Creación de un ábaco pitagórico para el templo de Ra

Proseguimos con la narración sobre Pitágoras relatada por Joshua, hijo de Mishel; donde explica como ingresaron el templo de Ra. Recordemos que se sitúa en el año 535 a.C. y que las notas aclaratorias, las incluimos en letra arial mientras el texto del relato está en cursiva :

El ingreso en el templo de Ra, no fue todo lo feliz que creímos en un primer momento. Tanto Pitágoras como yo, jamás habíamos pensado que entrar de “aprendiz" (o "lego”), supondría tener que comenzar por las cocinas, o por las labores de limpieza. Buenas prebendas se entregaron al clero antes de nuestro examen y considerábamos que con nuestra edad y nuestros conocimientos, lo último que nos correspondía era: Arreglar los refectorios y salas de comida, ayudar a la preparación de alimentos, cosechar y hasta limpiar "las letrinas" (se refiere "posiblemente" a los grandes orinales en cerámica que los egipcios tenían prohibido verter en el Nilo). Pero tristemente, este fue nuestro cometido, al menos durante el primer mes desde que nos internamos entre aquellos; un trabajo nefasto y horrible, que casi nos hace desistir de ingresar en la comunidad, esperando solo que pasara el tiempo y hacerlo en calidad de sacerdotes plenos.

Las dos primeras semanas fueron inolvodables por nefastas y en el día vigésimo primero (se refiere al transcurrir de dos semanas egipcias, cada una de 10 días -tres semanas configuraban el mes de 30-), un sacerdote maestro se acercó hasta nosotros advirtiendo que en nueve noches mas se cumpliría la primera mensualidad desde que habíamos entrado. Por ello, si descubríamos algo verdaderamente importante y útil para el recinto sagrado, quizás podían asignarnos otras labores en aquel lugar y sacarnos de los servicios (casi de esclavitud), a los que nos habían dedicado. Nuestros compañeros de faenas, en estos tristes y penosos trabajos de limpiezas y cocinas, ya nos habían advertido que nosotros (al no ser legos ni esclavos), habiendo ingresado como matemáticos, teníamos la oportunidad de liberarnos de aquel triste rango (el mas bajo existente en la comunidad). Pero que para lograrlo, habíamos de inventar o descubrir algo útil y desconocido en el templo; por cuya idea solamentre nos cambiarían de destino. Aunque eso sí, ya nos habían advertido que ello no supondría nunca recibir el título pleno de sacerdotes del santuario de Ra (para lo cual aún nos quedaban muchos peldaños y pruebas)… 

Desde el momento en que supimos que podíamos solicitar audiencia con los sacerdotes sabios, para exponerles una idea nueva y con ello, salir de las labores que nos habían asignado, no paramos de pensar (día y noche). Conociendo bien que para conseguir el cambio a un mejor destino, lo que presentásemos como idea y fuente de sabiduría matemática, había de ser verdaderamente valioso; pues de lo contrario nuestro nuevo trabajo allí, sería mas o menos igual al que hasta ahora hacíamos. De hecho, los esclavos y legos de limpieza nos comentaron que gran parte de los que ingresaban intentando ser matemáticos-sabios de la Casa de la Vida (colegio de sacerdotes con labores de enseñanza e investigación), terminaban marchándose, desesperados y tras meses de compartir las peores tareas con ellos. Pues en repetidas ocasiones intentaban cambiar a destinos superiores, pero sus ideas y proyectos no eran ni valorados, ni tenidos como importantes por los maestros (que les enviaban y reenviaban a refectorios, letrinas y cultivos….).

Por todo ello, Pitágoras y yo, no cesábamos en pensar qué podríamos presentar para recibir un mejor trato y poder cambiar aquel trabajo por algo mas adecuado a nuestra capacidad, rango y edad. De tal manera, decidimos llegar a inventar un ábaco para cálculo, mucho mejor que los que usaban en el templo. Pues los que los sacerdotes tenían para operar, eran hechos con cuentas engarzadas (o con habas unidas) y prácticamente solo servían para multiplicar; siendo con ellos difícil dividir y aún menos hallar las raíces de los cuadrados (o del cubo). Pitágoras, deseaba basarse en su teoría de los números para conseguir diseñar los ábacos y yo no cesaba de pensar en una fórmula cercana a las banquillas de cambistas, tan usadas por los mercaderes judíos (a quienes por aquellas banquetas, con tableros de ábacos marcados para el cálculo y cambio, les denominaban "banqueros"). Ambo pensábamos en acelerar sobreese  método en el que la contabilidad que se realizaba por pequeños cálculos dispuestos en cuadrados, líneas o círculos (de aquí el nombre de cálculo que se  da a las piedrecitas de poco tamaño y color claro, fáciles para usar como cuentas).

Consecuentemente, mi amigo Pitágoras, me explicó que (en su teoría), los números se dividían en grupos, según las figuras que con ellos podíamos hacer; si los representámabos en grupos de cantos pequeños. Algo que es fácil entender y que aprovecho ahora para explicar, poniendo en lo que redacto un círculo redondo “0”, en el lugar de estos cálculos (o piedrecitas).

De tal manera, Pitágoras me enseño que había números cuadrados, que eran los que permitían hacer un cuadrado. El primero de estos era el 4; cuyo cuadrado se representaba así (supongamos que las 0 son cantos):

0  0

0  0

Y que por ello, el cuadrado de 2 era 4, "la raiz del cuadrado" 4 era 2.

Como ocurría también con el 9, el segundo cuadrado que se representaba por 9 piedras dispuestas así:

0   0   0

0   0   0

0   0   0

Por lo que el cuadrado de 3 era 9 y la raiz del cuadrado 9=3  (ya que vemos como este cuadrado se hace con tres filas de tres piedras).

Del mismo modo había números triangulares, del que el primero era el 3, que se representaba así:

  0

0   0

Formando un triángulo perfecto, al igual que el siguente era el 6, así dibujado con piedras:

    0

  0    0

0   0    0

Y el mas perfecto era el 10, que formaba cuatro filas de cálculos, de cuya combinatoria partía gran parte de la filosofía que Pitágoras había aprendido en Mileto, Tiro y Sidón. Donde le habían comunicado y enseñado que esta teoría del número piramidal, era de origen fundamentalmente egipcia e intentaba resolver todos los principios de la matemática en base al número 10. Un número mágico igual a los dedos de la mano, con los que el hombre cuenta y que conforman la base matemática mas sencilla: LA DECIMAL; que habían impuesto e “inventado” los egipcios desde tiempos al menos de Imhnotep (el Gran Arquitecto de época del faraón Djoser, constructor de Saqqara…). (La imposición y regulación de las reglas matemáticas y de medida por este Gran Arquitecto, se datan en el siglo XXVII a.C.)

Aquel 10 dispuesto en forma piramidal era perfecto y de ese decían los egipios y Pitágoras, que nacía la Armonía Universal, habiendo de ordenarse del siguiente modo:

        0

      0   0

    0   0   0

  0   0   0   0

Su equivalencia en números era:

         1              =1

      1  +  1           =2

   1  +  1  +  1        =3

1  +  1  +  1  +  1     =4

Por lo que aquel triángulo primigenio, se consideraba que regía las fórmulas de la armonía universal que se expresaba en base a la división de las piedras que lo componían. De ello, los sacerdotes egipcios, ya nos habían explicado que casi todos los edificios sagrados del Nilo, desde la mas remota antigüedad, conservaban las reglas de esta armonía, que se basaba en las fracciones de lo que llamaba Pitágoras el Tretratkis y decía él que era donde se unían: La razón de la belleza, la matemática y la espiritualidad.

Este triángulo contenía los secretos de arte y matemática, que se podían expresar en unas proporciones dispuestas en quebrados que se originaban entre unas filas y otras; dando como resultado las siguientes fracciones (tomando el número de la fila superior y partiéndolo por el de la inferior):

1/2

2/3

3/4

Que expresados a la inversa (tomando las filas de abajo arriba) son:

4/3

3/2

2/1

Proporciones que para los sacerdotes de Egipto eran sagradas y configuraba el principio del Maat (secreto de la armonía y justicia del Universo), tal como podía observarse en las dimensiones de los edificios de la arquitectura mística faraónica. Fórmula que para Pitágoras fue un verdadero tesoro, que nunca abandonó y del cual partió en todos sus estudios.

Pero no voy ahora (en estas palabras) a explicar mucho más sobre esta joya de la filosofía matemática basada en el número de dedos que hay en la mano; pues ya volveremos al Tetratkis cuando hablemos mas sobre las ideas de los templos egipcios y de los principios matemáticos que instituyo mi amigo Pitagóras. Basados muchos en ese triángulo mágico, que tuvo el samio como dogma indiscutible de toda Armonía; del cual, mas adelante hablaremos. 

Tras este inciso, continúo explicando, como inventamos en base a ello nuestro ábaco de cálculo, para lograr escapar de los peores trabajos que nos habían asignado en el templo (pues aquel se nos ocurrió, gracias a este forma de ver y representar los números):

De tal manera, mientras trabajábamos en las cocinas, el día vigésimo cuarto, nos quedamos mirando un especiero que había sobre una de las mesas del refectorio. Este era un común tablero de especias, que consistía en una madera con agujeros, donde poner cada hierba, picante y las sales, para las comidas. Apenas se usaba en cocina, ya que los sacerdotes tenían prohibido grandes sabores en sus viandas dentro del templo y menos comer con sal; por lo que servía para guardar especias de ofrendas (el dato que nos da sobre el tipo de cocina en los templos, sobria y sin sal ni especias, es real; tanto como que estas se usaba de ofrendas para los dioses). Aquel especiero que vimos en el refectorio, estaba hecho por manos artísticas y de forma especial, por tratarse de un regalo (o encargo) para las ceremonias el templo. Guardaba unas distancias y proporciones perfectas en sus oquedades, tanto como el número esos cuencos y su separación parecía corresponder a un diseño matemático o calendárico.... Me quedé mirándolo y comenté a Pitágoras, el gran trabajo que tenía aquella tabla de madera noble, llena de cuencos dispuestos en líneas guardando unas distancias y separaciones perfectas.

Tras mirarlo detenidamente, le preguntamos al sacerdote sirviente (lego) jefe de cocinas, por la procedencia de ese objeto que parecía valioso y bien trabajado (demasiado bueno como para ser usado de especiero). Este nos contestó que se trataba de un regalo de un fabricante de Senet (Juego egipcio similar al ajedrez - parchis, con base en el calendario) que se hubo arruinado y comió durante mucho tiempo de lo que en esas cocinas sobraba y le daban. Por lo que les había regalado ese tablero, con tantos cuencos (perfectamente labrados y ahuecados) como días tenía el año; y como platos le había dado diariamente el cocinero del templo. Era una pieza grande, con un total de 360 agujeros, divididos en 12 grupos de 30 filas y a un lado, guardaba cinco oquedades más (maravillosamente labradas  y que correspondían a los epagómenos). (se refiere a los cinco dias finales del años egipcio que constaba de 360 más 5 festivos). Lo estuvimos viendo y se nos ocurrió hacer una prueba con este especiero para ensayar el ábaco que estábamos preparando (un tablero de cálculo que deseábamos presentar a examen de sabios en el templo).

Pedimos prestado el especiero al jefe de cocinas y nos lo dejó durante una noche, en la que experimentamos lo que considerábamos un gran invento a presentar: Nuestra idea era la de crear un medio sencillo y rápido por un tablero que permitiera dividir y hallar raíces del cuadrado automáticamente (aún siendo analfabeto....). Lo ideamos por medio de la fórmula explicada y con esta tabla de especias hicimos la útima prueba, viendo que funcionaba perfectamente. Para ello, bastaba con utilizar unos garbanzos o unas habas y “jugar con ellas, de manera matemática”.

De tal forma, dedujimos que para hallar una raíz del cuadrado, bastaba hacer sobre aquel tablero cargado de agujeros, un cuadrado. Rellenando con las habichuelas los cuencos, hasta completar el cuadrado; resultando la raiz del cuadrado, el número de habas o garbanzos (cuencos rellenos) que cada lado tenía...  Finalmente, decidimos que siendo más cómodo y rápido trabajar con alubias (que no rodaban tanto), las dispusimos en sus “saquitos” agrupando las que nos dejaron en las cocinas de ofrendas, de 10 en 10, así hasta cinco mil. Pues las habas y las legumbres estaban prohibidas para comer en el templo, aunque habían de usarse como ofrendas y sobre todo para hacer cuentas de ábacos con ellas. Tras tomarlas y ponerlas en sus saquitos de diez en diez (tal como se vendían en el recinto sagrado para contar o envíar a los dioses como ofrendas sagradas), fabricamos nosotros en arcilla secada al sol (sin necesidad de cocerla) un gran ábaco con la misma forma al especiero pero con cien agujeros por lado:

Era muy similar al susodicho especiero, que había en la cocina; pero mucho mayor y con huecos mas pequeñitos y juntos (donde entraba una alubia perfectamente). Pusimos un total de 100 x 100 vanos, distribuidos de manera perfecta, alineados, equidistantes y numerados del uno al cien (marcado así sus lados y los frentes). Por lo demás, solo necesitábamos unas varillas largas para manejar perfectamente (en recto) las alubias y para trabajar la operación de división. Pues para esta última bastaba con valerse de unos simples listones de madera móviles, que se colocaban sobre estas filas de huecos y alinealos (como veremos). Tras haber fabricado nuestro “invento”, pedimos a consultas llegar hasta el consejo de maestros y les propusimos que nos examinaran de aquellas ideas que podían ser útiles para la comunidad de matemáticos.

 

SOBRE LO QUE LOS SACERDOTES COMENTARON DE NUESTRO ÁBACO, PARA DIVIDIR Y HALLAR RAICES DE LOS CUADRADOS:

Sucedió el dia trigésimo tercero, cuando decidieron recibirnos a pruebas. Pitágoras decía que aquello era buen presagio, pues el número de días que llevábamos en el templo, le sugería que los sacerdotes querían saber de nosotros tras una cifra de jornadas concreta (señalada e importante). Yo no iba tan optimista y cargaba con las 500 bolsas (cada una de 10 alubias), que habíamos pedido prestadas en las zonas de ofrendas, para probar nuestro “experimento matemático”.

Llegamos ante el consejo de sacerdotes, que se había reunido mirando el ábaco con algo de extrañeza, excepticismo y sin saber qué les íbamos a contar, o enseñar. Una vez allí, llegados todos los convocados, el primero que habló fue Pitágoras, quien con mucha seguridad, afirmó que aquel artilugio -que consistía en una tabla hecha de arcilla, con 10.000 agujeros numerados a los lados (cien por cada)-, era un ábaco de dividir cualquier cifra a toda prisa. Los asistentes le preguntaron cómo se usaba y el samio pidió que le diéran dos números, para partir uno por otro. Aquellos propusieron que dividiera 550 entre 15 y el Pitágoras me pidió que yo continuara; solo dijo como nota aclaratoria: Llamaremos en el ábaco “filas”, al alineamiento de huecos en vertical y “líneas”, a las que van de lado a lado (en horizontal).

Fuimos abriendo entonces las 55 bolsas de alubias y tomé un listón de madera, que situé tras la fila número 15 (dejando libres quince filas de huecos, separados con esa madera, del resto del tablero de arcilla).
Mientras hacía aquello, Pitágoras había vaciado algunas de las bolsitas de habas que contenían el total de 550. Yo abrí el resto, y en un momento estaban todas rodando sobre el ábaco entre la fila 1 y la 15.
Dándoles con otra maderita para que se igualaran e introdujeran en las oquedades  superiores, en un momento se cubrieron todos los vanos libres con las habichuelas; completando hasta la línea 36 (de la 37, solo se llenaron 10 cuencos).
Al ser 550 y su divisor 15; llenando las habichuelas todos los agujeros hasta la linea 36 (sobrando 10); Pitágoras dío a toda prisa el resultado que era:

550 : 15 = 36 + 10/15

(Recordemos que en Egipto no había decimales y 36,666... se expresaba 36+10/15)

Los sacerdotes se miraron con cara de poco convencidos, comentando que habíamos tardado mucho y ellos de cabeza quizás pudieron calcular el número antes. Pese a sus injustas quejas, en verdad no habíamos necesitado prácticamente tiempo y por ello, Pitágoras les dijo que propusieran cualquier otro número a dividir, mucho mayor; una cifra entre 10.000 y 100 (auque el número de vanos lo permitían, el de alubias que teníamos solo hubiera dejado calcular 5000 dividido por 100). Aquellos, no quisieron saber mas de divisiones y pidieron que pasáramos a hacerles raíces de los cuadrados.

Les preguntamos de qué número deseaban la raiz del cuadrado, pudiéndo llegarse hasta el 10.000. Nos dijeron que calculasemos la de 150 (que era sencilla).

Operamos sobre el ábaco con toda prontitud, pues la cara de los maestros no era de complacencia.

Tomamos 150 habichuelas; las soltamos agrupadas en una esquina para que fuera formando un cuadrado perfecto sobre los vanos, dándoles golpes con las maderitas. En poco tiempo habíamos conformado un cuadrado de 12 x 12 alubias metidas en sus vanos y sobraban 6. Entonces dijo uno de los maestros con tono de alegría:

-“El resultado es 12 + 6/12”-

En ese momento, Pitágoras se excedió en su gesto, pues sonriendo y con ironía expuso:

-“Eso sería si se tratara de dividir, ya en esas operaciones, el resto corresponde a las habas que sobran, partidas por el divisor (como pasaba antes que salía 36 y 10/15). Pero en las raíces del cuadrado, no es así. Se calcula el resto haciendo lo siguiente:

El resultado de un cuadrado formado con 150 alubias es de 12 y nos sobran 6.

Luego, se divide 150 entre 6: pudiendo realizar la división sobre el tablero ábaco en un momento, aunque, en este caso como es fácil sabemos de cabeza que 150÷6 = 25.

Por lo que el resto es 6/25 y el resultado mas o menos exacto:

La raíz del cuadrado de 150 = 12 + 6/25”-.

(Nota: Obsérvese que en todo el texto habla de "la raiz del cuadrado", nunca de la raiz cuadrada, lo que significa claramente que la antigua idea es hacer un cuadrado con el número del que queremos hallar su "raiz" -el valor de los lados del cuadrado que forma ese número....-. El resultado que sale por el método descrito es casi exacto a la raiz cuadrada que en sistema decimal es: Raiz de 150 = 12,2474)

Quedaron bastante asombrados, sobre todo al saber que el ábaco de 100 x 100 agujeros que habíamos creado permitía hallar raíces del cuadrado hasta el número 10.000 (al disponer de un total de diez mil vanos…). Pero, tristemente, Pitágoras se había confiado en su éxito y al explicar el funcionamiento de nuestro invento, había sonreído demasiado; incluso hasta una vez, de manera irónica. Ello ocurrió cuando un maestro sacerdote (que era tenido por el más sabio y tenía categoría de Supemo, en matemáticas) se confundió y dio rápidamente, como solución  12 + 6/12. Tanto, que aquel se había sentido herido y se marchó de la reunión antes que termináramos, siquiera de explicar por qué el resultado era de 12 + 6/25 y no 12+6/12 como él aseveró…. Yo sabía que aquello sí que era un “mal presagio”, pues Pitágoras desconocía que en Egipto, el respeto se conocía solo con la mirada y con los gestos mas básicos; y aquello había sido una posible humillación para quien se tenía por el mas sabio de la comunidad matemática de Ra, en Uaset…. El Sacerdote Supremo de la Casa de la Vida dedicada a la sabiduría numérica y astronómica del dios Toth...

  

Efectivamente. Aunque los sacerdotes en un principio quedaron muy interesados y divertidos con nuestro ábaco, se fueron rápido y sin querer hablar; diciendo que debían determinar su verdadero valor, siguiendo los pasos de aquél que había salido el primero (siquiera antes de que termináramos de explicar su uso). Se marcharon del "claustro" donde nos habían convocado, diciéndonos que antes de la noche, nos trasmitirían sus juicios acerca de este (y nos darían un nuevo destino en trabajos; si el Consejo Sacerdotal consideraba que éramos merecedores de ello). Volvieron a la tarde, mientras ya nos habíamos incorporado a los servicios de cocina, acercándose hasta el refectorio en donde "trabajábamos para la comida tercera" y nos transmitieron su “veredicto”:

Dijeron que: El ábaco, mas o menos, ya se conocía desde antiguo (según les aseveró aquel Supremo y los sabios de otros templos, a los que habían preguntado y comentado sobre nuestro invento). Pese a lo que quizás, consideraban que seguramente era idea nuestra.... Pitágoras al oír estas palabras se enfureció y dijo en tono "demasiado alto, para un simple aspirante":

-“¡¿Es que en Egipto no hay manera de hacer algo nuevo….?!. ¡¿Es que alguien va a creer que hubiéramos copiado de algún sitio este ábaco, que hemos hecho inspirados en ese especiero de comidas con forma de Senet. Pues no hemos visto mas que ese tipo de utensilios en días, ya que llevamos mas de un mes sin salir de las escobas, los platos, los orinales y los pucheros?!...”-. 

Pronunciado ese triste discurso, les señaló el especiero del refectorio, en el que nos habíamos "inspirado" para aquel ábaco. Al ver semejante gesto y oír este tono de voz, se acercó hasta Pitágoras el mas mayor de los sacerdotes matemáticos, El Supremo, aquel con quien el samio había ironizado sobre el resultado de la raíz del cuadrado…. (quien se habia mantenido apartado del grupo y fuera de la habitación). Le miró a los ojos fijamente y le dijo:

-“Veo que eres griego en todo; hasta en tu forma de hablar, sin respeto ni orden. No te preocupes, en el templo de Amón en Uaset (Luxor, actual Karnak) vas a educar tu disciplina y tu mente a la manera egipcia. Habíamos pensado que para salir de entre los legos y esclavos dedicados a limpieza y cocina, debíais crear un ábaco más. Uno que calculara instantáneamente raíces del cúbo. Para ello, os íbamos a dar dos semanas de tiempo, dejando que estuvierais en una celda cómoda., junto a un estanque y un patio, aislados trabajando, como vivisteis en los dias previos al ingreso. Pero creo que es mucho mejor que mientras pensáis y creaís el citado ábaco de raices del cubo, paséis a la panadería del templo. ¡Pues es seguro, que dos semanas amasando pan y harina, os van a disciplinar la mente y a sanear el cuerpo para diseñar muchos ábacos y muchas buenas tortas ácimas y dulces!...."-

Tras decir aquello, el viejo sacerdote, tomó el bastón en su mano y con gesto adusto y altivo, se marchó, saliendo del refectorio, de manera despectiva. Sus compañeros se acercaron a nosotros y nos concluyeron con voz un tanto triste:

-“Ya sabéis; la última palabra la tenía él y así es: En dos semanas debéis construir un ábaco que calcule en el momento las  raíces del cubo… Para pensarlo, estaréis esos veinte días en la panadería del templo (algo duro, pues hay que amasar y tostar, desde las primeras hasta las últimas horas del día…). De no solucionar el ábaco que os solicitamos, ni inventar algo que sea útil a la comunidad; regresareis a este puesto de limpieza y cocina. Aunque si la vida del templo no os complace, todavía podéis salir de ella”-.

Se fueron los sacerdotes del refectorio, donde estábamos nosotros limpiando sus bancos y sirviendo sus platos y tazas para la cena. Pitágoras y yo nos miramos…. Solo le pude decirle:

-“No me extraña nada lo que les reprochaste. Si yo no lo hice es porque estoy educado en Egipto y no me atrevo a expresar abiertamente mis sentimientos tal como tú eres capaz de hacerlo. No te preocupes, Zeus, Yahvé y el mismo Ra, nos ayudarán a salir de aquí (para bien o para mal)”-.  

Nos quedamos pensativos, muy preocupados meditando sobre cómo podríamos crear un ábaco que calculase las raíces del cubo. Y solo en dos semanas.... Mientras habíamos de amasar y tostar durante veinte dias, el pan del templo....

Muy interesante es ver en este relato, que en la mente pitagórica y en la soluciones matemáticas que en la Antigüedad se daban, se pueden realizar raices cuadradas y divisiones, aún siendo analfabeto. Ello, hoy puede parecernos iverosímil o inútil,  pero entonces, para los cambistas o comerciantes; quienes debían demostrar su honradez a sus clientes y proveedores; pudo ser fundamental. Igualmente lo debía ser para los sacerdotes y guías que en el desierto, que debían calcular la hora y situación de las estrellas de manera semiautomática, para no perderse o regular la jornada.

En próximos relatos, recogeremos otras muchas soluciones que dieron para ábacos y problemas matemáticos similares; medios que quizás hoy, bajo el prisma de la matemática moderna, parezcan inverosímiles e increibles. Aunque como hemos visto, bien ha quedado demostrado, que con unas alubias, un tablero lleno de agujeros equidistantes y unas varillas para manejar las habichuelas; se puede dividir y hallar raices cuadradas (aún siendo analfabeto). Por lo demás, para la multiplicación y suma, se usaba desde los tiempos mas remotos, el ábaco de cuentas (normalmente, dispuestas en filas de cuerdas).

Joshua (hijo de Rabí Mishel) y Pitágoras de Samos, ingresan en el templo de Ra (Amón), resolviendo el "Volumen de la Esfera".

Continuamos con nuestro relato de Pitágoras, narrado por el hijo de rabí Mishel (Joshua), contando como lograron ingresar en el templo oracular del Sol hacia el año 535 a.C.; en la ciudad egipcia de Uaset (que luego sería la Tebas helena –actualmente Luxor-). El texto lo recogemos en cursiva, pero las anotaciones aclaratorias las iremos introduciendo en este tipo arial (común) y en negrilla.

Aquella noche, mi compañero de celda e ingreso -Pitágoras-, tampoco pudo dormir. Los sacerdotes del templo le habían comunicado dos días antes, que "su teoría" sobre triángulos, era sobradamente conocida y que incluso se había formulado por escrito en Babilonia (miles de años atrás). Para él, aquello fué horrible, llevaba años preparándola y consideró que cuanto había estudiado era “la nada”; tanto, que comenzó a dudar terriblemente de sí mismo. El sacerdote-impuro (entiéndase lego) de vigilancia del templo, en turno de noche; había dado ya "a viva voz" la hora tercera y me desperté con su aviso. Pude ver a Pitágoras pensativo, mirando a la luna y sin poder dormir.

Salí del camastro y me acerqué hasta el amigo, preguntando qué le tenía tan atormentado por dos dias. Me dijo, que al llegar a Egipto, parecía que la Hélade fuera solo un sueño; que aquello que algunos llamaban Grecia, quizás carecía de Historia e importancia. Tanto como para que los conocimientos que allí -en sus islas y sus tierras-, se enseñaban como preciosos; en el Imperio del Nilo se guardaban en secreto. Por mas horror, se mantenían en un silencio a gritos, pues los conocían todos los sacerdotes; pero nadie se atrevía a enseñarlos ni los transmitía, solo los pensaban y los recordaban....

Me aproximé hasta la ventana donde estaba y pasé a contarle algo que un día mi padre me había relatado. Ocurrió justo después de que Egipto confirmara lazos de amistad con Samos y el faraón Amosis encargara abrir nuevas rutas. Fueron esos, los años en los que mi progenitor se aventuró a intentar descubrir un nuevo camino hacia el Occidente y decidió salir con la expedición de Kolaíos de Samos, hacia Tartessos. Justo antes de partir, pasó unos dias intranquilo y triste, aunque de aquello no habló hasta su regreso. Cuando, tras volver, nos comentó que al embarcar en el "puerto samio" del Nilo (el embarcadero, trocadero, autorizado a los Samios por Amosis), nunca supieron si podrían volver. Ya que el intento de abrir nuevas rutas, estaba muy vigilado por los cartagineses; tanto que destruían cualquier embarcación que veían marchando hacia Iberia. De hecho, mi padre y Kolaios, llegaron hasta tierras de Tartessos, navegando por la noche y durante el día arriaban velas, como si la nave estuviera a la deriva; por si aparecían barcos extraños (siempre simulando pedir ayuda, por estar perdidos en la mar; evitando ser descubiertos como exploradores).

EL día antes de que partiera para aquella expedición, nadie en nuestro hogar pudo dormir y saliendo yo al atrio de la casa, encontré allí a mi padre preocupado y pensativo; mirando al cielo de la noche. Entonces, le pregunté qué le pasaba, pues no sabía qué decirle (principalmente para evitar que me enviase de nuevo a dormir). Él me contestó:

-“Hace ya unos cuatro siglos nació entre nosotros (los hebreos) un niño cargado de ilusiones y pasiones. Vió la luz y la tierra de Israel justamente una generación antes de que lo hiciera el rey Salomón. Aquel, con solo tres años se enamoró de las estrellas y de la Luna, por lo que salía todos los días, tras el atardecer, a intentar alcanzarlas. Pensó que podía bajarlas hasta nosotros con su honda y así, noche tras noche, se ponía bajo el raso del cielo, a lanzar piedras a cada una de las estrellas (y hasta, a la propia Luna). Los que le rodeaban, al ver al pequeño mandando al aire sus proyectiles con la honda a diario, se reían y le preguntaban qué intención tenía. Él les contestaba que había de alcanzar con una de sus piedras la Luna o alguna las estrellas, para conseguir que bajasen y llegar a tocarlas. Viendo que su intención no cesaba durante años, cuantos se acercaban a ese niño, los judíos quedaban admirados de que noche tras noche, pasara tantas horas mandando “glandes” (proyectil del hondero) al cielo.

Aquel chico creció y un dia se hizo un joven; un adolescente que manejaba con gran fuerza y destreza su honda. Resultando que por aquel entonces, un gigante atormentaba a los hebreos invadiendo sus tierras y sus lindes. Fue precisamente ese niño, quien se atrevió a enfrentarse al temido llamado Goliat. Derrotándole tan solo con un golpe de "glande", enviado con su honda a la frente del que asolaba a los hebreos. Tras su victoria, fue elegido rey de los israelitas con el nombre de David”-.

Terminado el relato, mi padre se tapó los ojos, para que no le viera las lágrimas que en ellos había y apretándoselos fuertemente prosiguió:

-“Esto que te narro, hijo mío; es para que siempre tengas en cuenta que los que mas traen la felicidad y la prosperidad a los suyos, son aquellos que desde niños se atreven a soñar y a intentar alcanzar la Luna y las estrellas. Mañana, parto hacia Occidente por mar, junto a Kolaios el samio, en busca de Tarshish (la que los helenos llaman Tartessos). No sé si lo conseguiré, pero si no la alcanzo, siempre ten en cuenta que me fuí con el espíritu que tuvo nuestro rey David, intentando llegar hasta el cielo y traerlo, para compartirlo con todos vosotros. Si nunca vuelvo, siempre has de mirar al cielo por las noches, pues seguro y en algún lugar del Universo, cuando se oculte el Sol, tu padre estará observando la belleza del Cosmos que tú ahora observas... ”.-

Tras decir aquello, se quitó una fíblula fundida en ese metal que vosotros llamáis orichalkos (se trata de una aleación de bronce "perdida comentada dor Plinio el Viejo y Platón -entre otros-), con la Estrella de David y que él siempre llevaba en su hombro izquierdo. La puso en mi mano y mientras la cerraba sobre aquella, me dijo: -“Toma hijo mío, esta estrella, símbolo de la ilusión y la alegría de nuestro pueblo (que tristemente hoy sufre el cautiverio bajo Babilonia). Guárdala y crea un Mundo dentro de ti, para que siempre puedas intentar alcanzar la Luna y los astros; porque aunque nunca llegues a ellos, quizás sí puedas al menos traer tu vida interior hasta los tuyos…Porque el cielo, la Luna, las estrellas y todo lo que jamás se puede alcanzar, solo vive dentro de nosotros.”-

(La expedición de Koleos de Samos hasta Tartessos se fecha hacia mediados del siglo VI a.C. Tal como este texto nos narra, salieron las naves desde Samos y fueron hasta los puertos egipcios que estos griegos tenían en la desembocadura del Nilo. En el camino, de vuelta, dice la Historia, que la nave se perdió y erró su rumbo, vagando por el Mediterraneo durante dias, hasta llegar a tierras de Tartessos, donde entablaron contacto con su rey: Arganthonio. La teoría que nos presenta este texto, de como llegan hasta Tartessos los samios por mediación, ayuda y apoyo del faraón Amosis -aliado de los jonios- parece mas cierta y probable que un simple error de rumbo... Ello, porque además Amosis dominaba asimismo Chipre, donde aún vivían los huidos de Tiro y Sidón; fenicios que tras la invasión de sus tierras por Nabucodonosor, perdieron también la primacía del comercio con Tartessos y su poder sobre las colonias fenicias de Occidente -Gadir, Malaka, Sexi etc.-. Pasando los cartagineses a controlar casi todo el comercio con Tartessos, tras la caida de Fenicia. Por lo que la expedición de samios, organizada con la ayuda de Amosis, que nos narra el texto; se ajusta perfectamente a lo que en verdad pudo suceder en estos años en los que Tiro Sidón e Irsael, fueron subyugados bajo el mandato de Nabucodonosor  y las rutas hacia Tarshis y sus metales se controlaron solo por Cartago) 

Hasta esa nohe que partió a Tarshis, nunca había escuchado hablar a mi padre como un rabino, pero aquel amanecer  comprendí que el espíritu de la educación recibida en su juventud, no se había apagado nunca en él. Pasaron los años y siempre supe que sus éxitos se habían debido a aquella ilusión de “los de David”, que deseando llegar a alcanzar el Cielo, al menos consiguen que la vida no sea un infierno. Y todo esto, te lo cuento, compañero Pitágoras, no solo porque fuiste un gran amigo de mi padre; sinó sobre todo para que comprendas que quizás tus ilusiones de alcanzar y crear el gran teorema de la matemática, es más que un motivo para continuar (sin pensar en lo que ayer ocurrió). Pues no debes entristecerte porque te hayan dicho que a lo largo de la Historia ya han formulado muchos una teoría similar a que tú encontraste; pués tuya es si tú solo la descubriste. Ya que a veces, lo mas importante no es solo descubrir algo, sinó tener el valor y el arte para escribirlo y divulgarlo.... 

Además, esta noche he tenido un extraño sueño. Un raro y terrible sueño, que quizás proceda de las advertencias que muchos me llevan transmitiendo acerca de Egipto. Pues mi padre, que llegó a tratar con personas de Memfis y Sau (es Sais) cercanas al faraón, me dijo ya que este rey que hoy el Nilo tiene, puede ser el último de los faraones….

Pitágoras, que hasta entonces permanecía callado y a la escucha, dio un pequeño cabezazo y giró su rostro hacia mí; como asustado. Me miró y con cara de extrañeza, se llevó la mano a la boca, tapando los labios (como hacían los helenos) y me dijo:

-“No hables de ello aquí, ni pronuncies así el nombre del Faraón Amosis. Estamos en su templo y las paredes oyen día y noche”-.

Le dije entonces:
-“Ya ha amanecido. Voy a escribirte sobre la tablilla de matemáticas lo que he soñado, que es algo importante; pues quizás por ello me llamaron José (Joshua), al leer bien los sueños (como aquel que consiguió ver en ellos el futuro de Egipto…). Y es que esta ciencia de visión, es milenaria entre nosotros y con ella muchas veces sabemos interpretar lo que hay en el espíritu y en las intenciones mas profundas del hombre-.”

Saqué entonces la bandeja de arena (con sus varillas), que nos habían traído para hacer cálculos y dibujos y en ella escribí en una mezcla de griego con jeroglíficos que Pitágoras ya entendía, poniendo en ese "heleno-egipciano":
-“Decía mi padre, que el Faraón de Sais (Amofis), es un hombre inteligente, pero duro y sin raíces nobles. Ha educado a sus hijos (entre ellos a Psamético) fuera de las normas de la filosofía y de la realeza, por lo que sus descendientes son débiles y frágiles (cargados de defectos y caprichos). Tristemente, los babilonios, Ciro o Cambiases, emperadores de la nueva Persia, están al acecho sobre Egipto; pero saben que Amosis es fuerte y disciplinado, pues intentaron hace decenio invadirle y este les rechazó con fuerza. Por lo que han decidido esperar a su muerte (que no tardará mucho) para caer sobre el Nilo. Porque dan por seguro que cuando este faraón fallezca, podrán llegar con una victoria sin apenas lucha ni bajas, hasta su capital, Sau,  y conquistar todo el imperio de los faraones sin problemas ni grandes batallas”-.
(La referencia histórica que nos da el texto se ajusta a la realidad, dado que Amosis verdaderamente era un rey autoproclamado y sus descendientes crecieron en el ocio y la indisciplina. Este monarca gobernó mas de cuarenta y dos años el Nilo -hasta el 526 a.C.-; llevando su capital a la ciudad de Sau -Sais-, cercana a la de On -Heliópolis-. Se tiene por el último de los grandes faraones plenamente egipcios y su reinado se considera la época final dorada de este Imprerio, que tras él se vió invadido por los persas y ya no vuelve a tener carácter plenamente nilota. Amosis fué un rey filo heleno, tanto que dio autorización de vivir y varar en varios puertos en el Nilo a los jonios, pactando con Polícrates de Samos como aliado -tal como el texto narra-. Igualmente, llegó a casarse con una princesa de origen griego y ayudó a restaurar y recostruir el Templo de Apolo en Delfos. Rey muy interesado por la religión y sus misterios, fué generoso en ayudar a los santuarios y sacerdotes; por lo que la historia que nos narra el texto de cómo llegó Pitágoras hasta Egipto, no es nada extraña y puede ajustarse perfectamente a la realidad histórica. Por su parte, también es cierto que Amosis al final de sus días decide romper los pactos con sus aliados griegos, tras lo que solo unos meses después de subir al trono su hijo Psamético III, el reino del Nilo fué invadido por los persas.)

Pitágoras leyó cuanto yo había escrito en la bandeja de arena que le pasé y asintió con la cabeza, borrando luego con su varilla las palabras mías, poniendo sobre ellas en griego “continúa”; a lo que seguí; añadiendo:

-“Antes de venir al templo y de decidir ingresar como sacerdote en On y luego aquí, en Uaset; hablé con mi madre (se refiere a los templos de Heliópolis y Tebas, donde sabemos que Pitágoras y su compañero estudiaron). Le pregunté por qué mi padre tenía ese repetido deseo de que yo me hiciera matemático, entre los del oráculo del Sol y ella me contestó que mi progenitor estaba francamente preocupado por la situación de Egipto. Sabía que a la muerte de Amosis, su hijo Psamético podía ser invadido por los persas, los terribles herederos de Nabucodonosor, el destructor de Israel y Judá, que tenía en cautiverio al pueblo hebreo. Así mi padre le aconsejó que lo mejor para mí sería hacerme sacerdote y que en caso de que Egipto fuera invadido por Ciro (o por su hijo Cambiases), al conocer los oráculos y los astros, yo podía encontrar un sitio o refugio entre los babilonios (sin ser condenado a la esclavitud, como el resto de los israelitas, o los egipcios fieles a su país).

Por lo demás me dijo mi madre al despedirme, que si entraban los persas en nuestras tierras, jamás abandonase el templo y me hiciera pasar por sacerdote egipcio de origen griego. Dado que en ello mi circuncisión no me delataría, pues los clérigos del Nilo van circuncidados. Por lo demás si me hiciera pasar por extranjero (fenicio o jonio, dado a que hablo el hebreo y algunas lenguas helenas), seguramente los persas me respetarían y me utilizarían para pacificar a los sacerdotes. Pese a lo que debía asegurarme siempre poder huir de Egipto, si llegaban los babilonios. Por ello me aconsejó venir hasta este último y primer templo de Ra en, Uaset, junto a Siene, la primera catarata; casi en los límites del reino del faraón Amosis, por si tenía que huir al sur.”- 

Le pasé la bandeja de arena escrita a mi compañero y el rostro de Pitágoras cambió al comprender lo que había en mi "intención" de hacerme sacerdote. Leyó mis palabras sobre la arena y las borró de un baquetazo; tras lo que rápidamente me escribió:
-“Promete por tu padre fallecido no contar nunca jamás cuanto voy a ponerte aquí”-. Lo prometí de palabra, en voz baja (y muy extrañado)…. Pasó entonces el griego a redactar rápidamente unos párrafos en aquel marco lleno de arena, que decían:

-“Amosis, rompió hace unos años los pactos con los helenos, entre ellos los que tenía con el samio Polícrates. Se ha aventurado a estar solo, sin naciones que le apoyen y es viejo, llevando mas de teinta años en el trono (estamos en el 535 a.C.). Los griegos saben que Ciro y los persas van a entrar sobre Egipto y ello no puede ya evitarse, pues tan solo esperan la muerte del faraón, para caer sobre su débil hijo, el futuro rey Psamético. Los sacerdotes del Sol, conociendo que pueden ser invadidos en cualquier momento por los babilonios, fueron a hablar con la liga jonia de la fócida (mi tierra). Les expusieron que en caso de caer Egipto bajo Ciro o Cambiases, querrían que alguien protegiera a sus sacerdotes, pero el faraón había roto sus pactos con los helenos y Egipto estaba solo frente a los persas, por lo que se sentían preocupados e indefensos.”-.

Me pasó la bandeja y cuando le hice el gesto de haber leído aquello, borró lo escrito y prosiguió poniendo:
-“Polícrates y otros tiranos de las islas jonias se ofrecieron a los sacerdotes, para enviar varios alumnos griegos a los templos mas importantes de Egipto, con el fin de que aquí estudiásemos. Venimos pagados en parte por las arcas jonias y también ayudados por algunos de los mas importantes sacerdotes de Egipto. Nuestra función acordada aquí, es la de aprender todo cuanto podamos de los templos y en caso de invasión, no huir de ellos. Pues los helenos han hablado ya con Ciro, para que si entran sus ejércitos en Egipto, no destruyan del todo el sacerdocio egipcio, ni los lugares mas santos del Nilo. Le han convencido para que se sirva de los griegos que aquí estudiamos y los aproveche, obteniendo a través de ellos, en los templos del Nilo toda su sabiduría y conocimientos. Los sacerdotes que se llegaron hasta la Jonia han pactado que así sea, si con ello se evita la destrucción de los templos.”-

Mi cara fue de asombro al leer aquello, pues conocía solo que pocos años atrás el faraón había roto sus pactos con los helenos, pero nada más pude suponer. Borró de nuevo la arena y siguió Pitágoras escribiendo:
-“Por cuanto te cuento, tu padre medió en estos tratos entre los jonios y los sacerdotes de Egipto que hasta allí se acercaron; quienes plantearon que había de intentarse, que ni los templos faraónicos, ni su religión, fuera destruida en caso de invasión babilónica. Llegando al acuerdo de que lo mas adecuado era enviar varios estudiantes extranjeros (incluso de tierras cercanas y amigas de los persas) a los mas importantes recintos sagrados del Nilo. Para formarlos aquí, por si en ellos entraban Ciro (o Cambiases), que aquellos helenos no huyeran del lugar sagrado (como se suponía iban a hacer la mayoría de los sacerdotes egipcios). Tras ello, al función nuestra sería la de explicar que somos extranjeros, cercanos de los persas y tratar que el templo sea respetado. De no conseguirlo, hay un trato para que Ciro (o bien Cambiases), nos dejen libres, tras haber contado y enseñado a los invasores, todos los secretos aprendidos en el templo; a cambio de que no destruyan los santuarios y en ellos introduzcan a sus sacerdotes o sus sabios zoroástricos.”-.

Me quedé horrorizado, pensando que mi destino allí no era una decisión mía, sinó que mi situación e ingreso en el Oráculo de Amón-Ra, había sido ya pensada, planeada y planteada perfectamente por mis padres… Por lo que le escribí en la tabla de arena:-“Pero, yo… ¿He ido hasta On y luego he venido hasta Uaset, con algún motivo que tú conozcas?-.”

A lo que él respondió:

-“Tu padre parece que no ha fallecido de muerte natural y que su enfermedad pudo deberse a estos “elixires” que tanto los faraones, como algunos cortesanos y sacerdotes, son tan aficionados a administrar. Al sentirse enfermo y saber que pudo ser descubierto realizando los pactos con los jonios (a los que Amosis había echado del Nilo), me hizo llamar. Mandando una misiva, para que viniera a Egipto a estudiar con vosotros, como él deseaba (sufragando sus amigos samios mis viajes y las prebendas que voy pagando en los templos). Me pidió en su última "carta" que te trajera al templo del Sol junto a Siena, en lugar mas lejano de Memfis y de la Corte de Sais (por ello te convencí de no entrar en el templo de On -Heliópolis-, cercano a la desembocadura y donde comenzamos a estudiar hace un tiempo).

Mi misión no es solo ingresar contigo en el sacerdocio, sinó la de hacerte pasar por griego, en caso de que nos invadan los persas (como puede ocurrir en cualquier momento). Aunque ahora, la misión de los dos, es aprender cuanto podamos de la Luz de Egipto (la matemática y la ciencia de los dioses), para que en caso de invasión, sin precisar huir, podamos salvarnos a nototros y al templo de ser destruido (simplemente narrando los secretos). En lo que respecta a ti, no hay problema, pues conociendo la lengua griega como lo haces, podré hacerte pasar por heleno y tu circincisión se debería solo a haber ingresado en la casta sacerdotal, no a ser judío…”-.

Al leer estas palabras escritas por Pitágoras con la varilla de geómetra y sobre al arena de cálculos, me quedé profundamente preocupado y algo triste. Solo pude contestarle escribiéndole unas pocas palabras, que recuerdo fueron:

-“Gracias, amigo. Amigo mío y de mis padres… Ahora entiendo el extraño sueño que esta noche tuve, en el que he visto como los dos salíamos del templo, mientras Egipto era destruido y quemado. Después, tú escribías y divulgabas cuantos conocimientos habíamos aprendido en sus templos y gracias a ello nadie más tenía que volver a repetir la Historia”-.

Cuando estaba Pitágoras leyendo aquello, se oyó un ruido en la puerta. Rápidamente dimos un golpe a la arena y borramos estas últimas palabras y todo cuanto habíamos escrito, haciendo como si estuviéramos trazando cículos sobre la bandeja. El sonido de la entrada, era de un sacerdote aún impuro, que venía a despertarnos; llegaba con el rostro alegre pues decía que traía buenas noticias para nosotros…. Le preguntamos cuales eran y nos dijo que, casi seguro, ya estábamos admitidos en el templo; pero vendrían los maestros a hablar con nosotros y a comentarnos lo que había sucedido con otros aspirantes. Nos dio unos higos pasos, medio pan ácimo y un jarro de agua, para que desayunáramos; mientras nos preguntaba con cara de listo:

-“¿A que no sabéis de donde es este agua?”….

Dijimos que no y el lego replicó con cara de mas listo aún:

-“Del Nilo, porque en Egipto no hay otra. ¿Veis como aún os queda mucho que aprender?.... Me voy que dentro de poco vienen los maestros… A ver qué os dicen, de vuestras respuestas…”-.

Nos miramos, pensando que en cualquier lugar había tontos y el lego se fue, creyendo que había dicho una genialidad (porque sus palabras eran raras de escuchar de boca de un clérigo, ya que el dios Apis impedía beber a los sacerdotes agua directamente tomada en el Nilo...). Al poco rato y mientras nos preparábamos para seguir contestando relaciones entre la circunferencia y los polígonos, aparecieron los maestros de la Casa de la Vida matemática y astronómica que nos examinaba. Llegaron y nos comunicaron que estábamos admitidos, pero que en ello había un problema. Pues era verdad que fuéramos los mas sabios entre los que se habían presentado a pruebas, pero también era cierto que nuestros conocimientos procedían de otros anteriores, quienes nos los habían transmitido. 

Por ello, tendríamos que pasar unas nuevas y últimas pruebas que demostrasen nuestra creatividad y capacidad matemática. De aquellas, ya dependería que entrásemos como aprendices (legos), o directamente, como sacerdotes al templo. Explicándonos que si ingresábamos como aprendiz (sin rango de clero), habríamos de trabajar en categoría de ayudante al sacerdocio, largo tiempo hasta que pudiéramos presentarnos a un nuevo examen, para conseguir ser sacerdote con plenos derechos. Escuchamos lo que nos decían y nos felicitamos por el resultado. Tras ello, les preguntamos cual era la última prueba, a lo que nos dijeron:

-“Tenéis que hallar el volumen de la esfera... Es decir, explicarnos cual es la relación que hay entre esa circunferencia de 10 dedos (que tan bien nos habéis razonado) y una esfera de igual diámetro. Para ello, podeis pedir tan solo tres artilugios de medida o trabajo (que sean admisibles en pruebas del templo) y antes de que se ponga el Sol, esta tarde, debeis contestarnos correctamente.”-

Pitágoras y yo, nos miramos un poco asustados por la dificultad que veíamos en la pregunta y les dijimos si nos daban un mas poco de tiempo, para poder elegir aquellos utensilios que nos ayudaran medir o estudiar, el volumen de la esfera. Nos dijeron que no había problema, ya que hasta el final de la tarde, teníamos el tiempo que deseáramos para contestar a la raqzón del volumen y de pedir los tres objetos para estudiarla y demostrarla. Pasamos unas horas pensando qué se necesitaría y al final solicitamos unas maderas flexibles (juncos o mimbres), un embudo y una vejiga de cerdo limpia y vaciada.

Se quedaron muy asustados por nuestra petición, tanto que cuando nos trajeron esos utensilios, todos quisieron ver cómo y para qué queríamos tan extraños objetos…. Pero al saber como los usábamos, les produjo risa; pues tras hacer unos aros perfectos y redondeados con maderitas y mimbres, que medían exactamente 10 dedos de diámetro. Metimos la vejiga de cerdo entre ellos, para que quedase ceñida por aquel contorno. Después, ayudados del embudo, comenzamos a llenarla de agua. Poco tardamos en conseguir que la piel del cerdo fuera tomando forma globular y se adaptara justo al tamaño de los aros que la ceñían. Cuando estuvo llena y parecía ya una esfera de 10 Dedos de diámetro, decidimos vaciarla en el cuenco cilíndrico (que teníamos, de idéntico diámetro), para medir cuantos dedos ocupaba de volumen. Finalmente, medimos el total de capacidad, poco a poco y con el recipiente de medir 1 y 4 Dedos cúbicos, que también teníamos; saliendo unos 520 Dedos.

Horas estuvimos reflexionando sobre la relación entre los diámetros, perímetros y volúmenes; y cuando cayó la tarde contestamos a los sabios que pedían nuestra respuesta lo siguiente:

Que su Diámetro al cuadrado, multiplicado por el Area de la circunferencia, todo ello dividido por 3/2 era igual al Volumen.
Y siendo el Area igual al Diámetro multiplicado por el Perímetro (dividido en cuatro); bastaba hacer con una misma cuerda una circunferencia y un cuadrado, para hallar toda la operación.
Es decir que en el caso de un Diámetro 10 era:

(Diámetro × Área) ÷ 3/2 = Volumen de la esfera

{10 × (10 x 10 × π ÷ 4)} ÷ 3/2 = 523 + ½ Dedos (= 523,5987…. en nuestro sistema decimal)

Los sacerdote maestros, nos felicitaron por la conclusión obtenida pero nos dijeron que el método y la razón eran erróneas: Primero, el método, porque no debíamos haber pedido una vejiga para llenarla a un igual tamaño de la esfera; debíamos haber solicitado un gran cuenco en forma semiesférica perfecta (cuanto más grande, mejor). Ya que con la mitad de una esfera, perfectamente hecha en metal o cerámica, llena de agua; hubiéramos calculado perfectamente el volumen real. Por lo que consideraban un gran fallo, intentar crear nosotros nuestra propia esfera entera (no media), preocupándonos mucho de mantener este tamaño de diámetro 10. De tal manera lo matemáticamente mas exacto, hubiera sido disponer de un recipiente grande perfectamente semiesférico, donde medir  a mayor tamaño el valor del volumen.

Por último, la razón no se correspondía con lo que los cánones egipcios pedían, pues para calcular el Volumen de la esfera, había de realizarse por la fórmula de la pirámide, que era la siguiente.

Tomar la circunferencia que queramos en cuerda; hacer luego con su perímetro, un cuadrado y con el diámetro, un triángulo. Tenemos así lo que llamaban los sacerdotes “la pirámide del Volumen” (que es dividir en cuatro partes el perímetro y en tres el diámetro). Tras ello, multipliquemos un lado del cuadrado, por un lado del triángulo. El resultado multiplicado por el Diámetro es el volumen de la media esfera…. Es decir, que la fórmula del templo partiendo de la pirámide sagrada, debía ser:

1-Hacer un cuadrado con el Perímetro de la circunferencia (como si fuera la base de la pirámide)   
2-Hacer un triángulo con su Diámetro (como si se tratara de las apotemas de la pirámide)

3-Multiplicar un lado del triángulo, por uno del cuadrado.

4-Multiplicar el resultado por el Diámetro, y ello era ½ del Volumen de la esfera.

Poniendo el ejemplo de un diámetro de 10 dedos resultaría:

(Perímetro ÷ 4) × (Diámetro ÷ 3) × Diámetro × 2 = Volumen de la esfera

En dedos: (7 + 100/117 Dedos) × (10 ÷ 3 Dedos) × 10 dedos × 2 = 523 + ½ Dedos

En sistema modeno decimal teniendo en cuenta que ¼ de Perímetro sabemos que es (10 × π ÷ 4 = 7,85398…) y 1/3 del Diámetro es: 10÷3 = 3,333…

Volumen = 7,85398 × 3,333…. × 10 × 2 = 523,5987….

Lo que resulta igual al sistema moderno de hallar el volumen de la esfera que se considera:

Volumen = 4/3 de “pi” por el radio al cubo

Siendo en nuestro caso, Radio = 5; sería:

Volumen = 4/3π × 5³ = 4,18879… × 125 = 523,5987….

Por último, los sacerdotes expusieron que la razón matemática del volumen, era la cifra sagrada dividida entre 6 (se refiere a "pi" partido por 6); teniendo que exponerse que el volumen de la esfera es igual al Diámetro al cubo, dividido por 6 y multiplicado por la cifra sagrada (3+1/7). Es decir:
(Diametro · Diámetro · Diámetro) : 6 · (3 + 1/7) = Volumen


Lo que en sistema moderno decimal, con el diametro 10 se expresaría:
Diámetro al cubo, partido por 6, multiplicado por "pi" = Volumen
(10 · 10 · 10) : 6 · 3,1416 = 523,6

Tras habernos expuesto los sacerdotes, que claramente habíamos fallado en el método de hallar el volumen. Primero, por no haber previsto que ha de medirse en medias esferas, hechas en cuencos (no en pellejos hinchados…). Y que habíamos errado en algo mucho mas importante, como era la relación entre la pirámide y la esfera…. Determinaron que habíamos de entrar e ingresar como aprendices, teniendo el deber de presentarnos en 12 meses a un examen nuevo de sacerdocio. Mientras tanto, trabajaríamos en calidad de lego, en las funciones que a partir de ese momento nos daban en el templo. Así fue como Pitágoras y yo, entramos en el Oráculo de Ra en el año judío de 3126 (se refiere al 535 a.C.); el mayor templo de culto solar de los egipcios.

  

Pitágoras y su compañero Joshua, ante las pruebas de ingreso a sacerdocio en Tebas.

Continuamos con la “narración” en la que Joshua, hijo del mercader judío Mishel, cuenta como fueron aceptados él y Pitágoras, en el templo de Amón Ra, de Uaset (Tebas; la actual Luxor):

Como de costumbre, el relato lo recogemos en cursiva y en otra letra (negrilla) añadimos las notas aclarativas sobre datos, fechas y etc. Comienza así esta segunda parte:

Tras comentarnos los sacerdotes el valor de cifra la sagrada de la circunferencia, que equivalía según unos a: 3 + 1/7 (el texto se refiere a π = 3,142857…); y que para otros era: 3 + 17/12 (en este segundo caso, menciona a un número Pi = 3,141666…); nos confirmaron que debía ser recordada  como 22/7. Ello porque bastaba con multiplicar por 10 dos veces +1 y dividir por 7 para hallar La Cifra (pi), lo que se hacía sumando diez veces mas uno y doblando la cantidad, para partirla por siete y así teníamos cualquier número multiplicado por ella:

Nos explica aquí el texto que para multiplicar por "pi" los egipcios realizaban la siguiente operación:
Siendo  X el número a multiplicar, iban sumando:
(10 X + 1 X) · 2 = 22 X
22 X : 7 = "Pi" X

También, nos advirtieron los maestros de las Casas de la Vida (sacerdotes especializados en enseñanzas), una vez mas y nuevamente; que escribirla era anatema religioso y que debíamos conocerla, nunca olvidarla, mas no transmitirla ni menos dejarla por escrito.... Tras oir aquellas palabras, mi amigo Pitágoras preguntó a clérigo maestro, por qué estaba prohibido escribir aquellos conocimientos matemáticos de los templos de Egipto; a lo que aquel sabio le dijo en tono muy serio:

-“Amigo de Samos, aspirante al templo del Sol en La ciudad de Ra: "Uaset, la de las cien puertas". Cuanto aquí oigas o escuches debes memorizarlo toda tu vida, pero solo podrás hablarlo con otros sacerdotes del culto al Sol egipcio. !Pero, nunca podrás escribirlo!. Ello, por dos motivos:
El primero, porque si escribieras nuestros conocimientos, estos pueden caer en manos del vulgo, de quienes no los entiendan y de quien los use para destruir la Sociedad egipcia; tanto como de otros que los vendan a los enemigos del faraón.
El segundo, porque de escribir estos conocimientos, ya nunca mas habrían de pensar los sacerdotes de los templos y teniendo así todo descubierto y en papiros, caerían en el ocio y la incultura.

Por ello, nunca olvides tú, Pitágoras el samio, que cuanto aquí escuches o aprendas, jamás lo podrás escribir (ni debieras enseñarlo a ajenos al templo del Amón-Ra), porque no serán conocimientos tuyos, sinó lo son de Egipto. Y como tal, siempre, en cualquier lugar del Mundo conocido habrá un egipcio que si viera quien rompe estos secretos del templo, vengará al faraón y a los miles de años de civilización egipcia. Estando en el derecho de dar muerte a quien traiciona así nuestra cultura.

Ello te lo advierto, por si salieras del templo tras haberte instruido con nosotros y tras este examen; pero si ingresaras (lo que supone que jamás volverás a la vida exterior), solo violar el secreto de los conocimientos de palabra, dará permiso a cualquier lego o sacerdote de culto al Sol, para poder envenenarte con un “elixir” preparado para esos fines (sin que nadie conozca jamás los motivos de tu muerte). Creo que nada mas hay que explicar y que ya sabíais donde veníais, antes de entrar a pruebas”-.

Quedamos asustados con las palabras tan claras, de aquel sacerdote-maestro; pero Pitágoras se atrevió a preguntarle, sobre el futuro y lo que pensarán sobre Egipto aquellos que nacieran dentro de cientos o miles de años; cuando ya no exista esta nación. Temiendo porque crean que la civilización del Nilo fue de ignorantes, habiéndose olvidado cuan profundos son los conocimientos matemáticos entre los sacerdotes del faraón… A ello, le respondió el clérigo:

-“Amigo heleno; tienes cabeza de Samio, no de egipcio y ello es problemático en estas tierras. Hablas de cuando Egipto no exista; algo que no puede ocurrir, pues esta nación lleva existiendo desde que el Mundo es Mundo y al menos tres mil años hace que reinan en ella nuestros faraones; porque Egipto, siempre existirá. Por lo demás, sobre los conocimientos de matemáticas y medicina, nuestras momias y nuestros monumentos hablan y hablarán, a quienes deseen averiguarlos dentro de miles de años (como hoy estudiamos las pirámides levantadas en tiempos de nuestro señor Imnhotep, arquitecto sagrado) (se refiere a Imhotep el gran arquitecto de Djoser, cuya existencia se tada en el siglo XXVII á.C.). Nadie podrá decir que fuimos ignorantes en medicina, matemáticas, ingeniería o ciencia, al ver nuestras momias conservadas y operadas; observar nuestras edificaciones colosales construidas en piedra, aún en años que no había el acero (metal que apenas llegó hace cuatro siglos) (los egipcios distiguían tres tipos de hierro entre los que estaba el que llamaban "kyanus negro", o acero. Al igual que los hebreos, denominaban hierro del Norte a este hierro templado que les llegó con las invasiones procedentes de Anatolia, hacia el 1200 a.C.. Pese a ello, en el texto vemos como Egipto no reconce la presencia del acero hasta que los "hombres procedentes de la cultura de este metal", fuéron proclamados faraónes. Nos referimos a los Pueblos del Mar y Sensoq I).

Sobre los conocimientos de astronomía, bastará estudiar nuestra religión, plena de dioses en los astros; o nuestras horas y calendarios, para suponerlos. de igual manera, en las medidas y orientaciones de nuestra arquitectura sagrada, se encuentran nuestros conocimientos de la cúpula celeste y sus movimientos. Tanto como al imaginar como nos orientamos en el desierto, pudiendo cruzarlo durante miles de Estadios, podrán saber cuanto sabemos de matemática y astronomía (el Estadio egipcio en esta época equivalía a unos 158 metros, aproximadamente) . Pues, solo valiéndonos del conocimiento del cielo y de las sombras hemos sido capaces de sobrevivir y viajar por el desierto, durante miles de años.

Sobre lo demás, toda la sabiduría civil egipcia, se conserva en pliegos y papiros en las Casas de la Vida (que componen algunas leyes, la contabilidad y los conocimientos autorizados para los no iniciados). Pero, la verdadera sabiduría es sagrada y siempre ha de serlo, para que la Sociedad se defienda de sus usurpadores. Pues los mas grandes conocimientos, no deben revelarse al vulgo, so pena de que la gente no iniciada y que es capaz de matar por dinero, vender la sabiduría al enemigo, o traicionar a Egipto, lleguen a tener la misma capacidad y fuerza que un sacerdote (sagrado y noble)”-.

Tras aquellas palabras, se produjo un terrible silencio en la celda y para cortar esa tensa situación, intervine diciendo que mi amigo Pitágoras, llevaba poco tiempo en Egipto (cerca de un año) y no conocía del todo, ni su sistema ni sus “secretos”. Su primer maestro Anaximandro, de Mileto y discípulo de Tales, ya le había dicho hacía largo tiempo que debía venir al Nilo, a aprenderlo todo sobre la matemática mística. Aunque, sabiendo que desde el día en que ingresara en un gran templo egipcio, no podría volver a salir, antes de llegar hacerse sacerdote, había viajado por todo el Mar conocido; residiendo en Siria, Magna Grecia y hasta en el país de los hiperbóreos. Viajes que había hecho, en parte, gracias a mi padre; por lo que al morir mi progenitor, sintió la llamada de Egipto y hasta aquí se llegó, convenciéndome para ingresar junto a él en el templo….

El maestro se sintió muy interesado entonces por Pitágoras y le confirmó que había oído hablar del famoso Tales, quien predijo un eclipse y con ello hizo ganar una batalla a los milesios. Pero le advirtió que ese saber que en Mileto enseñaban, era de los sacerdotes; tanto que el eclipse predicho por Tales, se denominaba ciclo de Saros entre los magos babilonios. Tras ello, expliqué al maestro sacerdote, que mi padre había sido instruido como rabino en su juventud y también me había enseñado aquel ciclo de Saros, que regulaba el calendario judío, y que marcaba  cada diecinueve años, la unión entre la Luna y el Sol (cuando coincidían sideralmente). Periodos, que igualmente medían nuestros años judíos… Al oir aquello, no quiso el maestro del templo saber más y dijo con tono severo:
-“Por ello caen y se destruyen muchas de las naciones; por dar a conocer sus secretos de sabiduría a todos... Esos "todos" sin espíritu ni inteligencia, que los usan: Primero para destruir y después para olvidar aquella ciencia que les ha llevado al poder...“-.

Tras pronunciar aquellas serias palabras, se levantó y salió de la celda en tono adusto, acompañado por cuantos venían con él.

Pese al inciso y suceso, un tanto desagradable; no nos desanimamos en seguir pretendiendo entrar en el templo, y al marcharse los sacerdotes de nuestro lado, continuamos investigando sobre la circunferencia y su relación con el círculo. Comenzamos por el punto en que lo habíamos dejado, pasando ahora a ver la relación entre la circunferencia hecha con una cuerda y el cuadrado que luego hacemos, con la misma.

De ello, regresamos a aquel círculo de diámetro 10 Dedos, que tenía 31 + 1/7, Dedos de Perímetro y su cuadrado  y que al dividir entre cuatro (el perímetro), era de 7 + 10/11 Dedos; recordando que el área era algo mayor a 78 Dedos.
Así concluíamos antes, que la relación del área de la circunferencia y la del cuadrado, hecho con el mismo contorno; era del Diámetro multiplicado por un lado del cuadrado (es decir 10 × {7 + 10/11} = 78 + 1/2 Dedos cuadrados).

Siendo Área del Cuadrado con el que trabajamos, la multiplicación de sus lados, resulta (7 + 10/7)².

Parece indiscutible que el área del cuadrado se relacionase con la del círculo en la cifra sagrada dividida por 4, es decir:

4 ÷ 22/7 (se refiere a 4÷π)

Ya que Area del cuadrado multiplicado por 4 y dividido 22/7 = Area de la circunferencia

En "sistema matemático moderno", quiere decirnos:
Area del Cuadrado × 4÷π = Area de la circunferencia
Lo que se musetra en sistema decimal en que
Siendo el lado = 7,85398... ; Area del cuadrado = 7,85398 · 7,85398 = 61,6850... dedos cuadrados
y el area del cuadrado multiplicado por 4/"pi" es el del circulo.
Es decir:
(4 : 3,1416) x 61,6850 = 78,5398... 

Por su parte, mi amigo Pitágoras pasó a comentarme otra fórmula, que era aquella que en Mileto le habían explicado de modo confuso, tras lo que él había realizado un teorema propio. Pues cuando estudió triángulos con los discípulos de Tales, le enseñaron modos de hallar las Hipotenusas, aunque sin explicación concreta. Por lo que él se había inventado un axioma para encontrarlas, de manera exacta. Se trataba de dibujar tres cuadrados perfectos, con cada lado del triángulo, correspondiendo siempre la suma de los cuadrados de los lados vertical y horizontal a el cuadrado hecho con la diagonal. Así me enseñó que: “lado a² + lado b² = hipotenusa²”.

Tras explicarme aquello, tomó la cuerda que era igual al perímetro de nuestra circunferencia en longitud (31+1/7 Dedos), e hizo un triángulo equilátero con ella. Me enseñó que al dividir la cuerda en tres, quedaban tres lados iguales de unos 10 + ½ Dedos; de lo que así, se podía hallar fácilmente la altura y área del triángulo al que nos enfrentábamos. Ya que sabíamos el valor de un lado y la base (igual a un lado partido por dos). (habla del triágulo equilátero, cuyos lados son iguales y que para encontrar su área, el medio mas fácil es hacer: 1/2 de Lado multiplicado por Lado).

Por ello, con el fin de encontrar su área, con Base=1/2 del lado (hipotenusa). Aplicando su teorema, era fácil encontrar la altura y el área; ello lo hacía Pitágoras formando cuadrados con piedras a los que él llamaba cálculos. Hizo así un cuadrado de 10+1/2 Dedos por lado y otro de la mitad (5+1/4 Dedos por lado). La resta del cuadrado mayor del menor que construyó con piedrecitas en el suelo Pitágoras, era un total de 82 + 1/4 cálculos. Tomo esos 82 y ¼ pequeños trozos de piedra y comenzó a construir un nuevo cuadrado que incluyera todos ellos; al final teminó bien de componerlo y aquel último tenía algo mas de 9 piedras por cada lado. Confirmando que esta debía ser la altura del triángulo equilátero hecho con la cuerda del perímetro.

Como el área sería igual esta altura por su base (es decir: 5 + ¼ x 9); dedujimos que el Area era de unos 47+ ¼ dedos cuadrados).

(Es decir, en sistema moderno se expresa: 
si el lado del triángulo = 1/3 del perímetro de Circunferencia = 10,4719; 

su base sería ½ del lado= 10,4719÷2 = 5,2359

por lo que aplicando Pitágoras, su altura es raíz cuadrada de (10,4719)² menos 5,2359²

de lo que su altura es 9,0689 Dedos y su área 47,4851 Dedos cuadrados).  

Por lo demás, me enseñó el samio, que tal como le habían dicho los discípulos de Tales en Mileto, estos triángulos equiláteros tenían una curiosa función interior dependiendo de 4 y de 3. De tal manera, si se hacía un cuadrado equivalente a 4/3, la diagonal que cruzaba era de 1 +1/3. Si luego hacíamos otro cuadrado con piedras o medidas de dedos, que su total fuera 1+1/3; su diagonal sería 1+10/64 aproximadamente. Por ello, multiplicando cualquier altura por 1+10/64, nos daría el lado de su hipotenusa para formar el equilátero; tanto como dividiendo un lado del triángulo equilátero por 1+10/64; resulta su altura central.

(Es decir, nos explica que en los triángulos equiláteros: Lado ÷ √4/3 = Altura)

Por lo que la relación entre el área del triángulo y la del cuadrado, era la raiz cuadrada del inverso de 9/8.

Pero además, el Samio me enseñó algo muy curioso, como era que la raíz cuadrada de Altura al cuadrado, dividida por 3; era igual a la base…. Lo que suponía que √(9 x 9: 3) venía a ser la base del triángulo (o un medio de su lado).

Ello porque siendo Hipotenusa = 2 cateto opuesto (base);

Cateto adyacente es igual a: √{(½ Hipotenusa)² × 3}

O lo que es lo mismo: Altura = √(base² × 3)

Tras llegar a esas primeras conclusiones, llamamos al consejo de sacerdotes y se lo explicamos todo. Pitágoras narró su teoría para hallar lados e hipotenusa del triángulo y los maestros del templo le escucharon muy atentos. Tras ello, le preguntaron quién le había enseñado ese axioma qu afirmaba que los catetos al cuadrado sumados eran igual a la hipotenusa al cuadrado.... Pitágoras expuso que era conclusión personal suya, obtenida tras lo que le explicaron en la escuela de Mileto. Los sacerdotes quedaron muy sorprendidos y le dijeron que era una teoría antiquísima y conocida desde tiempos de Imnhotep (hemos dicho que es siglo XXVII a.C.), como se veía en el cálculo de las medidas de las primeras pirámides.

Pitágoras no daba crédito a ello, pensando que era teorema suyo, a lo que uno de los sacerdotes, le replicó:

-“Nosotros nunca escribimos cuanto sabemos, pero los babilonios sí lo hacen. Comprueba algún dia si puedes, cuantas tablillas hay en aquel país que narran tu forma de solucionar el triángulo. Algunas de ellas se dice que datan de antes de las pirámides nuestras y los magos de Mesopotamia comentan que esa fórmula mágica, llamada de la diagonal en los cuadrados, tiene ya mas de dos mil años”-. (es cierto que el conocido teoréma de Pitágoras se expresa en tablillas babilónicas del III al II milenio a.C y en matemática de la India y China coetaneas a la de Babilonia) 

Pitágoras quedó algo entristecido al conocer que la fórmula que él había descubierto era un teorema conocido al menos miles de años antes. Tanto fue así, que les dijo a los maestros que era imposible que así fuera, pues él mismo había tardado casi diez años en plantear y perfeccionar esa teoría. Aquellos, le miraron muy seriamente y el mas mayor de todos le dijo:

-“Samio, tú nunca sabrás cuantas veces el hombre ha tenido que hallar la misma solución, ya encontrada una y mil veces, por nuestros predecesores (cientos o miles de años antes descubierta y olvidada, descubierta y olvidada...)”-.

Este hecho fue como un mazazo en el espíritu de Pitágoras, quien desde que oyó aquello, ya nunca deseó salir mas del templo. Pues aquello fué como si le hubieran poseído el espíritu, demostrando que cuanto había estudiado, trabajado y preparado; de nada serviría. Ya que lo que creía haber descubierto, lo que otros muchos ya habían escrito miles de años antes. Ahora quizás comprendía por qué no se debían de escribir los conocimientos, para permitir que otros tuvieran la ilusión y la felicidad de hallarlos… Pese a ello, yo me acerqué a Pitágoras y le dije:

-“Amigo de Samos; si un dia sales de este templo y vivieras de nuevo en tus tierras, debes enseñar tu teorema a todos, para que lo conserven y lo escriban; pues es un tesoro matemático que resuelve el círculo y gran parte de toda la matemática que se conciba. Ello podrá permitir calcular y guiarse en los mares y en la tierra a cuantos lo deseen… No hagamos que el mundo retroceda: Los conocimientos han de escribirse, para que el Mundo sea mejor y quizás vuestro empeño entre los helenos de escribirlos, haga que un dia el Hombre progrese, sin retroceder nunca jamás… Los judíos también escribimos.-“.

Pitágoras un tanto asustado, me replicó:

-“Calla, por favor. Aquí las paredes oyen. Estamos en el oráculo del Sol; donde dejar evidencias o divulgar los conocimientos de gran profundidad, está penado hasta con la muerte. Tú eres de cultura judía y yo helena, que escriben gran pate de lo que descubren; pero los egipcios matarían por lo que hablamos, si supieran que deseamos divulgar sus conocimientos. No pensemos nunca en salir y solo trabajemos para nuestro espíritu en la matemática y la geometría sagrada”-.

Nos echamos a dormir, aunque Pitágoras no pudo descansar ni un minuto, pensando en su fracaso... Así terminó esta primera jornada de trabajo.

El segundo día fue mas sencillo, pues planteamos ya el cuadrado y el triángulo en el interior del círculo. De tal manera, recordando que siendo el Diámetro 10 dedos y el Perímetro 10 x 3+1/7; comenzamos a trabajar para incluir en su interior las figuras de un cuadrado perfecto y un triángulo equilátero.

Decidimos hacer todo por separado y el que primero lo resolvió muy fácilmente, fué Pitágoras, aplicando su teorema. De ello, tomó el Diámetro y lo partió en 4/3; tras lo que así supo que esa era la altura del triángulo interior (7+1/2 Dedos). Tenida ella, le fué muy fácil ya saber los lados y el área; para lo que bastaba hacer el cuadrado de 7 Dedos y medio, divirlo por 3 y hallar su raiz cuadrada. Es decir:

√(Altura² ÷ 3) = Base (= ½ de Hipotenusa)

(En el caso que nos ocupa, en sistema moderno, sería 7,5 Dedos de altura y 8,66025 Dedos de lado del triángulo insertado en la circunferencia de 10 dedos de diámetro.

Correspondiendo el área a 32,4759 dedos.

Pues como halló pronto Pitágoras: El área es Altura × Base = 7+1/2 dedos × 4+ 1/3 = 32 + ½

Mas rápido fue el samio en encontrar el cuadrado dentro de la circunferencia, ya que dijo se hallaba calculando solo el diámetro como hipotenusa.
De lo que siendo diámetro 10; resultaba que √(10² ÷ 2), era el valor de los lados de un cuadrado insertado en una circunferencia de ese diámetro. Por lo que los lados eran √50 = 7 + 1/14 Dedos.

Cumpliéndose en lo que estudiabamos una función curiosísima como era que:

LA MITAD DEL DIAMETRO, MULTIPLICADO POR EL DIAMETRO = AREA DEL CUADRADO INSERTADO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

Es decir que 10 dedos multiplicados por 5, es igual al área del cuadrado insertado en su círculo. Que en este caso es un cuadrado de 7 + 1/14 Dedos por lado.

Por último decidimos hacer un triángulo y una circunferencia con la atura y lados del Diámetro, para hallar sus razones comunes a este:

De lo que el cuadrado de lado 10 Dedos, tenía lógicamente el área de 100 y era la mitad que la anterior (que era de 50 dedos cuadrados). Por lo que pudimos concluir también que el cuadrado hecho en el exterior del círculo era del doble del área al que se hiciera dentro, y ella siempre sería igual al diámetro multiplicado por su "medio diámetro" (en el caso del insertado) -y evidentemente, al diámetro al cuadrado en el que va por fuera-.

Y como el área de la circunferencia es igual al Diámetro² multiplicado por “22/7” y dividido por 4. Ello concluye que el área del cuadrado con igual lado al diámetro, es lo mismo que el área de la circunferencia multiplicada por 4÷22/7.

(Al decir 22/7, se refiere al π antiguo, de lo que la fórmula que nos dan es:

Area de la circunferencia x (4÷π) = Area del cuadrado con lado igual al diámetro)

Yo, por mi parte, fui trabajando de manera muy distinta y como me habían enseñado, que era calculando a través del Mar de Salomón. Así, llegué a las mismas conclusiones que mi amigo el heleno, pero, por medio de tomar el recipiente redondo que nos habían entregado y marcarlo en su borde con 300 señales iguales (a modo de grados). Allí y sobre ello, tensé las cuerdas a diferencia de 100 grados de los judíos (que eran 120 entre los grados egipcios) y llegué a construir el triángulo equilátero perfecto, cuyos lados tal como decía Pitágoras, eran de 8 + 10/15Dedos.

El cuadrado dentro del círculo lo hice de manera igual, tensando cuatro cuerdas equidistantes sobre el recipiente circular, marcado con 300 grados iguales. Increiblemente, cuando lo realicé, salió exactamente lo que Pitágoras aseguraba al calcular con su fórmula de 10 como hipotenusa y afirmando que los lados del cuadrado eran √50 = 7+ 1/14 dedos.

Todo ello lo fuimos apuntando en la tablilla que nos entregaron los maestros y cuando estos vinieron, se quedaron asombrados al ver que los dos habíamos llegado a la misma conclusión por tan diferentes caminos (Pitágoras aplicando su teoría de los triángulos y yo marcando el cuenco circular, a modo del Mar de Salomón). No podían dar crédito de cómo dos personas trabajando juntos, habían llegado a la misma conclusión por dos formas tan distintas, por ello dijeron que a una se le denominaba matemática pensada y a la otra (la mía) matemática representada.

Así terminó el segundo día, y ya solo nos quedaba un amanecer para poder ingresar en el templo del Sol, en Uaset, cerca de Siene (se refiere el texto al actual templo de Karnak, en la Tebas y Siene griega, las actuales Luxor y Aswan).