HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO Libro Primero -análisis y resumen- (Capítulo 11 de HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS)-.

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SOBRE ESTOS PÁRRAFOS: Grabado antiguo, que se representa a Claudio Ptolomeo con lo que parece una "cruz invertida", aunque en realidad es una alidada de cuerdas. Instrumento astronómico antiquísimo, utilizado como cuadrante o mira (sextante) para orientarse y también llamado ballestilla o báculo de Jacob. Con ella se determinan los ángulos, midiendo -por ejemplo- el existente entre el del horizonte, la estrella Polar, el Sol -o la Luna-. De tal manera, sirve para determinar la latitud, o bien la distancia que tenemos hasta un punto (si se conoce la altura de aquel). También fue usado para medir y determinar la situación en un mapa de dos lugares; cuando sabemos la longitud, o el ángulo horizontal entre los dos.
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Realmente los sextantes modernos partieron de un sistema muy semejante, basado en una cruceta movible y transportable, con un uso muy cercano al de estas alidadas. Las ballestillas se fabricaron comunménte con varias crucetas; sabiéndose que en el Egipto Antiguo -al menos hasta época de Ptolomeo- se utilizaron de doble aspa, con una forma muy semejante a las Cruces religiosas llamadas de Jerusalén (con dos T). Sus ajustes se determinaban en muchos casos con cuerdas tensadas que ayudaban a medir ángulos (lo que hemos marcado en rojo sobre el grabado). A la vez se les dotaba con sofisticadas miras; que podían determinar milimétricamente los ángulos. Finalmente, es de destacar como muchos expertos opinan que durante la Antigüedad, colocaban también un espejo en el extremo de la cruceta, con el fin de reflejar sobre este los astros o los puntos de referencia y que así, las mediciones fueran más exactas ("especulum" que también he dibujado al final de la alidada que porta Ptolomeo).
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.ABAJO: Grabado tomado de la obra "La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América" de Julio Rey Pastor (1) , autor al que agradecemos nos permita divulgar la imagen. En el estudio -Rey Pastor- explica los modos más sencillos por los que en la Edad Media pudieron demostrar la esfericidad de la Tierra. Diciéndonos sobre las alidadas, que su origen y nombre del instrumento, algunos lo atribuyen al patriarca Jacob, específicamente relacionándolo con el pasaje del Génesis (32;11). Aunque hay quienes creen que se debe al parecido con el anillo de Orión, constelación llamada Jacob en los mapas estelares medievales. Otra posibilidad sería que su etimología naciera desde el bastón del peregrino, símbolo Jacobeo (de Santiago).
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A mi juicio, es esta la procedencia que creo más probable, pues en verdad los peregrinos hubieron de guiarse en la antigüedad del mismo modo que las gentes del desierto; a través de un sextante sencillo como lo es la ballestilla. También eran llamadas alidadas de Cruz, un nombre que a mi juicio puede relacionar estos "astrolabios" muy remotos con las peregrinaciones a Tierra Santa. Pues aquellos quienes se encaminaban hacia Palestina, debieron ver esos instrumentos utilizados por los pilotos de las naves, con las que cruzaban el Mediterráneo. Todo lo que no es raro diera origen a cruces tales como la denominada de Jerusalén, y en España a la de Caravaca; ya que desde esta zona de Murcia comunmente se embarcaban camino de Israel -los cruzados y peregrinos de la Edad Media (hasta bien entrada la Moderna)-.  
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Por su parte, M. Fuiencisla García Casar, nos explica en su trabajo: "Cielos y aguas bíblicos a la medida del hombre medieval y mediterráneo" (3) . Que el báculo de Jacob fue desarrollado principalmente durante el siglo XIV, momento en que al menos se utilizó en toda Europa para mediciones astronómicas. Siendo descrita una ballestilla la primera vez en la Historia, por el matemático judío provenzal: Levi ben Gerson. A su juicio la invención de estas alidadas se debería a Jacob ben Maquir, que también vivía en Provenza y fue coetáneo al anterior. Aunque hay otros que creen que no fueron descubiertas incluso hasta el siglo XV, por el astrólogo Georg Purbach (todo lo que le parece muy tardío, a la referida autora). Pese a todo, una gran parte de expertos creen que sus orígenes al menos son anteriores a los caldeos y que ya observaban con un medio muy similar, los astrónomos mesopotamios del siglo V a.C..
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Posiblemente no existe la menor duda de que Levi ben Gerson las describe y enseña de manera escrita, por vez primera; aunque es absolutamente dudoso que estas se inventasen en la Edad Media. Pues otros investigadores -como Joseph Needham- mantienen que hasta el científico chino Shen Kuo (en 1088), refiere sobre el uso de un báculo de Jacob -hablando de uno casi igual a los utilizados tres siglos más tarde en Provenza-. Shen era un anticuario y se dio cuenta de que tenía una escala graduada que podría ser utilizada para medir las alturas de las montañas; de un modo semejante a como los matemáticos calculaban alturas -a través de triángulos-. Mas tarde y durante el Renacimiento, muchos otros autores desarrollan su propia teoría del báculo Jacobino (varios de ellos matemáticos como Metius -topógrafo-; Gemma Frisius, o Johannes Müller). Todo lo que convirtío a las ballestillas en instrumentos muy utilizados durante el siglo XV, sobre todo para mediciones topográficas o geodésicas -y lógicamente también, astronómicas-.
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ARRIBA: EL faraón y su reina, en un dibujo de Faucher-Gudin, tomado desde la obra "HISTORY OF EGYPT" de G. MASPERO. Observamos al rey representado como Osiris y a ella como Isis, portando ambos en sus manos dos símbolos reales religiosos: Primeramente en la izquierda el cetro-vara de poder, que en el caso de la mujer va rematado con un loto-papiro (significando la vida y la sabiduría en el Nilo. ). Mientras el del marido sostiene "una pértiga" terminada en "cabeza de Anubis". Bastones que -a mi juicio- debemos de identificarlos con elementos usados por los astrónomos y matemáticos faraónicos, para trazar lineas en las arenas y para el cálculo o explicación de las observaciones.
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Por su parte, los dos también portan el Ankh o "cruz de Isis" (anasada) en la mano derecha; cuya traducción y significado como jeroglífico desde el egipcio clásico, sabemos que es "vida". Muchos han identificado este Ankj (ó Ankh) con un símbolo fálico, llegando a explicar que su forma es la del pene, con los testículos al final -figurados en la cruceta y el asa-. Otros creen que su sentido de objeto "vital" unido a Isis, procedería de su parecido con los plantadores o semilladores antiguos. Finalmente añadiré (tal como he escrito en varios de mis estudios); que en mi opinión -y aunque su simbolismo fálico parezca cierto-, también hemos de ver que el significado místico religioso del Ankh pueda proceder desde las alidadas de cuerdas más antiguas. Ballestillas que manejarían los egipcios construidas con un procedimiento de cordeles y a las que pondrían un espejito al final, para poder observar en las noches con mayor facilidad. Todo lo que explicaría esa forma de la "cruz ansada isiaca", a la par que la importancia de este símbolo en Egipto. Tanto como la adoración de otros muchos signos parecidos entre pueblos marineros; quienes también necesitaban guiarse sobre las aguas con aquellos ingenios desarrollados por las culturas milenarias del desierto (gentes tales como los egeos -en especial los cretenses- o los canaaneos; que tuvieron semejantes objetos de culto).
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.ABAJO: Imagen del Nilo hace unos cien años, a la altura de Abu Shimbel (decenios antes de que se hiciera la presa de Asuán) -propiedad del Brooklyn Museum y perteneciente al archivo Lantern Slide Collection, al que agradecemos nos permita divulgarla-. En esta podremos ver sobre las falúas dos dibujos realizados por mí simplificando el uso de las ballestillas: El primero a la izquierda muestra como midiendo el ángulo entre el horizonte y el Sol, el 21 de Junio a las 12 del medio día; podremos conocer la Latitud a la que estamos (pues si nos marca 30º es que estaremos en el grado 30). En la otra falúa he puesto un segundo báculo observando el cielo y enseñado como ese mismo día, si tomamos como referencia la altura de la Estrella Polar y tras ello, la hora estelar de la salida del Sol; podremos resolver sin problemas nuestra Longitud -puesto que cada quince grados Oeste, el Sol aparece una hora más tarde (es decir, 4 minutos por Grado hacia el Occidente)-.
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Por lo demás y en lo que concierne a estos "báculos de Jacob", el vástago central -llamado "principal"-, iba graduado con enorme precisión y marcado muy perfectamente, para calcular sobre él los ángulos. Mientras las crucetas (o transversales), tenían la capacidad de deslizarse de arriba a abajo, recorriendo todo el "palo principal" en el referido "bastón jacobino". De tal manera su funcionamiento era similar al de "un trombón" elevando o bajando las cruces ensambladas sobre "el principal"; permitiendo así y gracias a las miras abiertas -en los extremos de las traviesas- calcular los ángulos en las observaciones. Otros modos de operar con ellos, era ponerles corderles en las puntas del los transversales; lo que además permitía llegar a mediciones más precisas (tanto como atarlo y dejarlo en una posición requerida). Siendo además utilizados métodos de reflejo, como el espejo o las piezas de latón; que puestas en su final, servían para realizar observaciones invertidas.
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En la arqueología marina, estos accesorios son a menudo los únicos componentes que podemos asegurar se usaban desde tiempos remotísimos; siendo común ponerles varios travesaños, cada uno con diferentes gamas de ángulos para medir. Dos crucetas o traviesas -al menos- era lo normal y mínimo que debían tener; de lo que su apariencia con las cruces llamadas de Jerusalén, es obvia. En instrumentos posteriores, las traviesas podían ser cambiadas a favor de un solo espejo de popa, para que con las clavijas indicaran los extremos a medir. Se trataba de clavijas montadas en uno de los muchos orificios situados a en paralelo o en diagonal, y que las naves tenían en el llamado "reflector de popa" (proporcionando más precisión a la medición de ángulos).
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Por cuanto vemos, estas ballestillas y bastones jacobinos con espejos, debieron ser los más antiguos artilugios para orientarse. Todo lo que es necesario en el mar, aunque mucho más lo es en las arenas del desierto -donde un error de pocos kilómetros puede llevarnos a la muerte-. Unos sextantes arcaicos que fueron usados en los comienzos de la escuela griega de astrónomos samios (de donde se sabe procedían los mejores navegantes helenos), ya al menos en el siglo V a.C.. Pero debieron ser importados hasta El Egeo en tiempos muy anteriores -desde el Nilo o de Mesopotamia- quizás por sabios o matemáticos como Pitágoras, de los que sabemos vivieron en Egipto y en Babilonia.
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INTRODUCCIÓN:
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Tras nuestro artículo anterior, en el que tratábamos sobre la teoría de la armonía en Claudio Ptolomeo; hoy vamos a ampliar conceptos analizando en profundidad su libro sobre música. Obra intitulada Harmónica (, transcrita como "Tá Armoniká") y que logró salvarse en gran parte, del paso de casi dos milenios. De nuevo nos serviremos del estudio, comentario y traducción de Pedro Redondo Reyes (4) , a quien debemos una inigualable obra sobre el tema -de más de ochocientas páginas-. Que incluye un análisis valiosísimo acerca de Claudio Ptolomeo y la música -además de la transcripción e interpretación a nuestro idioma, de este tratado-. Hoy analizamos el Libro Primero de "Harmónica", con el fin de ir analizando minuciosamente los diferentes capítulos; y en otro artículo estudiaremos el Libro Segundo (tal como los tradujo el profesor Redondo Reyes).
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LIBRO PRIMERO (5) :
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-Cap. I y II:
Las ideas que Ptolomeo expone en este capítulo inicial -llamado "De los criterios en harmónica"-; versan sobre la curiosa e inteligente teoría de que el sonido es una "onda" o percusión producida por el aire; todo lo que obliga a pensar que donde no existiera atmósfera -o elemento que transmitiera el ruido (agua, metal etc)-, no se escucharía la música. Teoría que el geógrafo alejandrino concluye con la frase: "el sonido es una afección del aire cuando es percutido (lo primero y más genérico de lo audible) el oído y la razón, pero no de la misma manera ; y criterios, sino que el oído con la materia y la afección, mientras que la razón lo está con la forma y la causa en torno a la de armonías son está relacionado con la materia y la afección, mientras que la razón lo está con la forma y la causa (6) . Es esa una primera idea en la que vemos como ya el autor desea expresar que hay dos medios de interpretar el sonido: Primero, simplemente escuchándolo -oyéndolo-; y en segundo lugar, por medio de los conocimientos (la razón). Siendo esta última -como parte del alma o del pensamiento- una facultad capaz de analizar los intervalos -de conocer los valores matemáticos de las notas, o hallar el significado físico de su razón; y por lo tanto, de adivinar la "forma y causa" de la música-.
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Tratando acerca de ello, añade a continuación: "Pues bien, puesto que también ocurre de manera similar (...) lo mismo que para los ojos es necesario algún criterio racional para aquello por medio de instrumentos adecuados (por ejemplo, para lo recto mismo, la regla y para el círculo y la medida de sus partes, el compás); del mismo modo también a los oídos, como sirvientes , sobre todo con los ojos, de la parte teórica del alma que contiene la razón, les es necesario algo que proceda de la razón" (7) . Todo lo que a mi entender explica el uso del "monocordo" para descubrir las razones de intervalo entre las notas; al igual que servirse de cuantos medios tenga la matemática y la física, con el fin de mejorar las fórmulas para encontrar la escala y realizar la mejor música. Termina este capítulo hablando sobre los errores cometidos por las escuelas anteriores: Primero por los que siguieron a Pitágoras, y posteriormente, por quienes continuaron con la teoría armónica de Aristógenes. A los más antiguos recrimina por no dar importancia suficiente a los hechos físicos y matemáticos de la música; mientras acusa a los aristogénicos de haber carecido de esmero en el análisis espiritual de este arte (8) .
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Cap. V:
Por su parte, un especial interés tiene el capítulo Quinto que podemos resumir en las siguientes lineas (9) :
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a- Las consonancias que la percepción entiende son las de Cuarta y Quinta; es decir las 3/4 y 4/3; a la vez que 3/2 y 2/3. Por lo que partiendo o multiplicando la cuerda en estas proporciones, el sonido será armónico.
b- La Octava es la consonancia más perfecta; en una proporción de 2 o bien de 1/2. Por lo que dividiendo o multiplicando el intervalo por dos -o por un medio-, siempre será su sonido perfecto y bello.
c- Los pitagóricos confundidos, no admitieron entre los sonidos armónicos el de Octava más cuarta. Lo que significaría partir o multiplicar la cuerda (o el intervalo) por 1,25 (o bien por 5/4 y su inverso; 4/5 = 0,8).
d- Por todo ello, los sonidos armónicos son los que están en proporción de los siguientes modos. En base modernamente a su vibración de onda, pero antes en relación a su longitud de cuerda, peso o volumen -en percusiones-, distancia de su cono en el viento y etc. -ver texto literal en cita (9)-.
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Expone tras ello, los intervalos ideales que son: 
A = 8 // B = 12 // C = 16. Todo lo que significa proporciones de:
2 = (16 con 8) // 1/2 = (8 con 16)  
3/2 = (8 con 12) // 2/3 = (12 con 8) 
3/4 = (12 con 16) // 4/3 = (16 con 12)
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-De igual manera son armónicos para Ptolomeo, los intervalos separados en las distancias:
A = 8 // B = 12 // C = 183/2 = (8 con 12) // 2/3 = (12 con 8)
4/9 = (8 con 18) // 9/4 = (18 con 8)
2/3 = (12 con 18) // 3/2 = (18 con 12)
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Terminaremos el comentario de este "capítulo quinto" -Libro Primero-, añadiendo que en mi opinión, las divisiones y proporciones anteriores, contienen de algún modo un intento por llegar a describirse tal como hace Euclides con la Sección Áurea. Lo que el matemático en su obra "Elementos", explica de un modo parecido al que Ptolomeo desea lograr aquí. Aunque en el caso del alejandrino, no llegamos a relacionar "Fi" con las proporciones y medidas expuestas por él. Pese a ello, la unión entre La Sección Áurea y la Octava -a mi juicio- es plena; ya que la Divina Proporción igualmente parte desde los números 1 y 2 (cifras que conforman el intervalo de una escala; pues de "DO" a "DO" hay 2; ó bien 1/2). Pese a ello, no se ve esa idea desarrollada en Harmónica; aunque para comprobar que Ptlomeo pretende justificar las consonancias referidas de un modo similar con el que explicaban los matemáticos el número "FI" -en mi opinión, sin lograr hacerlo-. Recomendamos ver la fórmula de expresión de la Cifra Áurea, en imagen bajo estas lineas (tal como la concibe Euclides):
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ARRIBA: Dibujo mío con un angelito tocando la guitarra donde -ya vimos- como figuran a modo de "cortes en las cuerdas", las distancias de los intervalos entre las notas (en el sistema antiguo de templar). Abajo, he transcrito el medio de hallar "FI" en una proporción de lineas; una fórmula en la que quizás quiso expresar Ptolomeo sus perfectas consonancias, al hablarnos de ellas del modo en que hemos visto -en su Capítulo Quinto, Lib. I; de Harmónica-.
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Ya que LA SECCIÓN ÁUREA SE PRODUCE cuando la distancia de A a C, dividida entre la que hay entre B a C; es igual a la longitud de B a C, dividida por la que hay de A a B. Es decir: AC / BC = BC / AB
Es decir cuando AC/BC = BC/AB = 1,681...= "FI"
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ABAJO: Un relieve egipcio, procedente de de Sherik Abd el-Gurna (Tumba de Ramase Num. 55); donde vemos sacerdotisas que ofrendan su música -perteneciente de la Dinastía XVIII; hacia el 1360 a.C.-. Bajo esta bella escena nilota, he recogido algunas de las notas y sus nombres, tal como las elige o decide enumerarlas Pedro Redondo Reyes. Quien en su Parte "PREVIA A LA TRADUCCIÓN" escribe que estos son los tonos a tener en cuenta para la música en tiempos de Ptolomeo -consultar cita (10)-. Importante será observar en esta lista, que el alejandrino nunca recogerá doce Tonos; sinó comunmente menciona 8 y 15 (tanto como en este caso, vemos un total de 9). Debiéndose corresponder la MESE, o bien NETE; con nuestros "SI" o al "MI"; ello porque son notas sin semitono, lo que obliga a comenzar la medida de temperación desde alguna de ellas (o bien a contar los intervalos partiendo de ambas).
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Cap. VI:
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Llegamos así al capítulo sexto de este Libro Primero y que Ptlolomeo titula como "Que los pitagóricos no investigaron correctamente las causas de las consonancias" . Donde escribe textualmente "En efecto, siendo tal la hipótesis de los pitagóricos sobre las consonancias, la octava más cuarta, al ser absolutamente una consonancia evidente, arruina el razonamiento construido por ellos" (11). Por cuanto hemos de entender que según Ptolomeo estaban estos seguidores de Pitágoras en un tremendo error al afirmar que una Octava, más una Cuarta no era un sonido armónico:
Por su parte, la Octava+Cuarta, expresada de modo matemático es:
1 + 1/4 = 5/4
Ó BIEN: 1/2 + 1/4 = 3/4 // TANTO COMO: 2 + 1/4 = 9/4 .
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En lo que se refiere al hecho que Ptolomeo menciona escribiendo que OCTAVA+CUARTA no es un intervalo admitido por los pitagóricos como armónico, creemos no se debe nunca a que los seguidores del samio desconocieran que 5/4 (3/4 ó bien 9/4) fueran proporciones perfectamente consonantes. Sino muy por el contario, esa era la base de toda su afinación, por lo que no acertamos a considerar por qué este geógrafo afirma que los seguidores del samio desestimaban ese intervalo (base principal en su fórmula de templar). Sistema para temperar de Pitágoras y sus discípulos, que era muy simple y mucho más perfecto a otros usados en épocas posteriores. Puesto que como hemos dicho, en la afinación pitagórica bastaba con tomar una larga cuerda y partirla en varias mitades sucesivas.
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Es decir:
-Primero en 1/2; hallando en este punto medio de la cuerda, la siguiente nota igual (fin y comienzo de la primera Escala).
-Luego, el resto de la cuerda (desde la mitad hacia atrás), nuevamente cortarla en 1/2 (que correspondería a 1/4 de la total longitud). Teniendo allí la siguiente nota igual; con el fin y comienzo de la siguiente escala.
-Tras ello, se sumarían 1/2 + 1/4 de esa cuerda; y hallaríamos la Cuarta o una nota nueva.
-Así hasta once veces (en caso de querer encontrar los doce tonos). Sumando en cada caso el valor de la longitud de cuerda en cada nota, multiplicándola por 1/2 + 1/4 = 3/4; llegando así a sus Quintas.
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Ello explica que para los pitagóricos no se necesitaran comprobaciones armónicas como la que precisa Ptolomeo, analizando si (1+1/3) o bien (2+2/3) y (1/2+1/3) eran consonantes. Pues los seguidores del samio y sus discípulos (Arquitas o Terpandro, entre otros) templarían del modo más primitivo y sencillo, ya expuesto repetidamente en mis estudios. Un sencillo método por el cual bastaba conocer que partiendo una nota por su mitad y esta mitad en su medio (llegando a obtener 1/2 + 1/4 de su longitud o valor); sumando esas dos partes, tendríamos el siguiente tono -equivalente a 3/4 del anterior-. Todo lo que nos lleva hasta la nueva nota, que resultaba una Cuarta (en orden de la escala, cinco más altas de la que procede). Sin precisar los pitagóricos preguntarse acerca de las Cuartas ni Quintas, sino simplemente creándolas.
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Estos hechos los hemos expuesto repetidamente utilizando de "monocordo" la cuerda sexta de una guitarra, partiendo de que esta 6ª al aire mediría 660 milímetros y vale "Mi". De este modo y utilizando la sexta de una guitarra, transcribiendo el método a nomenclatura musical moderna, todo se puede explicar del siguiente modo -para que lo entiendan quienes no han leido nuestros anteriores artículos (o libros sobre temperamentos)-:
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-Tómese la cuerda sexta de la guitarra sabiendo que en su caso mide 660 mm. de longitud y es un "MI".
-Pulsemos en la mitad exacta de esta y comprobemos que suena una misma nota. Por lo que así conoceremos que a los 330 mm., tendremos otro "MI"; tanto como que entre ambas, han de estar el resto de notas de una escala completa.
-Pártase de nuevo por medio la distancia entre 330 mm. y el puente; comprobando que suena de otra vez igual, pues en la nueva mitad estará otro "MI" (a los 165 mm). Del mismo modo, existe otra Escala completa (más aguda) entre esos milímetros, del 330 al 165.
-El siguiente tono a hallar es la Quinta, que corresponde a 330 mm. sumados a 165 mm. (330+165 = 495 mm.).
-En el milímetro 495 estaría la nueva nota, un "LA" que es la Quinta del "MI" (pues: MI - FA -FA# -SOL- SOL# -LA; hacen cinco tonos más arriba).
-Pártase el valor de este "LA" en dos y tendremos la misma nota en una escala más aguda (la existente entre el milímetro 330 y el 165). Encontrando el nuevo LA = 495/2 = 247,5 mm.
-Realicemos esta operación diez veces más (uniendo 1/2 + 1/4 de cada nuevo tono hallado) y obtendremos todas las notas, llegando hasta un punto muy cercano al MI segundo (330 mm.).
-No creemos tras ello con el mismo sistema un Nuevo "MI", para no generar una Quinta del Lobo -desajustada-. Sino que tras hallar once notas y ponerlas en órden; el siguiente comienzo de la Escala estará en un punto igual al de partida, dividido en 2. Es decir MI1 = 660 y MI2 660/2 = 330 mm. .
-Nunca debemos realizar "doce quintas", tal como hicieron muchas escuelas de armónicos y matemáticos tras los de Pitágoras; desajustando con ello la afinación y demostrando que el sistema pitagórico estaba mál ideado -que carecía de ética matemática, tal como decían algunos helenos-.
-De tal manera, para hallar las doce notas se precisará hacer solo las siguientes operaciones: Tomar la longitud total de la cuerda tocada al aire y multipliacarla 11 veces por 3/4; debiendo rectificar tres veces doblando su valor, para que se ajusten a una misma escala. Es decir (11 · 3/4) · (2 · 2 · 2).
-Si lo hiciéramos una vez más (un total de 12) dejaríamos el nuevo "MI" en el milímetro 334,5 (aprox) y no en el 330 (con un desajuste de 1,01364326477); por haber multiplicado los 660 mm · (11 · 3/4) · (2 · 2 · 2). Este fallo es la denominada "Quinta del Lobo", realmente promovida por quienes deciden rechazar el sistema pitagórico, afirmando que tiene un error permanente de ajuste.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Uno de los complejísimos ejemplos en los que vemos el modo en el que Claudio Ptolomeo justifica los intervalos y el método a seguir para hallar las notas (dibujo tomado de la pag 156 Libro I, cap. VII de Pedro Redondo Reyes) . Se trata de un "curioso" artilugio construido con lineas y curvas; que en este caso está diseñado para fabricarse con cuerdas y medir con él los sonidos en cada parte del recorrido. Como veremos, el autor alejandrino cae en un tremendo manierismo (por no decir un "barroquismo" matemático -casi "rococó" o "rocambolesco"-); a través del cual y con inventos como el que observamos, nos va a demostrar complicadísimos modos de hallar las longitudes de cada tono y los sistemas para medirlos exactamente -conforme a su "ética" científica para obtener las notas-. Evidentemente, estos dificultosos modos, chocan frente a la sencillez del pitagórico (antes descrito); todo lo que nos lleva a pensar que en los seis siglos de desarrollo de música grecorromana (desde el samio hasta Ptolomeo) habían generado una teoría musical para encontrar escalas y tonos, "totalmente rebuscada" y que llegaba al absurdo teórico. Para comprobarlo véase la explicación de los intervalos en la cita adscrita en la parte superior de la imagen -tomada de las página 157 y ss. de Pedro Redondo Reyes-.
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ABAJO: Sobre la imagen de un espejo egipcio del siglo XV a.C. (propiedad del Museo del Louvre), he dibujado el modo más sencillo de hallar la relación entre los números claves en la trigonometría y de la Octava. Puesto que si AD es el diámetro y BC el Perímetro, nos bastará con diseñar este esquema (en la arena del desierto, por ejemplo) y medirlo, para tener el nexo entre ambos mundos: La cuadratura del círculo (con "pi" igual al perímetro partido por el diámetro) y los valores de las notas reflejados en los números trigonométricos principales. Tras ello, pasaríamos a encontrar la relación entre Escala y cuadratura, realizando la linea E, que comprende un corte a 45º grados, formando un triángulo con dos catetos igual al Radio. Ello significa que si los catetos son el Radio (siendo la cuadratura E = la raiz cuadrada de la suma de R al cuadrado). Como R = 1; la lógica dice que:
(Perímetro : "pi") : 2 = (AD : 3,1415927...) : 2 
Resultando que
Ѵ [{(perímetro : "pi") : 2]}2 + [(perímetro : "pi") : 2}2] = E
Al ser la relación entre D y E = Ѵ2 = 2sen 45.
Resultará que la relación existente entre Ѵ2 y "pi" es la descrita.
D : (1/2 "pi") = C // ó bien // D = C : ("pi" : 2)
ѴC2 + C2 = E
E : Ѵ2 = C
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La conclusión primera de esta "cuadratura del círculo" que hemos descrito, es la de que "pi" y Ѵ2 son dos números plenamente relacionados, coincidiendo en el momento en que realizamos un cuadrado dentro de una circunferencia; corte igual a 2seno y 2coseno de 45 = 2(Ѵ2 : 2).  
Siendo así y otorgando al Radio el valor 1; nos quedaría:
C = 1; B = 1 ; F = 1
E = C · Ѵ2
E · ("pi" : 2) = D · Ѵ2 = (C · Ѵ2) · ("pi" : 2)
"pi" = 2 {(D · Ѵ2) : E} 
Ѵ2 = [E · ("pi" : 2)] : D
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Es decir, que conociendo el valor del Radio y sabiendo que este multiplicado por raiz cuadrada de dos es la sección a 45 Grados (E).
Sabremos que G es igual a E · (2 · Ѵ2)
E/G = (2 · Ѵ2) : "pi"
Todo ello si lo unimos al concepto de "Fi" (y por lo tanto de la Octava) nos resultará que si el Radio (C) era 1; el Diámetro (CB) es 2; siendo el nuevo triángulo con: Cateto a = Radio // Cateto b = Diámetro // con valores 1 y 2; resultando:
F = 1
BC = 2
G = Ѵ5
Por lo que:
(F + G) : BC = "Fi"
Finalmente diremos que los triángulos progresan en el mismo valor 1 y 2 o 1 y 1/2 que es el de la Octava. De tal modo si hiciéramos un cuadrado con los lados del Radio (C = 1), valdría 1. Si lo construyéramos con cuatro lados de (E = Ѵ2) lógicamente sería su área 2. Y si lo hiciéramos con los lados de F y BC (1 y 2) sería igualmente 2.
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En la imagen final del presente artículo descubrimos la relación plena entre la Escala (Octava) igual templada y la Ѵ2.
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Cap VIII:
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Es una de las partes más complejas del libro de Ptolomeo al que se llega tras un apartado séptimo que el geógrafo intituló: "Cómo podrían definirse más correctamente las razones de las consonancias". Evidentemente, después de una explicación breve sobre las múltiples formas de hallar las razones de los intervalos, nos presenta el alejandrino un denso Capítulo Octavo (pags. 156 y ss.) (12) . En el que observaremos un artilugio que nos resulta a primera vista algo semejante a una bicicleta -ingenio seguramente pensado por él, o por su escuela de matemáticos y que hemos recogido el la imagen primera superior-. Explicando el autor que si tensamos una cuerda de este modo (haciéndola pasar por dos ruedas laterales) los sonidos que irían emitiendo estarían relacionados con los intervalos que describe -razonándolos en base a las proporciones de distancias-. Debido a la gran confusión y dificultad con que expresa toda la teoría, me limito a recoger lo que el alejandrino allí expone (tal como lo tradujo Pedro Redondo Reyes), que resumidamente es lo siguiente:
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En primer lugar justifica su método escribiendo que no se puede afinar de un modo fáctico, menos haciéndolo sobre instrumentos como las flautas, lo que es absolutamente inexacto (ya que carecen de precisión, al no poderse calcular bien los diámetros interiores, ni las longitudes). De un modo similar, pretender hallar las notas poniendo pesos para tensar cuerdas, es científicamente inaceptable; habida cuenta que cada cordel puede tener una diferente resistencia y grosor. Incluso llega a decirnos que tampoco vale el monocordo con una larga cuerda, ya que necesitaría de una enorme longitud, por lo que su tipología puede variar en diferentes tramos -debido a su dureza, resistencia o diámetro-. Algo que igualmente sucede con los instrumentos de percusión, que no son fiables para medir sus notas y diferencias de intervalos, en base al volumen o masa (13) . Continúa con una frase más, en la que explica que el método justo para hallar los tonos, es "el monocordio"; exponiendo el suyo (al que llama Canon). Siendo este el mejor método experimental para estudiar la relación de tensiones y notas. Escribiendo textualmente: "En cambio, en el llamado canon, una cuerda extendida nos mostrará las razones de las consonancias más exacta y fácilmente, sin tomar su tensión al azar" (Pag 158).
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Aquel "canon" y una de sus formas, la tenemos recogida en la imagen superior (primera) de arriba, el la que podemos ver esta "bicicleta" por donde pasaría la cuerda que va a producir los sonidos. Sobre aquel nos dice Ptolomeo (pag 158): "Considérese, entonces, un canon según la recta ABGD, y puentes en ellos, con los que límites, totalmente iguales y semejantes, que en lo posible hagan esféricos los dos lados bajo las cuerdas: BE en torno a Z como centro de dicho lado, y GH igualmente en torno a Q como centro, tomándose los puntos E y H en las bisecciones de los lados convexos. Tengan los puentes una posición tal, que las líneas trazadas a través de las bisecciones E y H y de los centros Z y Q, es decir, EZB y HQVG , sean perpendiculares a ABGD" (leer observando la imagen). Exponiendo que la Cuerda de abajo (A-D) tensa en los puentes de arriba (E - H); diciendo textualmente: 
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"si la parte EK de la cuerda se halla en igual tensión que KH, y aun KV que VH, nos resulte claro su invariabilidad en su disposición (...) si se toma EK de tres de tales divisiones, de las que KH es de dos, producirán las notas de cada uno la consonancia de quinta a través de la razón sesquiáltera. (...) si toda la longitud fuera dividida de esta manera, de modo que EK resultase de dos segmentos y KH de uno, habrá el intervalo homófono de octava por la razón doble. Y si resultase de tal manera que EK fuera tratada en ocho segmentos y KH en tres de ellos, habrá la consonancia de octava más cuarta según la razón ocho a tres. Y si resultase de tal manera que EK fuera de tres segmentos y KH de uno, habrá la consonancia de octava más quinta según la razón triple. Y si resultase de tal manera que EK fuera tratada en cuatro segmentos y KH en uno, habrá el intervalo homófono de doble octava por la razón del cuádruple" (14) .
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Sobre los fragmentos antes recogidos, no podré expresar más que son tan oscuros como difíciles de entender, habida cuenta que no conocemos la proporción del círculo que alza los puentes, ni el momento en que estos arrancan desde A y D; sin tener definido el ángulo desde el cual suben las cuerdas. Ni menos incluye la razón de "pi", que sería de algún modo la que centraría la relación de las circunferencias, sus diámetros y el "canon". Todo lo que en mi opinión hace suponer que no sabiendo explicarnos del todo este artilugio, quizás Ptolomeo tomase las ideas desde otro autor o teórico, que en su caso comprendería y hubiera sabido justificar los motivos existentes entre las quintas, las octavas y las cuartas (junto a las tensiones de la cuerda ajustada entre estos dos circulos llamados para él "canon").
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ARRIBA: Fresco de la tumba del escriba Nahj -Tebas 52- perteneciente a la XVIII dinastía y propiedad del Valle de los Reyes (a cuya institución agradecemos nos permita divulgar la fotografía). Representa varias bailarinas y tañedoras egipcias, con las vestimentas que de común llevaban. En su centro podemos observar una intérprete de pandura, cuya "guitarrita" tiene una enorme longitud en el mástil, donde existen ya trastes. Ello me hace pensar que este tipo de instrumentos fueron usados para temperar y buscar las notas, ya que facilmente se pueden calcular sobre aquellos (por el procedimiento de hallar la mitad, más un cuarto). Muy interesante es además observar que en su parte alta del mástil cuelgan dos borlas, que quizás signifiquen el lugar para comenzar a calcular o templar (una Cuarta o una Quinta). Bajo esta imagen, recogemos la división de Arquitas, según los tonos. Hemos de entender que se refiere al tamaño de las notas principales (Mese y Nete).
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ABAJO: Imagen del Rejol de Sol de Baelo Claudia (Bolonia de Cádiz), fechado en tiempos de Ptolomeo y propiedad del Museo Arqueológico Nacional -al que agradecemos nos permita divulgar nuestra fotografía-. Bajo este hemos situado el esquema de los géneros según Arquitas de Tarento, conteniendo en cifras comunes el valor de la cuerda y en números cursivos el de sus intervalos. Recoge Ptolomeo en este caso tan solo cuatro notas, de los tres tipos de entonación que este discípulo de Pitágoras reconocía.
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Cap del IX al XVI (final del Libro Primero):
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Los últimos apartados de este Libro 1º, tratan sobre los errores en el sistema de Aristógenes, estando intitulados -por ejemplo- del siguiente modo: Cap.9: "Que los aristoxénicos miden las consonancias de forma inconveniente con los intervalos y no con las notas" (pag 160 y ss.). Cap.10: "Que suponen, incorrectamente, la consonancia de cuarta de dos tonos y medio" (162 y ss). Pasa más tarde a demostrar que la la Octava puede llegar a ser menor de seis tonos, habida cuenta el "monocordo" de seis cuerdas; todo lo que creemos es perfectamente factible, ya que en una escala se pueden generar tantas notas como se quiera, según el procedimiento seguido. Pues tal como expliqué en conferencias y conciertos, para crear en el sistema moderno de afinación una Octava de diez notas; bastaría con aplicar la fórmula "raiz décima de 2". Es decir calcular diez notas entre las cuales su intervalo sea igual a 10Ѵ2 = 1,071773... . Lo mismo si deseamos hacer una Escala de seis tonos, cuyo valor de separación entre ellos sería 6Ѵ2 = 1,12246... (15) .
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En el capítulo 12º trata "De la división de los géneros y de sus respectivos tetracordios según Aristóxeno" (pag 170 y ss); donde se encuentra el cuadro arriba recogido y en el que creemos se exponen las longitudes de Mese y de Nete en las formas que este teórico consideró: Estableciendo cuatro tipos: Enarmónico; CromáticoSuave; Cromático Tonal; Diatónico Suave y DiatónicoTonal. Ptolomeo en el siguiente, escribirá sobre el discípulo de Pitágoras -Arquitas de Tarento-, titulando el cap. 13º, "De la división de los géneros y los tetracordios según Arquitas". Donde vemos que ese tarentino -seguidor de la escuela samia- estableció tan solo tres tipos de afinación: Enarmónica; Cromática y Diatónica (pag 171 y ss; presentadas en una tabla que arriba también recogemos).
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A cerca de ellos -a mi juicio-, estas tres formas son las que realmente se ajustan al método que hemos explicado. La fórmula pitagórica, que fue el medio la más lógico y natural para calcular los tonos.
a- Siendo la Cromática la ya narrada, que halla las 12 notas multiplicando sucesivamente y por 3/4 (once veces)
b- Mientras la la Enarmónica usa el mismo método, pero multiplica primero por seis veces 3/4 hasta alcanzar los siete primeros tonos. Tras ello vuelve a multiplicar cuatro veces por el inverso -4/3 y desde la nota inicial-, llegando a los cinco semitonos restantes.
c- Por su parte, la tercera que cita -Diatónica-, halla las siete notas simplemente multiplicando por 4/3 seis veces.
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Sobre el resto de fórmulas, métodos -o hasta ingenios- para dividir, justificar o localizar los intervalos (ajenos a los pitagórico, antes expuestos). Diremos que nacen unos de otros, deseando algunas escuelas demostrar que la Escala propuesta por sus antecesores no era muy exacta; buscando con ese motivo la suya; particular, original y propia. Una Octava que se ha fraccionado de tan distintos modos como se imaginó, habiendo quedado en Grecia trece "sistemas" como clásicos. Algo que en mi opinión sucede porque al iniciar la "temperación", si comenzamos cada vez desde una nota distinta (partiendo de "DO", "DO"#, RE, RE# ...etc); terminaremos debiendo crear un "modo" diferente para entender los intervalos. Ya que el resultado -en cada caso-, hace que finalmente veamos de manera distinta la Escala y su justificación matemática. Para que lo comprendamos bien, diré que es algo similar a las divisiones del calendario -en cada cultura o civilización-; poniendo el principio y fin de los ciclos, en las fechas más importantes para ellos (por motivos de trabajo, históricos, religiosos etc). Debiendo determinar conforme al calendario creado, la justificación del ciclo solar, lunisolar y etc; que siempre serán los mismo, pero que se interpretan de un modo muy distinto en cada caso.
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ARRIBA: La imagen de Ptolomeo, tomada de un grabado antiguo iluminado (donde vemos al geógrafo con la ballestilla en mano). Bajo ella, hemos incluido la división suya de los tetracordios, según el género. En este caso: ENARMÓNICO, CROMÁTICO SUAVE Y CROMÁTICO TENSO. Ya hemos explicado qué son estos géneros, pero lo repetimos rápidamente, para quien no lo hubiera leido antes: Siendo el Cromático aquel método que halla las doce notas, multiplicado progresivamente desde la primera y hasta localizarlas todas. Por su parte, el Enarmónico intenta encontrar las doce notas multiplicando y dividiendo. Por lo que inicia desde un tono que va multiplicando seis veces, hasta hallar las siete naturales. Tras ello, vuelve a la nota primera y la divide en sentido contrario; encontrando así los cinco semitonos (que en nuestro sistema serían Do#, Re#, Fa#, Sol#, La#).
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ABAJO: De nuevo y bajo la misma imagen anterior del alejandrino. Hemos incluido la división suya de los tetracordios, según otros géneros. En este caso son los: DIATÓNICO SUAVE, DIATÓNICO TONAL Y DIATÓNICO TENSO. Recordemos que por "género diatónico" simplemente se entiende una escala con intervalos tónicos (naturales) por lo que suele ser la Octava de siete notas; comunmente considerada como la comprendida en (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI). Ello porque hoy en día y tras la afinación moderna, no existen los semitonos. Pese a todo, en la fórmula antigua de templar, hubo siete tonos y cinco semitonos, por lo que más debiéramos de hablar de escala Diatónica, como aquellas separadas por notas enteras, es decir: (SI, DO#, RE#, FA, SOL, LA, SI) o bien (MI, FA#, SOL#, LA#, DO, RE) -género en el que verdaderamente en la Antigüedad había dos tonos de distancia entre cada uno-.
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Termina Ptlomeo este primer libro, con tres capítulos más, que intitula: 14º:"Demostración de que ninguna de las distinciones preserva lo realmente melódico" (pag 172 y ss); 15º:De la división de los tetracordios según el género, conforme a lo racional y lo evidente". (pag 173 y ss). Sobre estos diferentes intervalos, he tomado las listas de géneros y de sus divisiones desde las páginas 176 y 178 del libro de Pedro Redondo -presentadas bajo las imágenes de arriba-. En estas podemos ver que para el geógrafo, el intervalo principal que marca el sistema Enarmónico es 5/4. Ello significa un medio común al pitagórico -aunque Ptolomeo no lo reconoce, advirtiendo que los del samio desconocen la armonía de 1+1/4-; ya que el valor de una nota inicial se divide en cuatro partes y luego se multiplica (o divide) por 1/4. Es decir, que este intervalo de 5/4 -que considera tan suyo como ajeno a Pitágoras- es la base en realidad del método enseñado por el samio.
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Por su parte, el Cromático que clasifica como "Suave", está dominado por 6/5; siendo esta una distancia distinta a las usadas por el pitagorismo, debiendo hallarse dividiendo la nota inicial por cinco y multiplicando por 1/5 (ya que el siguiente que plantea en este género es de 15/14, igualmente derivado de 6/5). Finalmente, como fracción dominante del Cromático Tenso, destaca 7/6; todo lo que en realidad procede de la Quinta más la Octava. Pues como dijimos, si la Octava vale 2 y la Quinta vale 2/3; la unión de ambas es 8/3, cuya mitad son 7/6.
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En lo que refiere al las divisiones que el geógrafo otorga a los géneros Diatónicos, estas son: Suave, que equivale para él primero a (8/7); como contiguo pone (10/9), seguido de (21/20) (no pudiendo entenderse muy bien las razones de estas). Muy por el contrario el Diatónico Tonal tiene intervalos típicos de los sistemas pitagóricos, siendo estos el inicial de (9/8) , seguido de (8/7) y continuado por (28/27). Para finalizar el Diatónico Tenso, lo describe en base a las distancias (10/9) y (9/8) de nuevo, terminando con (16/15). Evidentemente todos estos intervalos vemos que proceden de fórmulas muy cercanas a la afinación pitagórica, en las que se distinguen estas fracciones de 9/8 o 28/27, 10/9 y etc.
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Finaliza esta primera parte de Harmónica de Ptolomeo con el capítulo 16 que titula: "Cuántos y cuáles son los géneros más familiares a los oídos" ( pag 179 y ss). Diciéndonos textualmente: "De los géneros expuestos, encontraríamos todos los diatónicos familiares a los oídos, pero no ya del mismo modo ni el enarmónico ni el suave de los cromáticos, porque no se deleitan con los caracteres muy laxos". Por lo que hay que considerar que para este geógrafo alejandrino las melodías más agradables serían las que partían desde escalas con siete notas (o de siete intervalos enteros); todo lo cual constituye un verdadero dato para conseguir conocer bien el alma de este autor. Cuyos gustos musicales debían parecerse de algún modo a los de canciones infantiles -o más comunes y pegadizas-, en las que se pretende no abusar de los semitonos (aunque ciertamente en la Escala moderna los semitonos no existen).
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Para terminar el artículo, he recogido una fotografía del interior de la Fundación Joaquín Díaz, donde hace unos siete años me invitaron con gran amabilidad a exponer mis ideas acerca de la afinación pitagórica (en conferencia-concierto). De esa ponencia salió mi trabajo "Creación, temperación e improvisación" (16) , en este recogí unas tablas conteniendo las distancias en afinaciones: Enarmónica, Pitagórica -Cromática- y la moderna (llamada Igualmente Temperada). Para mostrar los sistemas antiguos de templar, partí desde de una hipótesis, tomando como Monocordo la sexta cuerda de la guitarra, con una longitud de 660 mm. equivalente a un "Mi1" tocada al aire -por lo que su siguiente "Mi2" está en los 330 mm y el otro a la mitad de nuevo (en el mm. 165)-. Desde ello situábamos las longitudes en los tres tipos de afinación; describiendo las distancias donde van los trastes modernamente (en la Igual Templada) y al su lado, donde han de ir en la Pitagórica (normal o cromática) y en la Enarmónica.
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Todo ello, lo que he recogido de nuevo para mostrar el valor de la Ѵ2 y su relación plena con la Escala; debido a que en mi modo de ver la Octava, está se relaciona sobre todo con la trigonometría. Para comprobarlo, primero partiremos de la idea de que la Octava se denomina así porque comprende del "Do" al "Do"; es decir: Ocho notas (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI, DO). Por lo que para observar o analizar perfectamente la Escala, hemos de considerar igualmente que en ella hay trece tonos, y no doce; pues la Octava comprende de DO a DO. Siendo, doce notas mas la última, las que cierran el círculo de tonos, por lo que en el centro de aquellas se hallaría el LA# (teniendo esta nota, seis arriba y seis por debajo). Pues la temperación antigua ha de inicarse en el MI (como hemos podido comprobar, ya que de comenzarse en otro tono, el resultado en enarmónicos es imposible). Por lo que la Escala nos quedaría en trece notas, con el LA# en su centro:
MI // FA // FA # // SOL // SOL# // LA
LA#
SI // DO // DO# // RE // RE# // MI
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Teniendo el La# seis notas precedentes y otras seis a continuación; es el séptimo en nuestro sistema igual de templar (en razón de 12Ѵ2). Equivaliendo exactamente a Ѵ2 multiplicado o dividido por el primero (en este caso "MI"). Ello porque como hemos dicho valoramos en nuestro monocordo de la 6ª de la guitarra, "MI" en 330 mm. o bien en 660 mm..
Es decir
660/Ѵ2 = 330 · Ѵ2 = 466,69 mm = LA#
Lo mismo sucedería si lo transcribimos a Hertzios, conociendo que el "LA" es 440 Hz y por lo tanto su LA# es 466,163 Hz. De lo que:
LA# : Ѵ2 = 329,62... Hz. = "Mi2" (sexta cuerda pulsada en traste 12)
LA# · Ѵ2 = 659,25... Hz. = "Mi1" (sexta cuerda tocada al aire)
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Todo lo que confirma la unión entre la trigonometría y la escala musical, puesto que como hemos visto, el secreto de la "cuadratura del círculo" (realizar un cuadrado dentro de una circunferencia) está en la Ѵ2. Que es la proporción entre el Radio y la sección que precisa el cuadrado dentro del círculo, que evidentemente es 2seno de 45 Grados = Ѵ2 .
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ABAJO: Interior de la Fundación Joaquín Díaz, donde hace unos seis años tuvieron la amabilidad de invitarme a sus simposiums. Allí pude explicar algunas de mis teorías sobre la afinación pitagórica y los diversos temperamentos. Bajo la imagen del patio interior y jardín he recogido de nuevo la lista de distancias a la que debieran situarse los trastes si templamos una guitarra en distintos modos (Enarmónico, Pitagórico y actual -igual temperado-). Como podremos ver, la Octava vale 2 -tanto en Hertzios como en milímetros-, ya que en el caso de longitudes el Mi se sitúa en la guitarra en la sexta (en los mm. 660 y 330). Pero de igual modo, si se multiplica o divide "MI" por Ѵ2, llegamos hasta lo que yo denomino el CENTRO de la Escala. Ya que la concibo de trece Notas (de DO a DO) y en su mitad estaría el LA#, justamente equivalente a (MI:Ѵ2) -ó bien a (MI·Ѵ2)-.
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Si en la antigüedad se hubieran percatado de este hecho, quizás ya habrían podido obtener la conclusión de que la progresión igual en los temperamentos es en razón de esta "raiz de 2". Porque la realidad matemática hoy, es que si queremos tener una Escala igualmente graduada y con el número de notas que deseémos, se hará en razón a Ѵ2. Es decir, que se pueden crear Escalas de tres, cuatro, cinco... ó bien "x" notas; ello, simplemente haciendo xѴ2.
Como sucede en los ejemplos siguientes:
-Escala de dos Notas en base a Ѵ2 
(A) // (AѴ2) // (A:2) = {(AѴ2): Ѵ2}
1ª ------2ª -------1ªbis
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-Escala de tres Notas en base a 3Ѵ2
(A) // (A:3Ѵ2) // {(A:3Ѵ2) : 3Ѵ2} // (A:2) = {(A:3Ѵ2) : 3Ѵ2} : Ѵ2
1ª--------2ª--------------3ª---------------1ªbis
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-Escala de cuatro Notas en base a 4Ѵ2
(A) // (A:4Ѵ2) // {(A:4Ѵ2) : 4Ѵ2} // {(A:3Ѵ2) : 3Ѵ2} : Ѵ2 // (A:2) = [{(A:3Ѵ2) : 3Ѵ2} : Ѵ2] : Ѵ2
1ª--------2ª-----------------3ª--------------------4ª-------------------------1ªbis
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CITAS:
(1): "La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América" de Julio Rey Pastor (2010, Biblioteca Virtual Cervantes) Editorial DEL CARDO. pag 65 .
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(2): Idem cita (1) pags 45, 65 y 66.
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(3): M. FUENCISLA GARCIA CASAR, Cielos y aguas bíblicos a la medida del
hombre medieval y mediterraneo // pag. 5 a la 33 // Volume 6 5769/ 2008 // Hispania Judaica // The Mandel Institute of Jewish Studies // Ed. The Hebrew University of Jerusalem
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(4): Pedro Redondo Reyes
La Harmónica de Claudio Ptolomeo: edición crítica con introducción, traducción y comentario (2014 InterClassica) - Universidad de Murcia
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(5): EL ÍNDICE DE ESTE LIBRO PRIMERO ES EL SIGUIENTE (conteniendo 16 capítulos):
1.De los criterios en harmónica.
2.Cuál es el propósito del estudioso de la armonía.
3.Cómo se constituyen la agudeza y la gravedad en los sonidos.
4.De las notas y sus diferencias.
5.De los principios adoptados por los pitagóricos respecto a las hipótesis de las consonancias.
6.Que los pitagóricos no investigaron correctamente las causas de las consonancias.
7.Cómo podrían definirse más correctamente las razones de las consonancias
8.De qué modo se mostrarán, sin ninguna duda, las razones de las consonancias por medio del canon monocorde.
9.Que los aristoxénicos miden las consonancias de forma inconveniente con  los intervalos y no con las notas.
10.Que suponen, incorrectamente, la consonancia de cuarta de dos tonos y un semitono.
11.Cómo se podría mostrar, también a través de la percepción, que la octava es menor que seis tonos gracias al canon de ocho cuerdas.
12.De la división de los géneros y sus respectivos tetracordios según Aristoxeno-
13.De la división de los géneros y los tetracordios según Arquitas.
14.Demostración de que ninguna de las distinciones preserva lo realmente melódico.
15.De la división de los tetracordios según el género, conforme a lo racional y lo evidente.
16.Cuántos y cuáles son los géneros más familiares a los oídos.
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(6): Op. cit. (4) (1º ; 1, 3 -pag 141-)
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(7): Op. cit. (4) (1º 1,5 pag 142)
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(8): Op. cit. (4) (1º, 2, 1 -pag144-)
"los pitagóricos y los aristoxénicos, y ambos se equivocan. Pues los pitagóricos, al no haber atendido a la aplicación del oído ni en los casos en que era necesario para todos, ajustaron a las diferencias entre los sonidos razones inapropiadas absolutamente a los fenómenos, de modo que con tal criterio desavenencia entre quienes tenían diferente opinión. Por su parte, los aristoxénicos, dando más credibilidad a lo aprehendido a través de la percepción, se sirvieron de la razón como de algo accesorio para el método, contra ella misma y contra el fenómeno razones inspiraron"
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(9): Cap. 5º. De los principios adoptados por los pitagóricos respecto a las hipótesis de las consonancias (página 150 y ss)
"La percepción entiende como consonancias las conocidas como cuarta y quinta (cuyo exceso se denomina tono), y la octava; y aún la octava más cuarta, la octava más quinta y la doble octava. Para nuestro presente propósito, queden al margen las que exceden a éstas. El razonamiento de los pitagóricos sólo excluye una de ellas, la octava más cuarta, siguiendo sus propias hipótesis, que adoptaron los principales representantes de la escuela a partir de los siguientes conceptos.
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Una vez que han ajustado, por esto, las razones superparticulares y múltiples a las consonancias, hacen corresponder la octava con la razón doble quinta con la sesquiáltera y la cuarta con la sesquitercia.
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A-----------------8
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B----------------------------12
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C-----------------------------------------18
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En efecto, dicen, sea una quinta AB , y a continuación otra quinta BC, de modo que AC sea una doble quinta (PAG 151)
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Según lo mismo, también enseñan que la cuarta es una superparticular menor que la quinta. Sea de nuevo, dicen, una octava AB y a continuación de ésta otra octava BC, de modo que AC resulte una doble octava.
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A...............4
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B............................8
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C.................................................16
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(10):
1.Los nombres de las notas Hemos seguido las recomendaciones de J. García López y C. Morales Otal ( op.cit.) Otras versiones se pueden leer en las traducciones al castellano de Ps.Plutarco de Mus. de M. García Valdés (en el volumen titulado Moralia Madrid 1987) y de Arístides Quintiliano de L. Colomer y B. Gil ( Sobre la música, Madrid 1996)
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(...)
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3.La nomenclatura de los lo/goi armónicos. Para expresar la razón armónica entre dos números (equivalente a la razón entre dos longitudes de cuerda) o ratio, el griego utiliza un sistema integrado por la preposición seguida del número (...) Dentro de las razones superparticulares se encuentran tres muy conocidas: fácilmente traducible por "doble"; y las y "Epítrito" es una denominación conocida de un pie en la métrica grecolatina; no obstante, en la misma doctrina rítmica, el término se opone a bajo el criterio del Hemos vertido como "sesquitercio" y como "sesquiáltera" (Pag 130; Op. Cit 4)
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(11): Op. cit. (4) (Cap. 6º; pag 152)
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(12): Lib. 1º; Cap. VIII.De qué modo se mostrarán, sin ninguna duda, las razones de las consonancias por medio del canon monocorde (pag 156 y ss).
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(13): "desechemos sostener lo expuesto mediante aulós y siringas, o mediante pesos suspendidos de las cuerdas, porque no se pueden alcanzar tales demostraciones con la mayor exactitud de lo que ya ; antes bien, introducen motivos de desacuerdo entre quienes lo han intentado. Pues en los aulós y las siringas, al ser difícil encontrar la corrección de su irregularidad, incluso también los límites respecto a los que es necesario comparar las extensiones, se establecen de modo indefinido al haber un cierto desorden en la mayoría de los instrumentos de viento y por los pasos de aire. En los pesos colgados de las cuerdas, al no mantenerse las cuerdas invariables unas respecto a otras de forma absoluta, toda vez que también supone un esfuerzo encontrar incluso que cada una de ellas sea así respecto a sí misma, ya no será posible asignar. (...) lo mismo sucede también en los sonidos resultado de la percusión, que logran por medio de esferas o discos de diferente peso, y a partir de platos vacíos y llenos, pues es muy difícil mantener en todas estos recursos la invariabilidad en las materias y en las figuras" (PAG 157)
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(14): "Entonces, si desde A y D tendemos una cuerda proporcionada será paralela a ABGD , por tener igual altura los puentes. Y tomará en los puntos E y H los inicios de los puntos de pulsación; pues en ellos en sus, AEHD, s hará los contactos de los lados convexos, por ser EZB y HQG perpendiculares también a ella. Tras haber ajustado a la cuerda una regla las equivalencias y trasladado a ella la longitud EH para hacer más fácil, estableceremos primero hacia la bisección de toda la longitud, K , e incluso hacia la bisección de la mitad, L, puentecillos muy finos y lisos, o, por Zeus, incluso otros puentes, un poco más elevados que aquéllos pero sin ser diferentes por su posición, igualdad y similitud respecto a la línea del centro de la convexidad línea que estará bajo la misma bisección de la regla o, a su vez, bajo la bisección de la mitad, para que, si la parte EK de la cuerda se halla en igual tensión que KH, y aun KV que VH, nos resulte claro su invariabilidad en su disposición. Y en el caso de que no sea así, traslademos la comprobación a otra parte a otra cuerda, hasta que se preserve lo consecuente, es decir, similar tensión (PAG 159) (....) si se toma la distancia EK de cuatro de tales divisiones, de las que KH es de tres, las notas de cada uno de los límites producirán la consonancia de cuarta por medio de la razón sesquitercia. Y si se toma EK de tres de tales divisiones, de las que KH es de dos, producirán las notas de cada uno la consonancia de quinta a través de la razón sesquiáltera.Y de nuevo, si toda la longitud fuera dividida de esta manera, de modo que EK resultase de dos segmentos y KH de uno, habrá el intervalo homófono de octava por la razón doble. Y si resultase de tal manera que EK fuera tratada en ocho segmentos y KH en tres de ellos, habrá la consonancia de octava más cuarta según la razón ocho a tres. Y si resultase de tal manera que EK fuera de tres segmentos y KH de uno, habrá la consonancia de octava más quinta según la razón triple. Y si resultase de tal manera que EK fuera tratada en cuatro segmentos y KH en uno, habrá el intervalo homófono de doble octava por la razón cuádruple". (PAG159)
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(15): -Cap. 11. "Cómo se podría mostrar, también a través de la percepción, que la octava es menor que seis tonos gracias al canon de ocho cuerdas". (PAG 165 Y SS)
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(16): "Creación, temperación e improvisación" Páginas 33 y ss. del libro LA VOZ Y LA IMPROVISACIÓN (FUNDACIÓN JOAQUÍN DÍAZ, Urueña 2008).