De Cnossos a Tartessos (matemática, filosofía y sacerdocio, en la Antigüedad): marzo 2020

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El artículo se desarrolla en un texto escrito en negro y se acompaña de imágenes con un amplio comentario explicativo (en rojo y cuya finalidad es razonar las ideas). Podrá leerse completo, pero si desea hacerlo entre líneas, bastará con seguir la negrilla o las letras rojas destacadas.

SOBRE ESTE PÁRRAFO: Tabla tomada de los estudios de Pedro Redondo Reyes (Myrtia, N 18, 2003; CLAUDIO PTOLOMEO Y LOS MODOS MUSICALES GRIEGOS). A continuación, recogemos los valores que varios matemáticos y geógrafos griegos daban a los intervalos musicales; configurando escalas diferentes, conforme su propias teorías (filosóficas, físicas o aritméticas)

BAJO ESTE PÁRRAFO: Escena fotografiada en 360º, de la representada en una crátera del siglo V a.C., propiedad del Museo Arqueológico de Nápoles (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen). En la imagen, homenaje a Prónomo; famoso auleta -tocador de aulos- representando como un Orfeo. El tema (a mi juicio) recuerda el texto de Virgilio, en Geórgicas -IV, 985 y ss.-, donde se narra la muerte de Orfeo; al que matan, desmembran y cortan la cabeza, tirándola al río Heber. Tras ello, su cítara seguirá sonando (templada por el viento) y su boca continuará cantando melodías, pese a haber sido cercenada del cuerpo. Hemos tomado la fotografía de la tesis doctoral de Luis Calero (1) , donde habla de Prónomo de Tebas; que fue un “flautista” del siglo V a.C., cuya memoria se recuerda en esta famosa cratera con volutas, cercana al 400 a.C.. Explicando que recibió su fama al haber sido capaz de interpretar todas las “harmonías” con este instrumento de viento (1b) .

A ) - INTRODUCCIÓN:

A – 1) Las músicas en la Antigua Grecia

Intitulamos este epígrafe como “Las Músicas” helenas, debido a que la teoría musical no fue solo una, entre los antiguos griegos. Ya que sus estudiosos se dividieron en numerosas escuelas, que interpretaron de manera muy distinta la ciencia de la armonía. Formulando muy diferentes teorías acerca de la afinación, los temperamentos, los Modos, Tonos y las técnicas para descubrir el valor de los intervalos o del equilibrio acústico y melódico. Esta multiud de interpretaciones sobre la música -en mi opinión- se debió a la procedencia de los conocimientos helenos; heredados en su mayor parte de otras civilizaciónes. Asimilados de religiones, saberes, filosofías o artes; venidas de Oriente Medio, de Egipto y de la antigua Babilonia (o la coetánea Persia). Una realidad de la que apenas se habla, pero que resulta evidente cuando se profundiza en los conocimientos de Grecia. Pues la gran mayoría de los saberes de este pueblo egeo, fueron tomados de Asia Menor, de Mesopotamia o del Nilo. Aunque la principal diferencia con esas otras culturas milenarias, que les habían aportado sus ciencias y filosofías; fue que los griegos se atrevieron a escribirlos y a divulgarlos.

Asimismo, al recoger y enseñar aquellas teorías; los helenos se apoderaron de ellas, atribuyéndose todo logro tomado de civilizaciones anteriores. Pese a ello, el verdadero valor de Grecia fue haber redactado los referidos conocimientos; dando a conocer lo que para otras culturas fueron secretos y dogmas mistéricos. Aunque el celo heleno por apropiarse de esos saberes ancestrales, tuvo como error no reconocer que muchas de sus bases filósoficas o científicas, eran heredadas. Negando lo que finalmente la arqueología ha ido descubriendo; al encontrar escritos jeroglíficos o tabillas mesopotámicas, donde se explican teorías que Grecia hizo luego suyas -en ocasiones, miles de años después-. Finalmente este trasvase no reconocido de saberes, les llevó a ignorar algunos de los fundamentos en dogmas científico morales, recogidos como propios. Desconociendo en ocasiones la realidad última de estas disciplinas y hasta su verdad empírica. Lo que sucedió -a mi juicio- con la teoría de la música griega. Que fue tomada desde métodos de Asía Menor y del Nilo; sin llegar a comprender muchos de los sabios helenos, la verdad que expresaban. Pues la ciencia es tan solo un sistema demostrable, que explica del modo más sencillo y lógico la realidad. Sin poder existir diferentes verdades en lo que se refiera a armonía y equilibrio acústico (ya que en gran parte, es ciencia).

Con el fin de entender bien lo que explicamos, realizaremos un paralelismo que mostrará los errores sobre teoría musical griega que mencionamos. Nuestro ejemplo será el calendario que utilizaban las diferentes ciudades egeas, y que se terminó dividiendo en tantos, como Estados importantes hubo en el Egeo. Existiendo durante la antigüedad el calendario Ático, Beocio, Espartano, Corintio, Tesalio, Rodio, Etolio... . Un largo etcétera de fórmulas para la medición del tiempo; todas muy similares, pero que comenzaban en diferentes fechas y tenían distintos parámetros cíclicos. De igual forma, la teoría armónica y musical entre los griegos, tuvo tantas escuelas como templos y filósofos desearon diseñar un modelo propio. Originando una proliferación de afinaciones, Modos, Tonos y Escalas; que en muchos casos se catalogaron conforme los maestros o la región que las desarrollaban. Existiendo de esta manera, las fórmulas musicales denominadas Lidia, Doria, Frigia y etc.; frente a los sistemas de temperar pitagórico, de Terpandro, de Arquitas, de Aristógenos, ptolomaico etc.. Todo en base a afinaciones, fórmulas e intervalos “inventados”; en muchos casos sin tener en cuenta que la Armonía matemática y física es solo una y exacta -basada en el equilibrio acústico-. Donde no se pueden introducir parámetros subjetivos, como son el gusto o el parecer personal. Aunque estas escuelas filósoficas antiguas helenas y sus estudiosos musicales, en ocasiones valoraron las Escalas (la composición y sus reglas); añadiéndoles aspectos ajenos a la verdadera ciencia. Formulando teorías en base a un gusto melódico o a técnicas relacionadas con la poesía; ajenas a la física o a las matemáticas.

JUNTO ESTE PÁRRAFO: De nuevo, una de las vitrinas de la exposición que celebró La Caixa hace unos meses en Madrid; en este caso observamos varias tablillas sumerias. De izquierda a derecha, Himno a dios Ninn-Guizida, del 1900 a.C., procedente en Irak (propiedad del Museo del Louvre, al que agradecemos nos permita divulgar nuestra imagen tomada en la exposición de Madrid: MÚSICAS EN LA ANTIGÜEDAD,de Caixa Forum -obra socia de La Caixa-). A su lado, la “Alabanza de la azada” igualmente encontrada en Irak y fechada hacia el 1750 a.C. (propiedad del Museo del Louvre, al que agradecemos nos permita divulgar nuestra imagen). Estas tablillas podemos relacionarlas con el famoso canto a Nikkal (también llamado Himno de Ugarit) del que abajo tenemos copia de su tablilla y la versión grabada.

Una de las grandes injusticias históricas es el olvido en que ha quedado la cultura Fenicia y el mundo semita; cuando tratamos sobre los inicios de la civilización helena. Ya que el comienzo de Grecia se debe en gran parte a la colonización púnica; que llegó a las costas del Egeo tras pacificarse las invasiones dorias. Arribando las naves de Tiro y Sidón hasta su litoral, desde el siglo X y IX a.C.; para fundar diversos puertos, aportando numerosas innovaciones culturales a la zona. Entre ellas, el alfabeto heleno; cuyo origen está en el alefato semita; enseñado por esos marinos venidos desde la actual área Siria. Otra de las grandes aportaciones de Tiro y Sidón a la Hélade, se halla en las religiones proto-egipcias. Difundiendo entre los egeos cultos que antes fueron de Biblos, mantenidos en Fenicia; lo que culminó en deidades y ceremonias tan importantes como las de Eleuysis o Adonis. Que en verdad hemos de entender como los misterios de la Isis Elena (Eleusis) y la adoración a Adonai, deidad máxima de Biblos y de los semitas (Adonis). Asimismo, el calendario griego, las matemáticas, la astronomía y su interpretación de la música; tiene un origen similar. Procediendo principalmente de Oriente Medio; importado en gran parte por los púnicos -aunque con enorme influencia egipcia, por su tradición bibliota-. Pese a ello, la enorme diferencia entre los helenos, los fenicios y los egipcios; es que estas dos civilizaciones predecesoras no escribían su teoría de la ciencia, ni sus misterios filosóficos. Estando penado con la muerte entre los súbditos del faraón, transcribir los secretos de los templos (fueran políticos, astronómicos, matemáticos o artísticos); sin preocuparse tampoco los de Tiro y Sidón por redactar ni divulgar sus saberes.

Cuanto se halla inscrito en estas tablillas de las imágenes, no son cánticos fenicios; pues cuando estas piezas de arcilla se hicieron faltaban varios siglos para que el Tiro y Sidón nacieran (ya que hasta el siglo XII a.C. no podemos hablar de esa nueva civilización surgida tras las invasiones del Hierro y denominada fenicia). Pero sin duda en ellas se enuentra el antecedente de la música que luego se interpretaría en Fenicia y que lógicamente sería importada a sus colonias (de la Hélade o de Iberia). Recomendamos oír el mencionado CANTO A NIKKAL (himno de Ugarit) en la versión que ha subido a Youtube Milagros Montes Machuca; interpretada al arpa por Michel Levy, en interpretación tomada de su disco “The Oldest Know Melody: 1400 b.C.”

https://www.youtube.com/watch?time_continue=90&v=IHvsq1OSzwo

ABAJO: Varios vaciados réplica de tablillas halladas en Ugarit, fechadas en el siglo XIV a.C.; y que contienen anotaciones musicales -mandados hacer por Schaeffer desde fragmentos originales que actualmente guarda el Museo de Damasco-. Destaca entre ellos, la tableta expuesta en la parte superior; una copia del famoso Canto a Nikkal, hallado en Ugarit (la foto ha sido también tomada en la exposición de Madrid: MÚSICAS EN LA ANTIGÜEDAD,de Caixa Forum -obra social de La Caixa, a la que agradecemos nos permita divulgarla-).

Como dijimos anteriormente, los calendarios helenos son un buen ejemplo para entender lo que fue la ciencia y su aplicación entre los griegos; especialmente la teoría armónica. Pues la medición del año egeo tuvo un mismo origen que el método musical; procediendo de Oriente Medio. De tal modo, los calendarios que usaban en la Antigua Grecia gozaban de unas bases ancestrales; aunque fueron interpretados de muy distintas formas por ellos -conforme a épocas y ciudades-. Ya que las diferentes Ciudades-Estado “copiaron” (o bien importaron) el sistema “lunisolar” oriental, sin dominar plenamente su regulación. Midiendo el tiempo los helenos con antiguas fórmulas, usadas ya por los mesopotamios del tercer milenio a.C.; pero sin conocer bien su significado. Ciclos basados en la Luna y en sus ajustes con el Sol; que tiene en fases de 29,53 (mes lunar cuyo nombre procede de la Mensis egea). Ello supone que el año lunisolar comprende doce “mensis” de unos 354 días (29,53 · 12); periodos que coinciden con el astro rey en etapas que los mesopotamios y babilonos llamaban: Saros y Gran Saros (2) . De tal forma, mil años antes de la existencia de Grecia; Mesopotamia y Babilonia, regulaban sus calendarios en base a esos 19 años solares (Saros), que correspodían a 235 lunaciones. Cerrando el ciclo calendárico con el Gran Saros, que conformaba 8 Saros de 19 años; 152 años solares que equivalían a lo que significa el “siglo bisiesto” para nuestro sistema Gregoriano (3) .

Cuanto hemos explicado sobre la medición del tiempo en el Egeo, demuestra que la cultura griega heredó y adaptó el calendario lunisolar semita; aunque no supo realmente ajustarlo. Porque en un principio, resolvió la diferencia entre el año solar (de 365 jornadas) y el lunisolar; a través de un ciclo de doce meses lunares, con 29 y 30 días alternativos, lo que sumaban 354 días. La descompensación entre ambas anualidades (se Sol y la Luna) era de 11 días; por lo que durante los primeros tiempos, los helenos introducían cada tres años solares (365 jornadas), un mes lunar añadido y de 33 días (3 fases de 11 jornadas). El resultado fue que tres años solares, de 1095 días (365 · 3); equivalían a tres años lunares (354 días por 3, más un mes “bisiesto” de 33). Pese a ello, no encajaban astralmente; pues ni el Sol tiene un ciclo de 365 días (sinó de 365,2422), ni la Luna un periodo lunisolar de 29,5 días (sinó de 29,53). Para su ajuste mejor, los griegos idearon el sistema olímpico; por el que su anualidad lunar tenía 12 meses de 29,5 días (354) y cada 4 años de Lunas, incluían un mes bisiesto, de 30 día (a lo que sumaban “un resto”; que correspondía a unos 15 días). Estas jornadas añadidas para que el Sol y la Luna coincidieran sinódicamente, es lo que llamaron Olimpiadas; estudiadas conforme a la duración de los ciclos de ambos astros. Con un periodo bisiesto de 15 días cada cuatrienio. Pues cuatro años solares son exactamente 1461 días; y cuatro años lunares más un mes de 30 días, suponen 1446 días. Por lo que al añadir los 15 días olímpicos, se coincide casi exactamente con los 4 años solares (365,25 · 4 = 1461 = 1446 + 15 = 354 · 4 + 30 + 15 ).

El “ajuste” inicial para cuadrar calendáricamente el Sol y la Luna, se llevaría a cabo entre los años 776 y 772 a.C.; cuando se celebran las primeras olimpiadas. Por lo que debemos pensar que durante esos periodos olímpicos, los astrónomos griegos se reunían para determinar la duración del sínodo añadido de quince días y encajar en sus ciclos ambos astros. Pese a ello, la Historia narra que hacia el 500 a.C., un estudioso del cielo llamado Cleostrasto de Tenedos, determinó un sistema prácticamente igual; proponiendo incluir cada ocho años solares, un mes añadido y lunar, de 30 días. Todo lo que supondría desconocer el sistema de ajuste olímpico... . Los “extraños avances” propuestos por astrónomos griegos no se quedan el de Cleostrasto de Tenedos; que más bien parece desconocer el significado de “año olímpico” celebrado cada cuatro anualidades del Sol, añadiendo 15 días al calendario lunar. Sino que el famoso Metón “descubre” hacia el 433 a.C. que Luna y Sol coincidían sideralmente cada 19 años; instituyendo el llamado el ciclo metónico. Fórmula de corrección lunisolar, que se consideró ideada por este científico heleno, sin tener en cuenta que en el tercer milenio a.C. los mesopotamios ya regulaban estas fases del Sol y de la Luna en base a periodos de 19 años y a un ciclo mayor de 152; a los que llamaban Saros y Gran Saros (respectivamente). Aunque los griegos “descubrirían” dos milenios después y gracias a Metón esos sínodos de 19 años; pues para hallar la coincidencia entre ambos astros cada 152 años tardarían los griegos dos siglos más. Pese a que miles de años antes, los babilonios ya denominaban Gran Saros a ese ciclo de ocho Saros de 19 años, con el que regulaban sus calendarios -(19 · 8) años solares = 1880 lunaciones (de 29,53 días)-.

Para terminar este epígrafe, añadiremos unas palabras atribuidas a Arístides, Quintiliano, experto en música y explicando la falta de coordinación calendárica de la Hélade -todavía en el sigo V a.C.-. Escribiendo el sabio musicólogo heleno: "no deberíamos sorprendernos de esta irregularidad en los meses de los griegos, porque todavía en nuestro tiempo que la ciencia de la astronomía se cultiva más y se profundiza más exactamente, algunos comienzan sus meses cuando los demás terminan los propios" (4) . Estas frases se podrían extrapolar al mundo de a música griega; donde cada templo y cada escuela filosófica, tomaba unas pautas propias, para crear su particular “Escala”, sus “Modos”, sus “Tonos” y el valor de cada intervalo. Utilizando en muchos casos conceptos que no se atenían a principios matemáticos, ni físicos; sino a fundamentos del gusto personal o de educación y estética de cada lugar o teórico. Lo que generó numerosas teorías de la música; una gran parte sin base armónica ni científica.
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JUNTO Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Fotos de una castañuela (palillo de entrechoque) egipcia de la XII dinastía -propiedad del Bristish Museum al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. Bajo ellas hemos incluido dos tablas que presenta Pedro Redondo Reyes en su obra "La Harmónica de Claudio Ptolomeo" (5a) . Arriba, "Correlación entre los intervalos obtenibles en aulós conservados y los géneros ptolemaicos". Abajo, el "Esquema transmitido por Alipio en su tratado, junto con la notación" (5b) . Observemos los diferenetes modos de afinar y de valorar los Tonos en la Antigua Grecia; donde se dieron infinidad de Temperamentos. Distiguiéndose entre escuelas que formulaban su teoría en base a conceptos matemáticos o físicos, a las que denominan “pitagóricos”. Frente a otras que creaban un sistema musical sin atender a conceptos científicos; llamados Aristoxénicos o Aristotélicos.

A – 2) Origen y diferentes escuelas musicales helenas:

En varios artículos anteriores, hemos tratado el tema desarrollado en nuestro anterior epígrafe; hechos que se podrían resumir en dos ideas: Primero, considerar que el sistema musical heleno fue heredado (de Oriente Medio, de Mesopotamia y del Nilo); por cuanto ellos mismos no comprendían plenamente su significado y leyes. En segundo lugar, que al ser un método armónico importado y al desconocer muchos de los griegos las raíces primigenias de su método; llegaron a inventar fundamentos musicales sin base científica (sin principios físicos y matemáticos, que deben solventar toda la teoría musical). Pese a lo dicho; habrá quienes justifiquen que se pueda crear un sistema de temperar, sin aplicar una teoría de equilibrio científico y tan solo basado en criterios propios o de estética. Habiendo quienes defienden que es admisible generar una teoría musical; diferenciando Tonos, Modos, Escalas y cuanto se desea, inventando una “ciencia propia” de la armonía (sin base matemática o física). Nadie niega que haya quien puede afirmarlo; pero a nuestro juicio pensar así es como quien asevera que el calendario puede inventarse, sin atender a los ciclos astrales. Creando una medición del tiempo conforme nos place, sin observaciones del cielo y simplemente teniendo en cuenta la llegada de las lluvias, del frío o del calor... . Algo que puede considerarse un almanaque para conocer los cambios del tiempo meteorológico; pero no una medición del tiempo cronológico. Ya que este concepto de método que regula la cronología, tiene por base los ciclos siderales (del Sol, de la Luna o del planeta que se elija). De un mismo modo, la escala musical y los temperamentos, han de ser fijados basándose a una teoría matemática o física y no conforme a unos gustos (tal como se hizo en parte de las escuelas griegas, donde se llegan a crear intervalos y Octavas, a través de un estilo estético).

Regresando a lo expuesto y para comprender que el sistema musical heleno era heredado de Oriente Medio o del Nilo; recogeremos una frases de un gran experto que así lo afirma. Nos referimos a Curt Sachs, quien escribe en su maravillosa obra LA MÚSICA EN EL MUNDO ANTIGUO: “Aunque Grecia es geográficamente parte de Europa, su música era predominantemente asiática. Los mismos griegos admitían, incluso subrayaban este hecho. Ellos debían a los egipcios, a los sirios, al Asia Menor, y a Fenicia la invención de los instrumentos que usaban; dieron a dos de sus principales tonalidades nombres derivados de países asiáticos, Frigia y Lidia; se referían a Egipto como la fuente de sus ideas músico-pedagógicas, y atribuían la creación de la música a Olimpo, el hijo de Marsias el Frigio” (6) . Tras leer las frases anteriores, redactadas por uno de los mayores especialistas en música antigua; no puede cabernos dudas sobre el origen de las técnicas y métodos de este arte en Grecia. Todo lo que explica por qué muchas escuelas helenas no comprendían las fórmulas, ni el análisis de la armonía propia; ideas que desarrollé ampliamente en mi artículo SOBRE EL ORIGEN EGIPCIO DEL TEMPERAMENTO PITAGÓRICO: De la "Tetratkis" o la década; base matemática del Nilo (7) .

Una vez comprendidos los hechos referidos, entenderemos los problemas de la teoría musical en la Hélade; donde sus diferentes escuelas y sus más destacados teóricos tenían visiones opuestas acerca de la música. Sobre ello, Pedro Redondo Reyes, nos dirá en su traducción de la obra de Ptolomeo (Tá Armónika): "desde mucho antes de la época de nuestro autor -Ptolomeo- la teoría musical estaba divida en dos facciones: pitagóricos y aristoxénicos (...) En lo que a la música atañe, la racionalidad se buscará mediante el instrumento musical llamado canon, ya introducido aquí, y que cumple la tarea de asegurar la homologación entre los sentidos y la razón" (8) . Continua mencionando Redondo Reyes que entre los distintos métodos para hallar el valor de la Escala, fue más valorado el de Pitágoras; aunque cayó en el olvido durante los primeros siglos de nuestra Era. Escribiendo: “Entre estos sistemas destaca el pitagórico (del siglo VI a.C.) ya en desuso en su época (se refiere a la de Ptolomeo); junto al método Enarmónico; que como hemos visto, era una simple variación del pitagórico y cuya invención se atribuye discípulos del maestro samio (a Arquitas de Tarento, o a Terpandro de Lesbos)” (9) .

Como vimos, la base técnica en estas fórmulas de temperar es muy simple; usando el monocordo (una cuerda tensada que se pulsaba a diferentes distancias). Obteniendo la Escala Pitagórica, multiplicando por Quintas las longitudes. Mientras la Octava Enámónica (o henármonica), se hallaba busando las cinco primeras Quintas multiplicando el primer tono por 4/3; y las otras seis Notas (semitonos) de manera inversa, multiplicando el tono inicial por 3/4. El resultado es que obtenemos MI-LA-RE-SOL-DO-FA (naturales Do,Re,Mi,Fa,Sol,La); y después los seis medios tonos, progresando en sentido inverso. Tal como expresa Redondo Reyes, los sistemas enármónico y pitagórico, quedaron obsoletos siglos antes de Ptolomeo; teniendo gran éxito el cromático de tipo aristogénico, aunque el que más se usaba por entonces fue el diatónico. Recoge asimismo este autor, los distintos modos de temperar según las diferentes escuelas; resumidos en tablas que en imágenes más arriba hemos plasmado -en la primera fotografía-.

JUNTO ESTE PÁRRAFO: Grabado antiguo, que representa a Claudio Ptolomeo con lo que parece una "cruz invertida", aunque en realidad es una alidada de cuerdas. Instrumento astronómico antiquísimo, utilizado como cuadrante o mira (sextante) para orientarse y también llamado ballestilla o báculo de Jacob. Con ella se determinan los ángulos, midiendo -por ejemplo- el existente entre el del horizonte, la estrella Polar, el Sol o la Luna. De tal manera, sirve para determinar la latitud, o bien la distancia que tenemos hasta un punto (si se conoce la altura de aquel). También fue usado para medir y ajustar la situación en un mapa de dos lugares; cuando sabemos la longitud, o el ángulo horizontal entre ambos. No negamos que Ptolomeo fuera un gran geógrafo y un importantísimo hombre de ciencia; pero -a mi juicio- su teoría armónica adoece del mismo fallo que su idea del Universo. Aseverando que la Tierra estaba en el centro y el Cosmos giraba entorno a ella.

A – 3) Claudio Ptolomeo y la razón matemática como método para estudiar la “Harmonía”:

En varios de nuestros artículos hemos analizado la obra musical de este geógrafo alejandrino, siguiendo la traducción de “Tá Harmoniká” que Pedro Redondo Reyes publicó como tesis doctoral (10) . Investigador que -como dijimos- realiza una magistral traducción de la obra Ptolomáica, escribiendo en su comentario que la teoría musical helena se dividía en dos facciones opuestas: "Los pitagóricos y los aristoxénicos”. Aunque “Ptolomeo acepta la confianza de éstos en la capacidad de la percepción, pero su carácter matemático le lleva a aceptar las líneas fundamentales de los pitagóricos. Un trasfondo numérico para toda la realidad, incluidos los intervalos musicales –expresados entonces en el LOGOS armónicos– y las estructuras más complejas. Con ello se pretende alcanzar un objetivo propio de más largo alcance que lo habitual en la tratadística musical: demostrar la coherencia y analogía entre el modelo matemático –las hipótesis– y los fenómenos naturales (entre ellos los musicales, pero también los celestes). En lo que a la música atañe, la racionalidad se buscará mediante el instrumento musical llamado canon” (11) -añadimos a esta última frase que lo que denomina CANON es lo que comúnmente llamamos monocordo-.

Las frases de Redondo Reyes recogidas en el párrafo anterior, se podrían resumir con la idea de que Ptolomeo fuera realmente un pitagórico (aunque con reservas). Pues en gran parte y como hacían los aristotélicos -aristogénicos-, el alejandríno reconocía que la música se entendía y nos llegaba por medio de los sentidos; pero también la considera explicable a través de la razón. Así pues genera un método propio de temperar, hallando el valor de los intervalos musicales, siguiendo sus gustos, en base a un sistema similar al pitagórico -tal como podemos ver en cita (12) -. Sea como fuere, todos los métodos de encontrar los temperamentos por una fórmula física real, parten de uno solo; un método dominado por el monocordo -o el canon- y sus subdivisiones. Es decir, que para hallar la Escala, habremos de tomar una larga cuerda; vibrada y pulsada (dividiéndola) en proporciones matemáticamente justificadas. Siendo la Octava más básica y antigua la llamada pitagórica que facciona esta cuerda en (½a + ½b) y que a continuación explicamos.

A – 3) Fórmulas para hallar el valor de los intervalos musicales:

Mucho se ha escrito acerca de los motivos que llevaron a crear una Escala con doce Notas, desde la más remota antigüedad. Razones entre las que se expone que el doce es el número sagrado en Mesopotamia (una de las pátrias de las primeras afinaciones históricas). Pese a ello, la existencia de una Escala de doce Intervalos no se debe a la sacralización de esta cifra, ni mucho menos a una comodidad o a la racionalización del sistema. Pues las doce Notas nacen del modo natural de afinación -como veremos-; ya que la Octava se halla multiplicando por 1/2 y 3/4 (1/2a + 1/2b). Es decir, que entre una nota y otra igual, hay "la mitad" (de longitud, de tensión, de peso -o modernamente, de hertzios-). Por su parte, en ese medio -o distancia entre 1 y 2- habrá que ir buscando intervalos de 4/3 y de 3/4; todo lo que provoca que sean doce las notas que surjan. De tal modo, si tomamos una cuerda tensada y la hacemos sonar; al partirla (pulsando) en su mitad, el tono que produce será el mismo que al tocarla al aire, pero en una Octava más alta. Después, hay que ir buscando (pulsando) la mitad de la ese medio -cortado de la cuerda-; realizándolo once veces seguidas y hallando así la Escala completa pitagórica.

De ello, en las guitarras que comúnmente tienen entre el puente y la cejuela unos 660 milímetros, cualquier cuerda tocada al aire produce una misma nota (en un tono más alto) que si se pulsa su mitad -en el centímetro 33-. Es decir, que entre 1 y 2 (o entre 1 y 1/2) hay una Octava. A su vez, si esta distancia la buscamos de nuevo y repetidamente; al ser multiplicada por 3/4 -comenzando desde su primer sonido-; resultará que tras doce veces 3/4, llegaremos a una misma nota. Algo que explicado sobre una cuerda de la guitarra, resuelve el por qué de las 12 notas en la Escala: Pues si multiplicamos 660 milímetros (la sexta cuerda) por 3/4, durante once ocasiones; nos irá dando puntos diferentes correspondiente a los doce tonos de la Octava. Pero cuando lo hagamos la vez número doce, marcará la misma nota en la que habíamos empezado (una octava más baja o alta). Todo lo dicho se compueba en la cita (13) , tomando como referencia la cuerda 6ª tocada al aire en la guitarra (suponiendo una longitud total de 660 milímetros). Donde puede verse como buscamos la escala completa multiplicando por 3/4, y corrigiendo su valor-.

Este primer sistema de hallar la Escala que hemos expuesto, es el más simple y es denominado Pitagórico. Pues se supone que este samio aprendió a temperar de ese modo la Escala musical -en Egipto o en Babilonia- a mediados del siglo VI a.C.; importando el sistema a la Hélade y a Magna Grecia (Crotona). Pese a ello, se considera que Terpandro de Lesbos -citarista que vivió un siglo antes de Pitágoras- fue el “inventor” de los temperamentos enarmónicos. Poniendo ello en duda de que fuera el maestro de Samos, quien enseñó a los griegos a buscar los intervalos musicales. Ya que el método de Terpandro es más avanzado y complejo; buscando los tonos partiendo desde una nota inicial, multiplicando cinco ocasiones por ¾ (para localizar las 6 notas naturales) y dividiendo el tono primero seis veces por ¾ (para hallar los 6 semitonos).

Estos que hemos mostrado en imágenes, son los primeros y más exactos métodos de hallar la Escala; aunque para los griegos planteaban un problema ético. Pues tras multiplicar once veces la nota inicial por ¾, no se llegaba a ½ o al doble del primer Tono. Debiendo calcularse la siguiente Escala, dividiendo o multiplicando por 2, los valores hallados en las primeras once multiplicaciones. Esta teoría mía supone que no existe la llamada “Quinta del Lobo”, de la que tanto se habló en la Edad Media; pues el Do2º no es Do1º multiplicado once veces por ¾; sino simplemente ½ del Do1º. Realmente, no habría ni Quinta del Lobo, ni problema al templar la Escala a modo pitagórico; pese a lo que en etapas grecorromanas y debido al "amaneramiento" del periodo clásico, vieron que este sistema carecía de “ética matemática” . Ello porque no resolvía bien la escala, ya que si se mutiplicaba el tono inicial once veces, daba una siguiente Octava, con valores distintos al 1/2 ó a 2. Todo un problema filosófico del cual surgen los múltiples tipos de afinaciones clásicas y hasta las medievales; llegando el enigma hasta el Renacimiento, momento en que los teóricos resuelven la Octava con diversas teorías matemáticas, entre las que destacó el "Sistema Perfecto" de Francisco Salinas, que prácticamente llega a resolverlo como bien temperado.

SOBRE Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Dos imágenes que ya habíamos publicado. Arriba, el mástil de la guitarra donde vemos el método de hallar las notas a través de distancias (con el monocordo); pulsando regularmente cada 4/3 la cuerda. Intervalos cuyo valor en Herztios también recogemos. Abajo, el resultado de las distintas fórmulas para temperar a Escala: Pitagórica, Enarmónica y Bien Temperada (actual).

A – 4) La “falta de ética” en el sistema pitagórico o enarmónico y las diferentes escuelas que lo rebatieron.

Lo que anteriormente explicamos sobre la Quinta del Lobo, podría parecernos un problema sin importancia; pues en la forma pitagórica parece perfectamente ajustada. Cuando tras encontrar las primeras once Notas y para resolver la siguiente Octava, bastaba con "copiar" el valor de las anteriores, dividiéndolas o multiplicándolas por 2. Pero el planteamiento filosófico no era una simple resolución práctica para un medio de afinar, ya que pretendían que el sistema fuera "perfecto" (al entenderlo unido a la "moral"). Todo lo que llevó a no considerar totalmente "ético" Escalas como las de Pitágoras y las de sus discípulos; al afirmar que iban aumentando en intervalos a cada Octava, siendo el valor del DO1º, diferente al del DO 2º. Llegando así a lo que se denominaban la Quinta del Lobo -chirriante y que desafinaba como el aullido de un cánido-. Acerca de esta Quinta del Lobo y de su interpretación tratábamos en uno de nuestros artículos anteriores; explicábamos que aquella forma de ver la afinación pitagórica era errónea. Pues, como hemos dicho, una vez obtenidas las primeras once Notas por Quintas, bastaría con multiplicar -o dividir- la primera Escala por 2, para obtener los valores del resto de Octavas. Pese a ello, este sistema no era del todo admitido por no resolver el problema descrito; considerando su "fallo" contra "ethes"; porque una misma Nota mutiplicanda 3/4, no llevaba a determinar la siguiente Octava -sin equivaler sus valores al doble o la mitad de la anterior-.

Así sería como las diferentes escuelas fueron "inventando" o experimentando procedimientos para hallar las Octavas, hasta que siete de estos se hicieron los más comunes o usados (los que vemos en las imágenes superiores). La razón de que sean siete, a mi juicio se debe a que en cada caso se comenzó a estudiar la Escala desde una diferente Nota, tomando como MESE (o tono inicial) un Tono distinto. Algo que si lo experimentamos físicamente -tal como he hecho-, veremos que cada una de las Notas en las que comencemos la Escala, nos llevarán a concebir una Octava cuya explicación ha de ser diferente. El resultado siguiente sería la necesidad de crear otros cinco Modos más, para cada Medio-Tono existente. Y finalmente hasta uno más y último, para la nota inicial de la siguiente escala (Trece Tonos, habida cuenta que en la pitagórica no DO1 y DO2 no equivalen a 1/2 ó bien a 2). Un total de trece que se hallan recogidos en el sistema de Aristógenes; tras lo que en época de Ptolomeo, se suman dos más (Hiperlidio e Hipereolio) logrando los Quince Tonos que quedaron como sistemas clásicos en los temperamentos (al menos hasta el siglo III d.C.). Todo lo que nos interna en una Edad Media en la que el problema de afinaciones debió ser irresoluble; no solo por su complejidad, sino ya solo por su sentido y el gran número de modos.

A cuanto explicamos, se une la infinidad de sistemas para hallar los intervalos ideados por los distintos templos y escuelas filosóficas grecorromanas; creando así tantas fórmulas para valorar las Notas y las Escalas, como personas quisieran estudiarlas. De ello, se llega a los métodos aristogénicos, en los que cada “sabio” idea un procedimiento propio para hallar el valor de esos Intervalos musicales, conforme a su oído perfecto. Llegando estos múltiples sistemas a valorar los gustos y las preferencias acústicas de cada “creador”, por cuanto se afinaría finalmente como cada cual deseaba. Generando un caos musical que fue aprovechado por los histriones -cantantes “heavy” grecorromanos-, que se presentaban en los escenarios del decadente imperio, recibiendo los aplausos de un público tan ignorante como inculto (musicalmente hablando). De ello, tan solo en los conventos o en los templos tardo-romanos se conservaron los sistemas clásicos de canto y de interpretación; siendo los sacerdotes y monjes los únicos que finalmente supieron templar la Escala y cantar o tocar una música culta (principalmente a modo pitagórico). Quedando en el olvido los antiguos sistemas matemáticos de hallar la Escala e interpretar las melodías, para el resto de los ciudadanos.

SOBRE Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Dos imágenes que ya habíamos publicado. Arriba, el bello pueblo Urueña, y en su cielo las distancias en una guitarra afinada a modo pitagórico; en tres Octavas que -como se ve- son simplemente la repetición de la primera escala (dividida o multiplicada por dos). Las proporciones en distancias milimétricas en el caso de buscar las Notas usando el método pitagórico sobre una cuerda de 660 mm., correspondiendo a la sexta de la guitarra. Abajo, medidas de los intervalos musicales en las afinaciones: Bien Temperada (actual), Pitagórica por Quintas, Pitagórica por Cuartas y Enarmónica -ver cita (14) -.

A – 5) El gran error platónico:

En mi artículo EL PROBLEMA DE LOS TEMPERAMENTOS Y SU RESOLUCIÓN EN FILOLAO Y PLATÓN (15) ; nos extendíamos en el “enigma” de Platón y las teorías musicales helenas. Un tema sobre el que escribí hace ya doce años las siguientes palabras: "todos los indicios arqueológicos apuntan a que los babilonios, o los egipcios, ya desde la más remota antigüedad habían dividido la escala y creado los tonos que después enseñó Pitágoras. Pese a ello, no habiendo siquiera texto alguno escrito por el filósofo de Samos -o sus discípulos- sobre la temperación; la primera descripción de la división de una Escala de la Historia se la debemos atribuir a Platón. Aunque quizás, éste no sea considerado pitagórico (porque sólo tuvo "leve contacto" con la escuela de Pitágoras), Aristóteles y otros muchos denominan a Platón como un `pitagórico más” (16) . Siendo así y sabiedo que el dogma de temperamentos y armonía (los sistemas de afinación) era irrevelable entre los de Crotona; no permitiéndose escribirlo a Pitágoras y ni siquiera a sus alumnos. Todo hace pensar que esta tradición oral y secreta, se corresponde a la conservación de misterios filosófico-cósmicos, comunes entre las religiones de Egipto y Mesopotamia (lugares donde la biografía del filósofo de Samos, narra que había estudiado). Hechos que hacen creer a los estudiosos sobre su vida, que Pitágoras obtuvo estas ideas en el Nilo o entre los del Tigris y el Eúfrates; sin escribirlas jamás (como hacían los sacerdotes de aquellas religiones impidiendo divulgar los grandes secretos).
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De tal manera, Platón aun habiendo pertenecido seguramente a la escuela pitagórica, mientras estuvo en el Sur de Italia; al escribir y divulgar el secreto de la Armonía, no sería propiamente uno de ellos . Aunque quizás pudo transmitir y recoger aquellos misterios, al haberse extinguido y destruido en su momento la secta del samio; permitiéndole al ateniense escapar de su influencia y dar a conocer libremente sus dogmas. Sobre todo lo ello escribíamos en nuestra ponencia referida en cita (16) lo siguiente: "existe una historia mencionada por Diógenes Laercio, en la que se cuenta que Platón basó su relato en las obras que compró de un discípulo de Pitágoras (Filolao de Crotona). Dice este Diógenes que el sabio de Atenas copió gran parte de las ideas, sin mencionar la fuente (añadiendo que pagó por tales escritos la inmensa cantidad de cien –o bien cuarenta– minas de plata). Este autor afirma abiertamente que la única fuente posible de Platón era la escuela abierta por el samio en Cotrona, pues "hasta Filolao no fue conocido el dogma pitagórico", añadiendo que "éste fue el que escribió aquellos tan celebrados tres libros que Platón publicó" (...) "compra que encargó Platón a Dión" (...) "lo compró de los parientes de Filolao, por 40 minas de plata alejandrinas, y de este libro copió su Timeo" (17) .

Sobre la compra de los textos de Filolao, de donde recogería Platón su fuente, decíamos en nuestra ponencia que: "no podemos -ni deseamos- entrar en el debate sobre si es real esta historia que muchos desmienten; más lo que sí es cierto y probado es que Platón ingresó en la escuela pitagórica de Crotona, y tuvo muy estrecha relación con Arquitas de Tarento (el continuador de Pitágoras y de Filolao). Por otra parte, es de destacar que Platón no cita la fuente pitagórica como iniciadora del sistema de dividir la escala musical en la forma que explica en el Timeo; ni tampoco el hecho de que la temperación concebida como la Creación del Universo, fuera una teoría filosófica de Pitágoras y los suyos. Finalmente, añadir como evidente que Platón conocía la existencia de Filolao, pues habla de él en dos de sus Diálogos, pero no en el Timeo". Todo cuanto expresamos indica claramente que el sabio de Atenas, se apropió del dogma pitagórico y lo hizo suyo. Lo que explica el oscurantismo y la falta de medios con los que redacta Platón el método de templar la Escala; dejando ver que no comprendió plenamente el significado de lo que aprendió en la escuela pitagórica, o bien que copiaba los textos de Filolao (sin llegar a entenderlos). Pues en verdad; el sabio de Atenas mezcla conceptos y deja ver en diálogos como el Timeo, que no comprende del todo el sistema que desea exponer.

En mi artículo PLATÓN Y LA PRIMERA DESCRIPCIÓN DE UNA TEMPERACIÓN EN NUESTRA CULTURA (hipótesis para su exposición) (18) ; expusimos que en el Diálogo referido de este sabio ateniense, se explicaba el modo de hallar las Escalas de un modo prácticamente ininteligible. Consecuentemente, escribíamos: Es conocido que en la obra platónica Timaios (31-36) se muestra la afinación temperada planteando que la Creación del Universo fué hecha a imagen y semejanza a la de "la música" y de sus notas (o viceversa). Este texto, se tiene como la primera descripción de una forma de medir armónicamente una Escala musical -al menos en Occidente-. En el cual nos narra Platón como el Demiurgo crea el Cosmos y en el fragmento 35 explica el "nacimiento y concepción" del "todo", de foma exacta a la de una "temperación" musical. Como si los siete planetas fueran las siete notas, junto a sus ciclos calendáricos (con sus ritmos y melodías, a modo del giro armónico de los astros), uniendo así Platón el Cosmos a la música.

JUNTO Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Al lado, ánfora ática de figuras rojas, atribuida al pintor de Berlín, fechada entorno al 485 a.C., que representa un tañedor de cítara (propiedad del Museo del Louvre; la foto ha sido tomada en la exposición de Madrid: MÚSICAS EN LA ANTIGÜEDAD,de Caixa Forum -obra social de La Caixa- a los que agradecemos nos permitan divulgarla). Abajo, diferentes piezas relacionadas con la música, tal como fueron expuestas en la exposición de Madrid MÚSICAS EN LA ANTIGÜEDAD y propiedad del Museo del Louvre (a los que agradecemos nos permitan divulgarla). A la izquierda, hombre tocando la cítara; figura hallada en Rodas y fechada hacia el 550 a.C.. En el centro, sellos con flautistas procedentes de Chipre, fechados en el 200 a.C.. A la derecha, estatua en piedra caliza con un citarista que fue encontrada en Chipre y está fechada hacia el 600 a.C. (en tiempos cercanos a Terpandro de Lesbos). Observando con detenimiento el diapasón de la lira (en su puente alto), se ven unidas unas siete cuerdas, tal como se dice tenía la cítara de Terpandro.

Los fragmentos del Timaios 31 y 32 (19) , que preceden y describen los temperamentos musicales; son los que recogemos en cita (20) . En el primer fragmento Platón refiere la idea de creación del Universo, comparándolo con el de la concepción de un hijo (entre el hombre y la mujer) donde padre y madre se hacen "uno" -o "familia"-. De este concepto, como veremos más tarde, pasa al la teoría del número de carácter pitagórico en la que del 1+2 nace el 3. Podremos apreciar que todo este texto es de origen y gran influencia pitagórica, aunque en ningún momento se cita al sabio de Samos, ni a su Escuela (pese a que el ateniense, entró en contacto con su escela en su viaje al sur de Italia). Por lo demás y a título de crítica personal, parece que en estos pasajes del Timaios, Platón desea oscurecer toda la teoría, que finalmente no sabe explicar. Algo que se observa en el segundo fragmento -ver cita (20)-, que se intepreta como un texto ininteligible; donde consideramos que nos habla del (1, 2, 3...). Serie donde el 2 tiene igual distancia, intervalo o proporción hasta el 1 que hasta el 3. A su vez, que la distancia del 3 al 2, es la misma que la del 2 al 1; por lo que todos se relacionan de igual forma. Lo que indica que los tres números son uno; ya que en el 3, se contendrán los otros dos anteriores. Escrito que va dirigido a la teoría del número de Pitágoras, en la que hemos dicho que del simple "1" nacería el infinito. Algo que se explica porque en sí mismo, las cifras se generan a en serie y unas a otras, en la forma ya descrita.

Pese a no saber explicarla Platón, esta fórmula para hallar las escalas era muy sencilla. Pues Pitágoras claramente la tomó de Babilonia o de Egipto; siguiendo métodos ancestrales. Así, tal como escribíamos en el artículo mío antes citado; basta entenderla del siguiente modo: Cuando vamos multiplicando un Tono sucesivamente por 3 y dividiendo por 2, iremos encontrando las notas que completan el diapasón. Si el Tono Inicial lo consideramos 1; veremos que cualquier sonido dividido o multiplicado por 2 o por 1/2, se corresponde con la misma Nota, en una Octava más alta o más baja. Para hallar el resto de los Intervalos, habrá que introducir el 3; multiplicando el Tono inicial por 3/2 para halla la Quinta (siguiente nota) y así sucesivamente once veces, hasta completar el Diapasón de doce Tonos. Donde el primero de la siguiente Octava es igual al inicial dividido o multiplicado por 2. Ello, supone que toda la armonía se basa en el 1, 2, 3; números que hemos de considerar los que rigen la Armonía Universal o el equilibrio del Cosmos.

Pero las Notas así logradas, no aparecen de forma correlativa (do-re-mi-fa-sol-la-si do-etc.), sino que cada vez que multiplicamos por 3/4 el intervalo de un Tono, hallamos su Quinta; es decir, cinco más arriba (cinco notas más altas, que desde el MI es el LA). Este es el modo en que la Escala van naciendo y más tarde explicaremos su razón de ser; surgiendo toda la Escala en la forma que vemos en imágen bajo este párrafo y en citas (13) y (14) . Lo expuesto, significa que Platón tan solo hubiera necesitado explicar que toda nota dividida o multiplicada por dos (en su valor de intervalo) era el mismo Tono una Octava más alta o más baja. A la vez que cualquier tono dividido por 2 y multiplicado por 3, era su Quinta (cinco notas más arriba); mientras ese tono multiplicado por 3 y dividido por 2, es una Cuarta (quinta inferior, cinco notas más abajo). Es decir, que si el Universo guarda esta armonía nacida de los Temperamentos y basada en 2, ó ½ ; 3, ó ¾ . Las órbitas de los planetas y sus ciclos se deben a ello, al igual que el equilibrio; debiendo hallarse el balance perfecto Universal en estos tres primeros números, a la vez que los sínodos planetarios. Con esta explicación que hemos expuesto en tres frases, Platón hubiera dejado claro el sistema de lograr una Escala y su relación con la Armonía del Cosmos (tal como la entendían los pitagóricos). Pero su texto Timaios, expresa que claramente el filósofo ateniense no entendía el dogma pitagórico; ni siquiera lo que explicaban esos textos de Filolao que compró y copió (destruyéndolos probablemente, pues apenas se conservaron unos fragmentos -que Arquitas debió guardar- y no se citan en los Diálogos platónicos).

Todo lo expuesto supone que los pitagóricos no pudieron trasmitir sus conocimientos de un modo legible; al no permitir Pitágoras redactar el dogma en vida y al desaparecer obras como las de Filolao. Además, algunos seguidores de esta filosofía, generaron un verdadero caos en la teoría musical griega; al no explicar debidamente sus fundamentos. Especialmente Platón, quien expone las fórmulas de la escuela de Crotona con enorme oscurantismo; haciendo ver que aquellas ideas de Pitágoras eran una extraña farsa, sin posible comprensión, ni aceptación científica. Generándose en el siglo IV a.C. un cisma, como fue el de los aristogénicos; que ni creyeron en el sabio de Samos, ni consideraron que la matemática o la física debía resolver la armonía. En este estado y bajo estos parámetros surgen las diferentes teorías musicales grecorromanas, sumidas en un caos de afinaciones, modos, tonos y largo etc. de irregularidades, que hacen imposible hasta su mínima comprensión.

JUNTO Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Al lado, Platón en un grabado fechado en 1855 y firmado por A. Roco. Este filósofo recogió los textos de Filolao (heredero de Pitágoras) y los redactó de un modo muy poco compresible. Dicen algunos que no se conformó con copiar los estudios de los pitagóricos y comprar los escritos de Filolao, sino que además los destruyó; para que nadie pudiera descubrir las fuentes del saber platónico. A mi juicio, tres fueron los motivos que generaron la confusión en toda la teoría de la música griega. El primero, que Pitágoras y los suyos impidieran transmitir o divulgar sus conocimientos a personas ajenas a la secta (menos aún escribirlos). El segundo, que quienes estudiaban las teorías pitagóricas, escondieron la procedencia de su saber. Pero tercero y más importante, fue que el sistema de afinar, consistió en un gran negocio durante la Antigüedad. Por cuanto, la gran mayoría de iniciados, no transmitían los secreto para afinar y su mecánica musical; con el fin de obtener beneficios templando los instrumentos que los músicos ponían en sus manos.

ABAJO: Ejemplo de "monocordo" hecho con la “sexta” de la guitarra; en el que vemos un metro sobre la cuerda en que vamos a buscar las notas. Asi partimos de un "MI" a 660 milímetros (sexta tocada al aire), por lo que hay otro a 330 mms. y un tercero a 165 milímetros. De tal manera obteníamos la siguiente nota sumando tres veces el menor (a 165 mm) que era su Quinta, en el milímetro 495 (165x3= 495 y que corresponde evidentemente al "LA". La siguiente es 495 mms dividido por 2, dos veces y multiplicado por 3 que ya sabemos es "RE" {(495 : 2) : 2 · 3} = 371,25 mms que es donde se situaría el RE pitagórico. Del mismo modo, sabemos que en 371,25 dividido por 2 y dividido por 2 se hallan los siguientes "RE" en octavas inferiores. Pero de nuevo multiplicando el último por 3 nos dará la siguiente nota que sabemos es un "DO" y que se corresponde con la siguiente operación: 371,25 : 2 = 185,625 // 185,625 : 2 = 92,8125 // Ahora 92,8125 · 3 = 274,4375 (que es el "DO"). De ello sabremos que en los centímetros 274,4375 por 2 y dividido por 2 están los "DO" y que se corresponden con: 556,875 mms y 139,21875 mms. Ahora para hallar la siguiente bastará con multiplicar el anterior "DO" más pequeño por 3 y nos saldrá la nueva nota que es igual a 139,21875 · 3 = 417,65625 mms y se corresponde con un "FA". Tras ello el proceso es el mismo, hasta alcanzar las doce notas.

A - 6) : Ciencia musical griega y sus sistemas de afinación.

Nos dice David Martín Sánchez que: “Para Fubini Platón no sólo se limita a transcribir doctrinas ajenas sobre la música sino que la música es en sí misma uno de los centros de su filosofía; la dificultad mayor radica en reconstruir sus ideas sobre música dado que los problemas musicales que plantea están entremezclados entre su pensamiento filosófico y político en sus principales diálogos (…) En La República habla de dos tipos de músicos, por un lado, aquellos que `no dan descanso a las cuerdas, que las ponen en tortura y las atormentan por medio de las clavijas (...) dando golpes con el plectro a las cuerdas y dirigiendo acusaciones a éstas y que estas niegan, desafiando a sus verdugos´, y por otro lado aquellos que `hacen lo mismo que los astrónomos, indagan los números de que resultan los acordes que hieren el oído´. Estas dos posiciones opuestas sobre la música estarían haciendo referencia a la diferencia entre la música práctica, que en este caso Platón rechazaría y la música teórica que es la que quiere tratar. Según Fubini, `hay, por consiguiente, una música que se oye y otra que no se oye, y únicamente esta última es digna de atención del filósofo. Más aún: la meditación sobre esta música abstraída de la sonoridad es un filosofar, y tal vez, el más alto grado del filosofar´. Debido a esto, de la música griega conocemos tanto de la teoría y tan poco de su práctica, porque tenía mucho honor como disciplina matemático-filosófica pero muy poca consideración como arte práctica” (21) .

Tras leer las anteriores frases comprendemos la complejidad, las dudas y los errores en la teoría musical platónica. Quien pretende dar una explicación numérica a este arte; mientras a su vez, detesta a los maestros en la técnica de interpretación (con plectro y cuerdas). Intentando demostrar que la única música que valiosa es aquella que nos se oye; es decir, la teoría y no la interpretación o la composición. Ideas que dejan mucho que desear sobre el concepto de este arte en Platón; pues sus premisas serían similares a denostar a quienes cantan, tocan instrumentos y crean melodías, valorando tan solo a los musicólogos y matemáticos que estudian los fundamentos del sonido. Más compleja de entender es su teoría del “Ethos” (ética musical) que recojo en cita (22) descrita también por David Martín Sánchez. Donde se explica la unión entre moral, estados de ánimo y diferentes tipos de música, diciendo el autor referido que “a cada `harmoniai´ se le atribuía un ethos, es decir, `un carácter que influye en sentido positivo o negativo sobre el espíritu humano´; por este motivo, el significado de `harmonia´ no se puede restringir al sentido de escala modal, (disposición de intervalos dentro de una octava), dado que este significado no justificaría los efectos que tiene cada armonía sobre las personas. Con respecto al ethos de las armonías, en La República podemos encontrar que las armonías lastimeras son la lidia mixta, la lidia tensa y otras semejantes, por lo que es preciso `suprimirlas como malas, no sólo para los hombres, sino también para aquellas mujeres que se precian de ser sabias y moderadas´ ”.

Las anteriores frases, nos llevan a pensar sobre el verdadero conocimiento de la música en Platón; capaz de unir la melodía lastimera o triste, con un mal “ethos” (una ética artística no admisible). Pudiendo plantearnos si adagios tan bellos como el del Concierto de Aranjuez; serían éticamente aprobados por Platón. Pese a ello, este filósofo debía considerarse a sí mismo, un pitagórico; aunque no menciona nunca la fuente de sus conocimientos (paralelos a los del sabio de Samos), ni su contacto con esta escuela instaurada en Crotona. Pero queda claro su unión con el de Samos, cuando observamos que promulgaba una teoría basada en la idea del número y la armonía musical, relacionada con la Cósmica . Aseverando el de Atenas que tan solo por medios matemáticos y físicos, se podía valuar la Escala y regular las afinaciones. Tristemente, los escritos platónicos no expresan con claridad los conocimientos de la escuela de Crotona; por cuanto muy pronto se rebatirían las fórmulas promulgadas por los de Pitágoras. Ya que leídas en los textos de Platón, resultan un batiburrillo, sin explicación ni coherencia.

Ello promueve el éxito de teorías contrarias al pitagorismo, como las de Aristógeno; que afirmaba hallar el valor de las Notas y de la Octava, en base a su oído perfecto. Un oído absoluto, que algunos “elegidos” tenían y que les permitía afinar; usando unos intervalos que ellos mismos creaban, conforme a la belleza o a su gusto y sin atender a fundamentos científicos. Un principio de los aristigénicos, que no solo es un disparate intelectual, sino que llevó a Grecia al caos musical. Existiendo tantas formas de valorar la Octava, como sabios seguidores de Aristógenes iban surgiendo. Platón fue uno de los más firmes detractores de estos que promovían una música nacida solo de la inspiración y sin base en teorías de medición del sonido, para medir físicamente los intervalos. Aunque su medio de rebatir la “música inculta”, deja mucho que desear; ya que el modo de redactar los conceptos matemáticos tomados de los pitagóricos es farragoso e ilegible. Además, en su método, excluye de la verdadera música toda armonía o melodía nacida del sentimiento; lo que resta un enorme valor a este arte, cuyo gran poder es lograr trasmitirnos tristeza, nostalgia, belleza o alegría.

JUNTO Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Fotos tomadas en la exposición de Madrid: MÚSICAS EN LA ANTIGÜEDAD,de Caixa Forum -obra social de La Caixa- a los que agradecemos nos permitan divulgarlas. Al lado, figura de barro procedente de Tanagra con una mujer tocando el laúd. Se fecha entorno al 275 a.C. y es propiedad del Museo de Louvre -al que agradecemos nos permita divulgar nuestra imagen-.

Abajo, mosaico de Orfeo fechado en el siglo II d.C. y hallado en Isère (Francia), propiedad de Museo de Vienne -al que agradecemos nos permita divulgar nuestra imagen-. Se trata de un Orfeo frigio, con vestimenta oriental; sentado con su lira hecha con caparazón de tortuga. De nuevo la cítara tiene las siete cuerdas que impuso en Grecia Terpandro, en el siglo VII a.C..

B ) : PLUTARCO (pseudo Plutarco) Y LA MÚSICA:

B – 1) Plutarco y la obra que analizaremos:

Acerca de este autor, nos dice Ana Ma. Comesaña que “La figura de Plutarco aglutina las culturas griega, romana y, en menor medida, egipcia. Su obra, formada por los Moralia y las Vidas paralelas, constituye un corpus inusualmente extenso, de carácter enciclopédico, en el que prevalece la intención moralizante y educativa por encima de la exactitud en el relato histórico, especialmente en el conjunto de sus biografías griegas y romanas (...) A ello contribuye, sin duda, la personalidad del autor, profundamente religiosa, que desempeñó durante años diversos cargos relacionados con el santuario pítico hasta llegar a ser uno de los dos sacerdotes permanentes en Delfos, ya al final de su vida, al tiempo que él mismo se declara, con cierto orgullo, βεβακχευµένος, iniciado en los misterios de Dionisos” (23) .

Pese a lo expresado, hemos de dejar muy claro que la obra a analizar (LA MÚSICA), solo se considera “probablemente” de este autor; por lo que se intitula como “pseudo-Plutarco”. Siendo muchos los que opinan que no fue escrita por él; aunque está catalogada entre sus textos morales y de costumbres (MORALIA). Tal como fue publicada repetidamente, desde el Renacimiento; habiendo sido editada recientemente de forma magistral por Gredos, en una recopilación de Fragmentos comentados y traducidos por José García López -que vamos a utilizar en nuestro estudio- (24) . Donde este investigador, en su introducción, nos dice que este opúsculo llamado La Música, no fue conocido por los autores antiguos, ni siquiera hasta el siglo XIII. Momento en que se recopiló como una obra más de Plutarco, pese a que su estilo y lenguaje hacen ver que fue redactado en tiempos del emperador Antonino (hacia el 150 d.C.). Por cuanto no encaja plenamente en la época del griego que redactó el resto de “Moralias”, que -como sabemos- muere en el 120 d.C. (25) . Así, escribe José García López, en su introducción a la edición de Gredos: “El autor, considerado desconocido por la mayoría de los estudiosos; compone su obra, como hemos apuntado anteriormente, sobre la base de una compilación de materiales muy diversos (...) . Esta amalgama de fuentes explicaría los continuos anacronismos descubiertos en la redacción del texto” (26) .

Continúa comentando José García López, que: “el autor de este pequeño opúsculo quiere recoger, a la manera de un epítome, los principales datos por él conocidos sobre la historia de la música griega desde sus orígenes hasta su época”. Cuya publicación por Gredos podemos diferenciar en las varias partes, que componen un tratado de musicología helena y de las que destacamos: “Prefacio a cargo del autor, el Pseudo Plutarco, y presentación del lugar, tiempo y personajes: Onesícrates, que es quien ofrece el banquete, y sus invitados, Lisias y Sotérico, y una Breve intervención de Onesícrates para animar a sus invitados a hablar sobre la música, de la que resalta su importancia en la relación de los hombres con los dioses” (capítulos 1 y 2 del libro). Siguiendo los siguientes epígrafes del libro: Introducción; Género enarmónico; El mundo de los ritmos; Final del discurso de Lisias; Discurso de Sotérico, no menos complejo que el de Lisias, cuyas partes son: La defensa del origen divino de la música. Diferencia entre música antigua y moderna. Conocimientos musicales de Platón. Sobre la harmonía. La importancia de la música. Repercusión de las innovaciones musicales. Defensa de la música antigua. La utilidad de la música. Epílogo (27) .

JUNTO Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Dos fotos relacionadas con el libro que analizamos. Al lado, portada de la edición de Gredos de Moralia; comentada y traducida por José García López. Abajo, grabado del siglo XVII en que figura Plutarco, idealizado y en su mesa de escritura.

B – 2) La Música, de Pseudo-Plutarco:

Es esta una de las pocas obras que se pueden considerar un tratado sobre musicología grecorromana. Solo comparable con la “HARMONIKA” de Aristóxenos, con “Sobre la Música” de Arístides Quintiliano y con el libro “TA HARMONIKÁ” de Ptolomeo (que hemos analizado ampliamente en varios de mis artículos -ver cita (10)- ). El autor de LA MÚSICA -¿Plutarco?- comienza dando su opinión sobre este arte melódico, escribiendo que “es un acto piadoso y de gran importancia para los hombres, cantar himnos a los dioses que les han concedido a ellos solos la voz articulada” (28) . Primeras frases que nos lleva a pensar si el texto puede ser original de Plutarco; pues como sabemos, ese sabio griego era profundamente religioso y fue sacerdote del Templo de Apolo en Delfos (el más importante de toda la Hélade). Tras comenzar con la referida mención a los dioses, “La Música” nos habla del famosísimo citarista de Lesbos, Terpandro; del que dice, fue el primero en crear los nomos citarídicos (al igual que Clonas, sería el que inició los nomos para aulos). Sigue así comentando la lista de estos “nomos” -cánticos y melodías helenas-, mencionando el tipo de poemas y su métrica de versos, para los que se creaban estas canciones (29) . Para continuar refiriendo que la primera institución relacionada con la música nació en Esparta y que fue Terpandro su fundador. Siendo una escuela más tardía la creada por los maestros de Gortina (Creta), Citerea (Chipre) y Argos; todos unidos a los puertos más famosos del Egeo (30) .

Sigue expresando el autor de “La Música”, que según Aristóxenos -y otros- Olimpo fue el que inventó el género enármonico, ya que antes de él toda la armonía era diatónica o cromática (31) . Para continuar refiriendo (literalmente): “Así fue la introducción del género enarmónico. Más tarde, sin embargo, tanto en las composiciones frigias como en las lidias el semitono fue dividido. Olimpo, al parecer, enriqueció la música, al introducir algo que antes no existía y que era desconocido a sus predecesores, y llegó a ser el fundador de la noble música griega” (32) . En la cita anterior recogemos el comentario al texto de Pseudo-Plutarco, donde José García López (traductor y comentarista de la obra) expone su visión acerca de cuanto expresa la obra. Aunque a mi modo de ver, la afinación Enarmónica es tan sencilla como la que expliqué antes y que llevo exponiendo desde hace años en mis artículos y ponencias. Refiriendo que el modo clásico de templar las cuerdas para hallar la Octava (llamado pitagórico), fue multiplicar once veces por 4/3 la Nota Inicial; localizando así las once Notas de la Escala, a la que sumaremos el Tono primero, partido por 2 (dividiendo o multiplicando también por 2 sus valores, para hallar el resto de Octavas). Aunque el método enarmónico realizaba una operación un tanto diferente: Multiplicando cinco veces el Tono inicial, por 4/3; para obtener las 6 Notas naturales (do, re, mi, fa, sol, la). Tras lo que seguiría, dividiendo el la inicial por 4/3, en seis ocasiones; obteniendo así los 6 semitonos (si, do#, re#, mi#, fa#, sol#, la#).

Sigue el libro que analizamos de Pseudo-Plutarco, distinguiendo entre música antigua y pura, diferenciada de la de su tiempo: Moderna y carente de bases armónicas. Pero sobre todo, diferencia entre Modos melódicos, afirmando que tal como dijo Platón, el único Modo viril y verdadero era el Dorio; mientras considera otros -como el Mixolidio o el Lidio-; patéticos y dignos solo de interpretar en tragedias teatrales (33) . Continúa “La Música” explicando el uso de diferentes cuerdas, refiriendo su relación con los Modos y las afinaciones. Aunque -como vamos a explicar en nuestro último epígrafe-, creemos que los Modos no dependen de prescindir o de incluir cuerdas en una misma Octava; sino de unas Escalas armónicas, que precisan el orden de unas u otras Notas (pues, a mi juicio, Pseudo-Plutarco confunde cuerdas con intervalos). Así es como expresa lo que recogemos en cita (34) y que José García López comenta del modo que también incluimos a cntinuación de ella.

Continúa la obra que analizamos, mencionando los conocimientos de Platón y el acierto de este, al calificar algunos Modos como deleznables y tildando de aberrantes los tipos de música que no contemplan la filosofía (al menos, la platónica). No vamos a discutir, acerca de los conocimientos matemáticos ni musicales de este sabio ateniense; pues como ya expuse, consideramos que las lecciones armónicas en Platón, son una farsa mal copiada de los escritos pitagóricos. Consecuentemente, recogemos en nuestra cita (35) , lo que Pseudo-Plutarco dice sobre la teoría platónica de la música y cuanto comenta Jose García López acerca de todo ello. Realizando una meritoria labor este investigador, para intentar explicar lo que escribió aquel sabio de Atenas y lo que se expresa en “La Música”. Aunque -a mi juicio- esta repetición de referencias a cuerdas, intervalos, proporciones, Modos, Tonos y etc.; no se corresponden con un espíritu de ciencia, sino de manierismo. Pues la verdad científica consiste en exponer de la forma más sencilla y simple, unos hechos o teorías. De tal modo, el resultado de (2 + 2) = 4; pero también podremos decir que (2 + 2) = (1+1+1+1) = (1+1+2) = (1+3) = (5 – 1) = (6 – 2) etc... . Una serie de resultados que son ajenos a la verdad práctica y que pertenecen al barroquismo de aquellos que se obsesionan con ideas; tal como realizaron los teóricos helenos, con la ciencia armónica.

Continuando con el libro de Pseudo-Plutarco; en cita (36) incluimos lo que sigue narrando su autor y que en este caso habla de Aristóteles; como discípulo de Platón y acerca de sus ideas sobre el arte armónico. Añadiendo nuevos parámetros en las proporciones de una afinación, los Tonos y en las distancias de intervalos. Marcando unos valores propios, tal como hizo Aristógenos o Ptolomeo, que daban unas medidas a cada cuerda, conforme a Escalas que ellos consideraban las justas. Terminará el autor de “LA MÚSICA” con las siguientes frases: “Esto resultaría claro, si se examinara cuál es el objeto de la investigación de cada una de las ciencias. Pues es evidente que la ciencia harmónica es un conocimiento teórico de los géneros de la harmonización de los intervalos, de las escalas, de las notas, de las tonalidades y de las modulaciones en las escalas; pero con ella no es posible avanzar más allá, de forma que no se puede buscar conocer por ella si el compositor (…) ha elegido debidamente el modo hipodorio para el principio, o el mixolidio y el dorio para el final, o el hipofrigio y el frigio para la parte central. La ciencia harmónica, en efecto, no alcanza tales cuestiones, sino que necesita otros muchos conocimientos, ya que ignora el valor de lo apropiado (37) . Todo lo que indica un principio de sensatez por parte de Pseudo-Plutarco y que no guarda Platón. Pues el autor de este libro mantiene que no puede opinar sobre los gustos, formas ni estilos de los compositores. Considerando que la ciencia “no alcanza tales cuestiones, sino que necesita otros muchos conocimientos, ya que ignora el valor de lo apropiado”. Es decir, que un musicólogo, ni un científico, pueden opinar acerca de una melodía bella o agradable, simplemente analizándola técnicamente; ya que la ciencia ignora el valor de lo humano. Siendo la teoría armónica incapaz de valorar el arte, tal como quiso hacer Platón a través del conocimiento.

SOBRE Y BAJO ESTE PÁRRAFO: Dos cuadros míos, con los Modos en época de Aristógenos, tal como los recoge la publicación de Moralias (La Música) editada por Gredos y comentada por José García López. Al final de este artículo incluiremos mi teoría sobre esos Modos griegos.

ESTE CAPÍTULO, SE HA DIVIDIDO EN DOS PARTES DEBIDO A SU EXTENSIÓN; ESTA ES LA PRIMERA. PARA HALLAR LA SEGUNDA PULSAR SOBRE EL SIGUIENTE ENLACE:
https://decnossosatartessos.blogspot.com/2020/03/nuevo-modo-de-interpretar-los-modos.html
.

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CITAS:

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(1): LA VOZ Y EL CANTO EN LA ANTIGUA GRECIA

TESIS DOCTORAL Madrid, 2016

Autor: LUIS CALERO RODRÍGUEZ

Director: DR. LUIS M. MACÍA APARICIO

(1b): Idem. Cita (1) (pag 155 y 156)

(2): Cuando Luna y Sol se unían era en el periodo conocido entre los babilonios y hebreos como Saros y “gran Saros”; que consistía en 19 años solares, correspondiendo 235 lunaciones.

Tanto como el Gran Saros conformaban 8 ciclos de 19 años = 152 años , dado que 365,2422 dias x 152 años ≥ 29,53 dias x 1880 .

Pues 1880 lunaciones de 29,53 días = 55516,4 días

Y 152 años solares de 365,2422 = 55516,81 días

(3): Recordemos que el sistema de bisiestos impuesto por el Papa Gregorio, marca que el año tiene 365 días y que cada cuatro años se incluye un día más, llamado biesiesto. Pero que después de cien años, el primer bisiesto no se computa. Ello regula la duración del ciclo solar de 365,2422 con esta fórmula que indica que un siglo son 99 años de 365,25 días, más uno de 365 (99 · 365,25 + 365 = 36.524,75); con un desajuste de 0,53 días solares por cada siglo.

(4): Arístides Quintiliano ; Sobre la Música 58

Cita tomada de

LE CALENDRIER GREC ATTIQUE

https://icalendrier.fr/calendriers-saga/calendriers/grec-attique/

(5a): Pedro Redondo Reyes: La Harmónica de Claudio Ptolomeo,

Edición crítica con introducción, traducción y comentario // 2014 InterClassica - Universidad de Murcia .

(de la pag. 83)

(5b):(idem, Pag.99)

(6): CURT SACHS

LA MÚSICA EN EL MUNDO ANTIGUO; ORIENTE Y OCCIDENTE

Traducción de La Musica nel Mondo Antico

Sansoni Editore. Florencia 1981

(Pag. 111)

(7): A los interesados en el tema, recomendamos leer este artículo, del que incluyo enlace:

SOBRE EL ORIGEN EGIPCIO DEL TEMPERAMENTO PITAGÓRICO: De la "Tetratkis" o la década; base matemática del Nilo (Capítulo 7 de "Hipótesis arquelógica sobre las primeras temperaciónes y escalas musicales").

http://decnossosatartessos.blogspot.com.es/2014/02/sobre-el-origen-egipcio-del.html

(8): Op. Cit (5a) (pag 76)

(9): Ibidem, cita anterior.

(10): LOS PRICIPALES ARTÍCULOS EN QUE HEMOS TRATADO SOBRE PTOLOMEO Y LA MÚSICA SON LOS SIGUIENTES:

HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO Libro Primero -análisis y resumen- (Capítulo 11 de HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS)-. http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/07/harmonica-de-claudio-ptolomeo-libro.html

ASTRONOMÍA Y ARMONÌA (la música en Claudio Ptolomeo). CONTINUACIÓN -Capítulo 10 de HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS-.

http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/06/astronomia-y-armonia-la-musica-en.html

ASTRONOMÍA Y ARMONÌA (la música en Claudio Ptolomeo). PARTE PRIMERA -Capítulo 10 de HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS-.

http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/06/astronomia-y-armonia-la-musica-en_19.html

HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO Libro Primero -análisis y resumen- (Capítulo 11 de HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS)-.

http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/07/harmonica-de-claudio-ptolomeo-libro.html

HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO: Libro II; análisis y estudio (segunda parte, continuación del Capítulo 12 : HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS). http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/08/harmonica-de-claudio-ptolomeo-libro-ii.html

HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO: Libro II -análisis y estudio- (primera parte del Capítulo 12 HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS).

http://decnossosatartessos.blogspot.com/2014/08/harmonica-de-claudio-ptolomeo-libro-ii_3.html

BASADO EN LOS ESTUDIOS DE:

-Pedro Redondo Reyes: La Harmónica de Claudio Ptolomeo, edición crítica con introducción, traducción y comentario // 2014 InterClassica - Universidad de Murcia .

-Pedro Redondo Reyes (Myrtia, N 18, 2003)

(11): Ibidem cita (8)

(12): Distancias e intervalos según Ptolomeo. Publicadas por mí en los diferentes artículos mencionados en cita anterior.

OCTAVA + CUARTA de Ptolmeo = (x + 2/3)

NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI

1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI

2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#

3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#

4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#

Obteniéndose así una primera octava, tal como la debió concebir inicialmente el alejandrino, por Cuartas y de solo siete notas. Cuyos valores ordenados son los siguientes:

NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 herztios = MI

2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#

3- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#

4- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#

5- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI

6- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#

7- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#

(13): La fila primera contiene el número de la nota (en negro y cifradas en romano) por el orden en que aparecen los tonos. La fila segunda (en morado) es el intervalo que muestra una sucesión de cinco en cinco; para poder ver como avanzan e ir logrando conocer a que nota corresponde cada intervalo hallado. La fila tercera es tan solo el nombre del tono en nuestro solfeo (en rojo). La fila última y en verde, da los puntos milimétricos que marca (lugar donde está la nota) cada vez que una de estas se vuelve a multiplicar por 3/4 y aparece una nueva.

I––––––––––––––––––– II –––––––––––––––– III ––––––––––––––––

1 ::: 2 :: 3 :::: 4::::::: 5 ::::: 1 :: 2 ::: 3 :: 4 ::: 5 ::::: 1 :::: 2 :::: 3 :::: 4 ::::5

.MI–FA–FA#-SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–

.660 mm. .......................495 mm. ..................371,25 mm. .................. (x2)

. .

IV –––––––––––––––––– V –––––––––––––– VI –––––––––––––

1 :::::: 2 :::: 3 ::: 4 ::: 5 ::: 1 ::: 2 :::: 3 ::: 4 ::: 5 ::: 1 :: 2 ::::: 3 :::::: 4 ::::5

.SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA

.556,875 mm. ............ 417,656 mm. .............. 313,242 mm. ................... (x2)

. .

VII––––––––––––––– VIII ––––––––––––––– IX ––––––––––––––

1 ::::: 2 :: 3 ::: 4 :::: 5 :: 1 ::::: 2 :: 3 ::: 4 ::: 5 ::::: 1 ::::::: 2 :::: 3 :::: 4:::: 5

.LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO

.469,863 mm. ........... 352,397 mm. ....(x2)....... 528,596 mm. ...............

. .

X ––––––––––––––––– XI –––––––––––––––––– XII -

1 ::::: 2 ::: 3 ::: 4 :: 5 ::: 1 :::: 2 ::::: 3 :::: 4 :::: 5 ::: 1

.DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA–LA#–SI–*

.396,447 mm. ....(x2)... 594,67 mm. .................. 446,003 mm.

(14): EJEMPLO, PARTIENDO DESDE 660 MILÍMETROS, EN UNA CUERDA 6ª DE LA GUITARRA:

MI = 660 mms. (:2) 330 mm. (:2) 165 mms