fue la posibilidad de medir áreas y volúmenes de la circunferencia (y esfera) sin precisar de π y sin necesitar dividir o multiplicar cifra alguna con dificultad. Algo que en un principio les resultó muy llamativo, pero que se explica del siguiente modo:

 

A)-Razonamiento sobre el área en la circunferencia, sin precisar del uso de “pi”:

Para comprender este caso, del cual parte casi toda nuestra teoría de la matemática empírica en la Antigüedad, basta con recordar que el Area de la circunferencia se resuelve comunmente como (siendo r, el radio de la circunferencia):

π × r² = área

Pero dado que π es igual al perímetro partido por el diámetro ( vamos a llamar “P”, al perímetro y “D” al diámetro); resultando que si π = P/D ;  de ello el área de la circunferencia es:

Area = π × r² = P/D × r × r

Y siendo el radio la mitad del Diámetro  r = ½ D  ; la comprensión de su área, resulta algo tan sencillo como:

½ D × ½ D × P/D = Area

Lo nos hace deducir que (D×P) ÷ x = Area

Llegando en dos planteamientos a poder ver que siendo ½ × ½ = ¼ ; "(DxP) dividido por 4", es el área, por lo que:

¼ (D/P) = Area de la circunferencia

O lo que es lo mismo (¼D) × P = Area

CONCUYENDO QUE:

 ¼ del Diámetro, multiplicado por el Perímetro es el Area

 

B)- Teoría sobre método experimental en la Antigüedad, para hallar el área de la circunferencia, sin precisar de π (ni necesitar dividir o multiplicar de forma compleja):

En nuestra idea (que ya expusimos hace veinticuatro años), no se necesita de “pi” ni de grandes conocimientos para poder medir áreas ni volúmenes esféricos. Basta para ello con saber que ¼ del diámetro multiplicado por el perímetro, es su resultado. Conclusión a la que se llegaba de forma empírica, usando un método experimental. A continuación, proponemos un sistema por el cual puede hallar el resultado del área y volúmenes esféficos, de manera fáctica; considerando nosotros que para conocer la capacidad y extensión de espacion circulares en la Antigüedad, pudieron seguir un proceso como el siguiente:

1-      Hágase un recipiente en cerámica perfectamente redondo, ancho y de base plana (como una pila o baño circular y de forma totalmente cilíndrica, con paredes rectas)

2-      Por otro lado, tómese una tabla o piedra plana, mas o menos igual de tamaño que el recipiente cerámico perfectamente redondo que ya hemos construido. Esta segunda superficie plana, servirá como base para ir haciendo sobre ella paredes iguales, creando así  recipientes en cuadrado, que puedan ir midiendo el agua (que mas tarde vamos a echar desde la pila redonda) .

3-      Llenemos de líquido el recipiente cerámico circular, hasta un límite (pongamos para medir este límite, un objeto dentro y así saber exactamente la altura donde debe llegar el agua)

4-      Hagamos un cuadrado perfecto con tablas sobre la segunda base preparada que teníamos. Ya que necesitamos conseguir hacer otra pila (pero resta vez cuadrada) de dimensiones similares, sobre la cual volcando el líquido anterior, cubra exactamente hasta la misma altura que antes.  Para ello, tras poner las paredes al nuevo recipiente cuadrado, cuidaremos de que cuando allí echemos el agua desde la circular, aquella no se salga por sus cantos. Para ello, la sellaremos con brea cada vez que renovemos el tamaño de sus paredes, para que no tenga pérdidas. El cuadrado lo iremos agrandando o haciendo mas pequeño en sus lados, hasta llegar a su medida exacta.

5-      La medida exacta la hallamos llenando de agua el recipiente redondo, hasta llegar al límite puesto en el objeto. Luego pasaresmos el mismo objeto al interior del otro, hecho con tablillas cuadradas (selladas). Cuando quede justo su superficie a la misma altura, ambas pilas seran proporcionales. Pues cuando se llegue a un nivel igual de agua, sobre este objeto en un recipiente cuadrangular, habremos hecho un cuadrado equivalente al círculo anterior (en capacidad y area).

Como podemos comprender, este “experimento”, que lo puede hacer aún hoy un niño valiéndose de un cacharro perfectamente redondo de cerámica y otro regulable en cuadrado; nos va a resolver empíricamente la circunferencia. Debido a que la relación entre "la pila" redonda y la perfectamente cuadrada, es el área y el volumen (a contener la misma cantidad de agua a igual altura). Ello, nos resuelve el problema del área de su círculo, e incluso el volumen de este y de su esfera. Pues para conocer el volumen, bastará con darle un valor "x" a la profundidad del nivel del agua (pongamos por ejemplo 1).

De tal manera, si damos un valor a la altura del agua allí contenida y calibramos la medida de uno y otro recipiente, veremos que la resolución de la capacidad del redondo y el cuadrado será: Diámetro multiplicado por perímetro, dividido por cuatro, es igual al área del cículo (algo que hemos comprobado con la del recipiente cuadrado). Es decir, tal como hemos visto en el epígrafe (A):

Area = (D × P) ÷ 4  

Como hemos dicho, para conocer el volumen del cilindro de una circunferencia, bastará con dar un valor (x) a la profundidad del agua que hay en los recipientes para medirlos. Así si damos valor 1 al nivel del agua, para obtener la cubicación de la circunferencia multiplicada por altura = 1

(¼ D×P) x altura = Volumen del cilindro ( área circunferencia, multiplicada por altura).

Fórmula que podremos hallar fácilmente, al comprobarla empiriamente midiendo el agua que había y el tamaño de los lados en el recipiente cuadrado; viendo así de manera fáctica, que en una circunferencia, el área multiplicada por la altura, es igual al volumen, de su cilindro.

 

C)- Forma de hallar las áreas de la circunferencia en la Antigüedad sin necesitar “pi” (teoría nuestra, que llevamos mas de veinte años planteando):

Tal como ya expusimos hace casi un cuarto de siglo, basta valerse de cuerdas métricas, de las que fabricaban los sacerdotes en la Antigüedad (dividida en partes iguales y proporcionales al Codo, Dedo, Palmo, Pie etc); para hallar de cabeza el área de la circunferencia, sin precisar multiplicar ni dividir, cantidades con gran dificultad. Para ello, sígase el siguiente proceso:

1-      Tomemos un metro de costurero y pensemos que es una cuerda métrica de las que había en los templos en el tercero, segundo o primer milenio a.C. (marcada en proporciones en dedos y codos, tensada y secada).

2-      Midamos la distancia de lado a lado del objeto redondo y luego su contorno. Multipliquemos el valor de ambas medidas (Diámetro por Perímetro) y dividamos el resultado por 4. El total es su área.

3-      Método Segundo mas fácil y sencillo: Medir el Diámetro con una cuerda métrica y dividirla por 4 (doblando el metro en cuatro partes); tras ello multiplicar este D/4 por el Perímetro, para obtener el área.

El sistema es sencillísimo, pues tomaremos la cuerda, mediremos el círculo de lado a lado; tras lo que la doblaremos en cuatro partes iguales: Este cuarto del diámetro, lo multiplicamos por el total del perímetro (tenemos así el área sin necesitar dividir, solo multiplicando una cuerda doblada en cuatro partes, por otra igual al contorno del círculo).

Como vemos, π, no se precisa para calcular áreas en la circunferencia (ni volúmenes). Siendo este tipo de soluciones las en nuestra teoría sobre la matemática de hace miles de años, daban en la Antigüedad, para resolver la circunferencia de manera empírica.

D) Importancia de una medida perimetral, para el cálculo de volúmenes líquidos. EL CODO PERIMETRAL que hemos hallado en el Mar de Salomón (los Codos circundantes a la pila):

1) Uso de los patrones métricos en el templo:
Con las explicaciones anteriores, hemos podido ver como en la Antigüedad no necesitaríamos del número “pi” y ni siquiera saber dividir, para llegar a calcular áreas y volúmenes en la circunferencia. Algo imprescindible para poder comerciar con líquidos en el Mundo Antiguo, dado que la gran mayoría se vendían en recipientes redondos, o circulares (prácticamente no se conoce comercio alguno de líquidos en envases cúbicos). Entre esos recipientes donde se vendía el aceite, el vino o la cerveza; los más comunes eran: El ánfora y el barril, tanto como la tinaja y el cántaro (todos redondos y que precisan de conocimientos matemáticos para saber su capacidad). Pero para entenderlo todo mejor, vamos a poner un ejemplo:

Por cuanto explicamos, para comprender la importancia y uso del Codo (y del Codo Perimetral), vamos a exponer dos casos:

Primero: Supongamos por un momento que nos encontramos en el siglo X a.C. y somos un sacerdote del Templo de Salomón. Hasta nosotros llegan dos fieles al templo en litigio; uno dice que le han vendido vinos en medidas engañosas que guarda un comerciante. Por su parte, el segundo (el vendedor), afirma que no engaña y trae sus recipientes de medida, que son varios juegos de jarras cerámicas perfectamente cilindricas. Nosotros, como sacerdote juez, determinamos medir en el templo aquellos patrones que trae el comerciante y con ello, vamos llenándolos y echándolos en la pilas de cubicaje que el lugar sagrado tiene preparadas para estos casos. Pero las medidas no cuadran, es mas, les sobra. Por ello, quien reclama que le han engañado al comprar diariamente vino, afirma que el comerciante tiene medidas incorrectas y para timarle llena los recipientes hasta un punto. El comerciante afirma que hasta allí es suficiente. Hay otros testigos, que también le compran vino y afirman que no los llena hasta arriba, queriendo conocer la medida exacta de cada patrón que usa, para saber si han sido o no engañados.

Cansado el juez de la disputa de unos y otros, afirmando que hay fraude o no en las medidas, hemos de determinar hasta qué altura hay que llenar cada jarrita que usa el comercianto (cubicándola). Para ello, sacaremos una cuerda con el valor del Codo dividido en Dedos; mediremos su diámetro y su perímetro; los multiplicaremos partiendo en 4 el diámetro. Tras ello mediremos la altura y marcaremos hasta qué punto había que llenar cada patrón con el que vedía vino el comerciante. -Evidentemente, si a la jarra le sobra en volumen, el que vende tenía la razón, pero si falta, los que compraban tenían derecho a reclamar el vino robado-.

Segundo: Llega al Templo de Salomón un hombre afirmando que le han vendido una casa circular y le han engañado en su tamaño. Este marcaba en lo estipulado por venta un área que a su juicio no tiene; pero  que no ha podido comprobar, pues nadie se la puede medir, ya que se trata de una gran torre perfectamente redonda. Su interior está lleno de habitaciones y dividido en paredes, por lo que solo puede medirse por fuera y ningún contable o escriba, conoce el medio de encontrar cuanto mide. Para colmo se levanta en la ladera de una montaña y tiene casas cerca, por lo que es imposible trasladar sus medidas, copiándolas en un área al lado de esta (como podría hacerse si estuviera la torre en un llano despoblado). Nos acercamos hasta su casa para ayudarle e iremos con dos patrones: Uno de Codo Perimetral y otro de Codo Normal, tanto como con una gran cuerda. Mediremos el perímetro de la torre con la gran cuerda y determinaremos con el patrón del Codo del Mar (Codo Perimetral) cuanto es; pues este dividido por 3, nos dará el diámero exacto. Tras ello, mediremos de nuevo el perímetro en Codos Normales; su resultado lo multiplicaremos por la cuarta parte del diámetro y obtendremos el area (casi exacta).


2) Patrones para medidas circulares en líquidos:
El medio mas común de medir productos como el aceite el vino o la cerveza (hasta no hace mucho), era el de crear patrones sacados de un modelo cúbico exacto. Fabricaban con este fin "cacharritos" de cerámica (en la forma que quisiéramos, normalmente redonda y alta), donde introducían luego el agua de patrón cúbico. Tras ello, abrían un agujero en su tope alto, justo donde marca el máximo del líquido allí echado desde el otro recipiente patrón. La medida había de hacerse tras cocer “levemente” el jarrón cerámico que preparábamos como nuevo patrón métrico, ya que el horno cambia un poco el tamaño y proporciones del objeto que en él introducimos. Por ello, tras esta primera cochura, se solía hacer un agujero cuadrado y suficientemente grande, en el lugar que marcaba la medida (para que desbordara con amplitud, sobre todo en caso de líquidos como aceites, o de usarse también para cereales). Finalmente, se pasaba a dar la segunda cocción pudiéndolo vidriarlo en su exterior, para evitar que ensuciara o que tuviera un aspecto antihigiénico (dado que estos patrones se usaban durante años, para aceites, leche, agua y hasta para medir cereales).

Pese a ello, en la Antigüedad bien es sabido que los mas preciados líquidos -aceites, cerveza o vinos- se vendían comúnmente ánforas o tinajas selladas, tanto como en barriles (aunque este último era un recipiente “muy raro” y escaso, usándose tan solo para el proceso de fermentación, por necesitar construirse en madera y con técnicas mas complejas que las del ceramista). Siendo así, veamos que el ánfora (y muchas tinajas), necesitaban tener forma picuda en su base, debido a que se manejaban y transportaban clavadas en la  arena o en la “parte viva” del barco. Debido a que se manipulaban del siguiente modo, para evitar roturas y que fueran útiles: Se apilaban clavadas en arena (en el varadero o playa). Igualmente, se solía llenar de arena la zona baja de la nave (cercana a la quilla) y en esa “bodega”, se clavaban las ánforas llenas de vino, aceite (cerveza o etc), con el fin de que ayudaran por contrapeso a la navegación, en caso de oleaje. Estas, se transportaban así, lo que permitía además equilibrar el barco, haciendo “balance” en su quilla; tanto como el método garantizaba que no se rompieran (pues al ir clavadas en arena en la “parte viva”, no se movían). Por lo demás, otro sistema de aligerar este cargamento y mejorarlo sería el de poner estanterías para ánforas en la bodega (hechas con agujeros sobre madera), para poder prescindir de la arena y colocar varias filas de esos recipientes, unos sobre otros.

De igual manera, las tinajas grandes, deben de tener una base una boca mucho mas pequeñas que su parte central (llamada comúnmente y por eso: Barriga). Ello, por dos razones: La primera de construcción, pues se realizan a uniendo trozos largos frescos de arcilla, que se van añadiendo y pegando. Para lo que se precisa comenzar en una base pequeña y aumentarla, para, finalmente disminuirla. El segundo motivo por el cual dan esta forma amombada a la tinaja es porque una vez así hechas, se cuece bien, no se parten, ni se deforman; pues si construyéramos un cilindro perfecto e igual, se precisaría de unas paredes mucho mas gruesas, rajándose la mayoría de las veces en las cochuras. Una razón mas existe para dar esta forma a las tinajas y es la de que de esta manera, en su base se acumula la suciedad y basta con hacer allí un agujero (que se taponará al llenar), para poderla limpiarlas perfectamente antes de cada llenado (dado que un cilindro acumularía y mezclaría mucho mas suciedad y posos del fondo, tanto como nunca podríamos limpiarlo bien hasta su final). Dicho esto, hemos entendido por qué los recipientes han sido circulares (a veces casi redondos), “desde Cnossos a Tartessos", pasando por Efessos, por Cartago y Roma, llegando hasta hace bien poco… Pero veámos qué ocurría en su comercio y trueque. Para comprenderlo pongamos algunos ejemplos prácticos

E) Final: OTROS PROBLEMAS PRÁCTICOS (EN LA ANTIGÜEDAD):

a)- Calcular volúmenes en ánforas fenicias del siglo VII a.C. (ver tipología Dresëll):
Tenemos que celebrar una boda y un comerciante fenicio nos ofrece veinte ánforas de vino que nos puede traer desde Tartessos. Dice que son de 1 Codo y medio de largas y un Codo y un Dedo, de perímetro en su parte central; afirmando que aproximadamente equivalen a 400 Dedos (cúbicos) de Codo Hebreo cada una (aunque no lo sabe muy bien). El vino es carísimo, pues procede de zona cercana al Arx Gerontis (Ceret romano = Jerez). Le pedimos que nos enseñe un recipiente igual (a ser posible vacío), para valuar su contenido, pero el comerciante nos dice que no tiene ánforas de muestra y que por ello nos pone el cargamento muy barato si es por pedido y encargo….El vino viene sellado y cerrado desde Tartessos, por lo que sobre su calidad no hay duda, el único problema es saber si nos van a engañar en el tamaño que dan. 

Deseamos comprarlas, pero es muy difícil cubicar la medida de estos recipientes que nos ofrece, solo con su longitud y perímetro, dado que el ánfora fenicia es fusiforme y similar a un rombo alargado. Pese a ello, tenemos conocimiento del Codo Perimetral y sabemos que un sacerdote del templo amigo, puede sacarnos de dudas. Vamos a verle y le prometemos un diezmo si nos calcula el volumen interior de estas ánforas fenicias que nos ofrecen, de las que ni el comerciante sabe exactamente a cuantos Dedos cúbicos hebreos corresponde. El sacerdote acepta calcular el vino para la boda a cambio de un diezmo para el templo; para ello le bastará con realizar las siguientes operaciones para saber el difícil volumen de estas ánforas fenicias.

-Sabemos que la longitud aproximadamente un Codo y medio (normal), tal como nos dice el comerciante (por que conocemos que su altura equivale a 36 dedos, dado que el Codo hebreo era igual a 24 Dedos)

-Su contorno en la parte central y mas ancha,  afirma el fabricante que es de 1 Codo y 1 dedo (Codo Normal; es decir 25 Dedos). Saquemos el patrón de Codos Perimetrales y veremos que corresponde a unos 24 Dedos Perimetrales (medida del Mar de Salomón). Dividiendo 24 entre 3 de cabeza sacamos que el diámetro central es de 8. Por lo que su área en la parte mas ancha es muy simple de hallar, multiplicando el total de Dedos de diámetro por los de su perímetro y partiéndolo por 4. De ello, como las medidas del ánfora son:

Diámetro central = 8 ;  Perímetro Central= 25 Dedos

Área en su circunferencia central = (8÷4) x 25 = 50 Dedos cuadrados

-El volumen total del ánfora exacto es igualmente sencillo de hallar, sabiendo que su área central en el punto mas ancho es de 50 Dedos y la Longitud del ánfora 1,5 Codos = 36 Dedos. Habrá luego que encontrar su “área media” comparando diferencias entre la zona mas ancha (media) y la de menos perímetro (boca y final).

Por lo que simplemente de cabeza podemos calcular el volumen si medimos la boca de un ánfora del mismo tipo (que entonces abundaban) y damos igual valor a la base. Ya que la base era mas o menos igual a la boca, debido a que este recipiente terminaba en pico y abajo tenía gran grosor de cerámica para ser clavada, tanto como allí se depositan los posos del vino (o de la suciedad). De lo que si vemos que valor del contorno de una boca de este tipo de ánforas (y de su base) es de 10 Dedos (Perimetrales); de ello que resultan unos 3 + 1/3 Dedos de diámetro. De cabeza sacamos el volumen total aproximado haciendo una media del siguiente modo:

Diámetro X Perímetro = (3+ 1/3) · 10 Dedos ; ello dividido por 4 = área
luego (33 y 1/3)÷ 4 Dedos, sería área circular en su zona mas pequeña,
lo que supone 8 y 1/3 Dedos cuadrados

Teniendo 50 Dedos de area circular mayor y 8+1/3 Dedos, en su área menor. Sabiendo la Longitud del ánfora que eran 36 dedos.

-Hallar el Volumen:

Calculemos su Volumen con quebrados (tal como se hacía) = Área media, por la altura; restando el mayor del menor y sacando promedio:

Restemos el área mayor a la menor y saquemos promedio: 
50 – (8+1/3) = 41+10/15 ; el promedio entre ambas áreas es de 1/2 de (41+10/15) = 20+10/12
Esta sumada al área mas pequeña nos da un promedio total:
(8+1/3) + (20+10/12) = 29+1/6 

De lo que el área circular media del ánfora es de 29+1/6 Dedos cuadrados.  

Volumen = altura por área circular media

29+1/6 Dedos multiplicados por 36 Dedos, de longitud = Volumen del ánfora

Total: 1050 dedos cúbicos.

De lo que el volumen del ánfora es de unos 1000 Dedos hebreos cúbicos. Sabiendo su contenido, podremos ajustar precio y por medio de un escriba hacer el contrato para encargar las 20 ánforas si interesan.

 

b)-Calcular el trigo antes de ser pesado:
Queremos comprar un cargamento de trigo antes de que lo pesen y valoren, pues sabemos cuanto equivale al peso un Codo cúbico de este cereal. Se encuentra todavía recién trillado y puesto en un gran círculo en forma de cono. Solicitamos auda alamigo del templo quien nos dice que tan solo que le quiten esta forma piramidal y lo golpeen hasta dejarlo como un cilindro. Tras ello que tomemos la medida de su períemtro con una gran cuerda y se la llevemos. Nos dará la medida exacta si beneficiamos en la venta al templo. Usara luego dos tipos de Codos (el perimetral y el normal), para medir la cuarda que le levamos marcada con el perímetro de la "montaña) cilindrica hecha con cereal. Para hallar el volumen del trigo hará la siguiente operación:

-Tomamos el Codo del Mar de Salomón (el que hemos llamado Codo Perimetral) y mediremos con este el total que nos traen como contorno del montón cilíndrico hecho con cereal. Nos sale un total de 122,5 Codos (del Mar) de perímetro (122+1/2 como entonces se escribiría pues no existía ni la cifra, ni los decimales). -Recordemos una vez mas que este Codo Perimetral o del Mar de Salomón, era un 0,0472 mayor que el normal, preparado para valorar su diámetro exacto. Por lo que dividiendo los Codos que nos daba un contorno por 3, resultaba el diámetro casi exacto calculado en π-.

-Tomemos la cuerda (de longitud 122,5 Codos del Mar), con la que hemos rodeado el montón de cereal y dividámosla manualmente en tres partes. Nos saldrá la cuenta hecha así a mano simplemente doblándola en tres partes iguales :

(122 + ½) ÷ 3 = 40 + 10/12 Codos
Este es el diámetro  del montón de cereal, en Codos Normales

-Ahora volvamos a medir el perímetro o la cuerda con la que hemos rodeado el montón de trigo, en Codos, pero esta vez Normales, para hallar el área:

Nos saldrá un perímetro de 128,3 (aproximadamente) 128+10/35 Codos Normales

Ello significa que el diámetro exacto del contorno en el cilindro de cereal, tiene 40 Codos y 20 Dedos (recordemos que 1 Codo eran en Israel 24 Dedos) y su perímetro es de 128 y algo mas de 6 dedos.

-Haremos la operación primero en Codos cúbicos y luego en dedos, para comprobar que en ambos casos es factible:

Multiplicaremos diámetro por perímetro para hallar área multiplicada por 4: 
(40+10/12)·(128·10/35) = 5238+1/3 Codos (su área será 1/4 de esto)

Área del circulo de cereal = (5238+1/3) ÷ 4 = 1309+1/2 (aprox) Codos

Multipliquemos área por altura y obtendremos el volumen. Dando una altura de 1+1/3 de Codo, de lo que:

(1+1/3)·(1309+1/2) = 1746 Codos cúbicos

Si sabemos lo que pesa y vale un Códo Cúbico de trigo seco, podremos comprar el cargamento antes de que se evalúe.

-FINALMENTE: REPITAMOS LA MISMA OPERACION EN DEDOS PARA SER MAS PRECISOS:

-Pasemos todo a dedos y hallemos el área sabiendo que el diámetro es 980 Dedos (40 Codos y 10 Dedos) y el Perímetro 3078 Dedos (128 Codos y 6 Dedos)

(980·3078) ÷ 4 = 754110 Dedos cuadrados = área del cilindro de cereal

-Multipliquemos el área por la altura y sabremos el volumen. Siendo altura= 1+1/3 Codo resultaría un total de 32 dedos de alto el cilindro de cereal. De lo que:

32·754110 = 24131520 Dedos cúbicos es el total que contiene el montón.

Sabiendo que 1 Codo = 24 Dedos, resulta que 24³= Codo Cúbico = 13824 Dedos por Codo

Dividamos por 24 tres veces el Volumen o bien dividámoslo por 13824 y sacaremos su total en Codos cúbicos, que en este caso son 24131520÷13824= 1745,6, Codos cúbicos aproximadamente.

c) FINAL:

Por lo que hemos comprobado, si conocemos bien las medidas (el codo cúbico o el dedo cúbico), podremos comprar una carga recién trillada antes de que la pesen o encargar ánforas solo sabiendo su medida, conociendo exactamente cuantos kilos o litros de entonces, adquirimos y pudiendo discutir el precio. Por ello, para saber el total en estos casos, bastará que el contable o sacerdote que deseaba hacer el cálculo hiciera lo que hemos visto:

-Tomar su perímetro total con una cuerda y medir en Codos del Mar de Salomón

-Dividir la cuerda anterior por 3 y tendremos su diámetro

-Medir luego su perímetro en Codos Normales

-Doblar la cuerda del total del Diámetro en cuatro, para pasar a la siguiente operación:
-Multiplicar perímetro por diámetro (todo en codos normales) y dividirlos por 4. Tendremos el área (el modo mas fácil dfe hallarla hemos dicho que es doblar el total de su diámetro en 4 partes y multiplicarla por lo que marca el contorno).

-Multiplicar la cantidad anterior por la altura y tendremos los codos cúbicos.

-Si deseamos una mayor precisión, puede hacerse todo en Dedos Cúbicos, aunque habrá luego de dividirse por 24 tres veces (para hallar el cubicaje en codos, dado que un Codo cúbico = 24·24·24 dedos)      

Hasta aquí, lo que consideramos la explicación y exposición de lo que es el Codo Perimetral y su uso en la Antigüedad; lo que hemos deducido de la medida que se conservaba en el Cordón que rodeaba el Mar de Salomón, tal como  citan el Libro de los Reyes y el de Crónicas.