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SOBRE ESTAS LINEAS: Lienzo titulado, "Los pitagóricos celebrando el amanecer", pintado en 1869 por Fyodor Bronnikov. Con el presente artículo realizamos una "parada explicativa" antes de continuar con la serie en la que analizamos el tratado musical de Ptolomeo. De tal manera y previamente a seguir con nuestro estudio sobre el texto del Libro III de "Harmónica", explicaremos brevemente lo que fueron las afinaciones en la antigüedad -de un modo coloquial y para que todo interesado pueda comprenderlo perfectamente-.
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ABAJO: Formulación del teorema de Pitágoras explicado ya en los siglos del XX al XVII a.C. -al menos doce antes del nacimiento del sabio de Samos-, recogido sobre una tablilla babilónica catalogada como "PLIMPTON 322, cara A" (propiedad de la Universidad de Columbia, a la que agradecemos nos permita divulgar la imagen). La descifraron a Neugebauer and Sach, publicándola por vez primera en "Mathematical Cuneiform Text", New Haven 1945 (a todo interesado le recomendamos consultar su PDF liberado en la red: http://www.helsinki.fi/~whiting/problems01.pdf ); documento donde tradujeron el fragmento cuneiforme, demostrando que los mesopotamios describían "números pitagóricos" ya a comienzos del segundo milenio a.C.. Conteniendo la tablilla una relación numérica en la que a través de sistemas trigonométricos se explica el resultado de los cuadrados y de sus raices (hiponenusas cuadradas).
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La base simple para su entendimiento igualmente la explicaba la matemática india en el segundo milenio a.C., tal como expongo en un dibujito mío, que he incluido junto a la imagen. Donde se observa que si realizamos dos lineas unidas en un punto y en ángulo recto ("a" y "b" -en amarillo y verde-), para conocer el resultado de la diagonal entre ambas ("c" -en rojo-); habremos de trazar un cuadrado bajo cada una de ellas. Siendo el cuadrado de la hipotenusa igual a la suma de ambos cuadrados anteriores (en azul); o bien, siendo esa diagonal (en negro), igual a la raiz de los dos cuadrados sumados (en este caso = 8).
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Pese a todo, ante esta tablilla o frente al teorema indio ancestral, no debemos desacreditar ni pensar peyorativamente de los filófos griegos ni menos de la Hélade. Cuyo enorme valor fue el de escribir y transmitirnos estos conocimientos -heredados en una gran mayoría de casos-. Algo que hasta ese momento había estado prácticamente vetado al mundo de los hombres cultos, con el fin de mantener en secreto las ciencias y las artes (en poder de una élite dominante)-. Siendo así el gran tesoro que nos dejó Grecia fue este de hacernos llegar y de divulgar gran parte de la sabiduría milenaria, conocimientos que se habían mantenido ocultos en los templos del Nilo o de Babilonia -donde escribir o transmitir a ajenos los conocimientos, se llegaba a castigar con pena capital-.
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ANTES DE COMENZAR (introducción):
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No sin razón, alguno de nuestros lectores se ha dirigido a nosotros solicitando, que -de algún modo- expusiera mejor los pormenores de los temperamentos; desde la Antigüedad hasta nuestros días. Pidiendo que expresara la teoría de una forma más coloquial y para que "todos" pudieran comprenderla. Un consejo o solicitud, que en verdad tiene enorme valor, ya que indica gran interés por este tema en el que la arqueología puede centrar una parte de sus investigaciones (tal como se hace actualmente con otros campos como el de la arqueo-astronomía, o la arqueo-matemática).
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De tal modo y para comenzar, diremos que ese método comunmente denominado "averiguar la Escala musical", sufrió un proceso histórico y milenario bastante sencillo de entender -del cual hablamos comunmente olvidando en verdad a gran parte de los interesados, que quizás no han podido conocerlo bien-. Por todo cuanto lo explicaremos de nuevo (y desde sus conceptos básicos); en la forma que lo entiendo y narrando los "secretos" más antiguos en los métodos de "templar" las cuerdas. Tema sobre el que habríamos de empezar diciendo que el origen de los sistemas para hallar los Tonos, es milenario y se pierde en "la noche de los tiempos". Formas de afinar ancestrales que de algún modo pervivieron en Grecia y en Roma, como herencia de las grandes civilizaciones más antiguas: Mesopotamia y de Egipto -al menos en mi opinión, en la que entiendo que en la música sucedió como con el resto de las artes y las ciencias, importadas en gran parte hasta la Hélade desde el Nilo o Babilonia (incluso con la mayoría de los mitos y leyendas grecolatinas)-.
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Pese a todo, a día de hoy, no es posible datar ni conocer los inicios de estos sistemas musicales, ni de determinar claramente las fórmulas de Escala utilizadas en Mesopotamia o en tierras faraónicas (por falta de referencias históricas y escritas). Aunque sí se llegan a intuir, al ser obvio una complejidad en las Octavas desde el momento en que desarrollaron instrumentos de una enorme complicación técnica (con gran número de cuerdas, trastes y orificios -en los de viento-). Escalas que personalmente considero de más de ocho notas y de Octavas con semitonos o con los "doce sonidos"; que a mi juicio, desde comienzos del tercer milenio a.C. se conocerían (usadas en el Egipto de las pirámides y entre los caldeo sumerios).
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No siendo esta la opinión de grandes investigadores como Hickman, o en nuestro país Pérez Arroyo y la prof. Bonet; aunque a continuación podremos demostrar que la fórmula más común de templar lleva hasta la Escala de doce notas. Pues como veremos en este artículo, para obtener este número de Tonos tan solo hace falta temperar por el medio más sencillo: "Afinar" las cuerdas simplemente pulsándola en su mitad y volviendo a pulsarla otra vez en su medio; con lo que se llega a la Quinta (siendo el valor de cada nota, 1/2 + 1/4 de la anterior -cuerda-). Todo lo que brevemente hemos explicado en la frase anterior, lo enseñaba el método pitagórico a mediados del siglo VI a.C. -una fórmula que debemos suponer importada por el sabio desde Oriente Medio, del Nilo o del Eúfrates-. Sistema que se desarrolló en Grecia, cayendo en desuso poco después y apenas llegando a ser comprendido en tiempos de Roma; cuyos matemáticos desechaban el pitagorismo como medio de regular la Escala. Pese a permanecer siglos en el olvido, ese método logró sobrevivir casi intacto durante la Edad Media, gracias a la conservación monacal de los textos más antiguos.
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Así se llegó hasta la época Moderna, durante la que basándose en el temple de Pitágoras y habiendo estudiando el Renacimiento los más ancianos escritos griegos, comenzaron a experimentar sobre sistemas para una justa entonación. Logrando sistemas tan perfectos como el de Zarlino o el de Salinas, junto a los hallados por el padre de Galileo Galilei y por su reconocido amigo, Simón Stevin (quien alcanza calcular la "raiz doce de dos"). Concluyendo paulatinamente esa "historia de los Temperamentos" (iniciada en Occidente por Pitágoras), desde el momento en que la matemática cifró el intervalo como uno igual para todas las notas. Siendo aquel -tal como hemos explicado múltiples veces-, la raiz doce de dos (12Ѵ2); un número llamado "Lambda" que medirá las distancias en la Escala con una misma fórmula, equilibrada e idéntica en cada Tono (llamándose por ello este modo de afinación: "igualmente temperada").
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ABAJO: Monumento a Francisco Salinas en Salamanca (junto a la Casa de las Conchas). Fue este teórico y músico renacentista, quien diseña por primera vez un método graduado de afinación muy cercano al moderno (considerándose uno de los más depurados, junto con el de Zarlino). Pese a ello, el llamado "Sistema Perfecto" -de Salinas- fue objeto de mofas y risas en la España de su época; tanto que Espinel en sus obras se adjudicaba la "proeza" de haber introducido la "quinta" cuerda en la guitarra (de cuatro), ironizando sobre las teorías musicales del maestro ciego afincado en Salamanca. Aunque se sabe, que muy probablemente el iniciador de la guitarra de cinco órdenes pudo ser Salinas; ya que cuatro años después del nacimiento de Espinel hay obra escrita para este instrumento. Además, el tipo de afinación que guardaba la "nueva vihuela" -con una quinta cuerda-, es muy cercana al "Sistema Perfecto" (solo superado por la matemática moderna) basado en Quintas y próximo a la resolución de la guitarra -cuyas cuerdas pasaron a ser MI-LA-RE-SOL+SI ; lo que pudo concebirse al aplicar el método de Salinas, cerrando el círculo de Quintas (tal como se hizo en nuestra guitarra moderna con MI-LA-RE-SOL-SI-MI)-.
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A)EL ESTABLECIMIENTO DE LA OCTAVA MODERNA:
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Siguiendo la petición de algunos lectores, para que no haya dudas y con el fin de que todos entendamos bien qué son los "temperamentos"; los explicaremos de nuevo comenzando por la "afinación" que usamos hoy en día. Cuyo "misterio" fue resuelto hace unos trescientos años -tal como antes hemos referido-, consistiendo simplemente en multiplicar (o dividir) cada tono por una misma, cifra llamada "Lambda". Número que equivale a 12Ѵ2 = 1,0594630943592952645618252949463... .
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Por todo cuanto, si queremos calcular el valor de una escala comenzando desde un "MI" (como el de la guitarra, tocando la 6ª cuerda al aire, que mide 660 milímetros y cuyo valor es aproximadamente 82,4 Hertzios). Bastará ir dividiendo o Multiplicando por Lamba, para saber dónde se han de colocar los trastes y el valor de cada una de las notas en Hertzios.
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Es decir aplicar de este modo "Lambda":
Octava desde el "MI", sexta cuerda tocada al aire:
"MI" = 660 Ctms. ......................// .................................. 82,40688 Hz.
"FA" = (660 : 12Ѵ2) = 622,95... mm. // (82,4 · 12Ѵ2) = 87,3 Hz.
"FA#" = (622,95 : 12Ѵ2) = 587,98... mm. // (87,3 · 12Ѵ2) = 92,49 Hz.
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Así sucesivamente hasta doce veces, tras lo que llegamos a una nota final o inicial, igual a la de comienzo multiplicada o dividida por dos (es decir, en el caso de nuestro "MI" de 660 mm. y 82,4 Hz.; se convertirá en uno de 330 milímetros, equivalente a 164,81... Hz, tras multiplicarlo doce veces por "Lambda") -recomendamos observar con detenimiento la cita primera (o bien la imagen de Marin de Mersenne -algunas fotos más abajo-), donde recogemos la lista de notas, conforme este método moderno basado en raiz doce de dos (1)- .
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SOBRE ESTAS LINEAS: Músicos tañendo sus instrumentos, fresco de la tumba del escriba Nahj (NºTebas 52) perteneciente a la XVIII dinastía -agradecemos a la institución Valle de los Reyes, nos permita divulgar la imagen-. Como podemos apreciar, en la pandura de primer plano se observan trastes sobre su mástil, que debe tener de más de un metro de largo. Pues suponiendo que la cabeza de la arpista (con peluca) mide unos 25 centímetros, la longitud del diapasón de la "guitarrita" sería mayor a cuatro veces ese tamaño. De ello, podremos creer que este mástil tendría unos 105 ctms., al ser esta la longitud correspondiente a 2 Codos reales de la Dinastía XVIII. Además, los diversos trastes -sobre los que he pintado- no tienen intervalos muy largos. Resultando muy llamativo que al final, estos se unen bastante en lo que parece una última Octava y que tendría unos doce tonos. Todo lo que apuntamos, hace real en prorporciones y en tamaño las longitudes fijadas en cada nota del diapasón del fresco en imagen. Algo que interpretamos como una escala de doce notas, tal como se justifica en las distancias que más abajo anoto:
El orden en que las notas aparecen es:
"MI"–"LA"–"RE"–"SOL"–"DO"–"FA"–"LA#"–"RE#"–"SOL#"–"DO#"–"FA#"–"SI" (ídem) MI etc.
Primera Octava supuesta de 1050 milímetros (2 Codos reales), de "MI1" 1050 mm. a "MI2" = 525 mm. // Nota "LA" = 787,5 mm. // Nota "RE" = 590,6 mm. // Nota "SOL" = 885,9 mm. // Nota "DO" = 664,4 mm. // Nota "FA" = 996,6 mm. // Nota "LA#" = 747,5 mm. // Nota "RE#" = 560,63 mm. // Nota "SOL#" = 840,94 mm. // Nota "DO#" = 630,7 mm. // Nota "FA#" = 946,06 mm. // Nota "SI" = 709,54 mm. // "MI2" = 525 mm.
Segunda Octava en el mástil del milímetro 262,5 al 525. Notas multiplicadas por 3/4 en quintas desde el "MI2" 525 al "MI3" de 262,5 mm. El orden en que vimos que aparecen es:"MI"–"LA"–"RE"–"SOL"–"DO"–"FA"–"LA#"–"RE#"–"SOL#"–"DO#"–"FA#"–"SI" (ídem) MI etc.
Resultando:
525 mm. (mi) x 4/3 = 393,75 mm. (la) // x 4/3 = 295,31 mm. (re) // x 4/3 = 442,96 mm. (sol) // x 4/3 = 332,22 mm. (do) // x 4/3 = 498,33 (fa) // x 4/3 = 373,74 (la#) // x 4/3 = 280,31 (re#) // x 4/3 = 420,46 mm. (sol#) // x 4/3 = 315,34 mm. (do#) // x 4/3 = 473,02 (fa#) // x 4/3 = 354,76 (si) // "MI3" = 262,5 (525/2) mm.
Por órden de mayor a menor y en nuestra notación serían: "MI" = 525 // "FA" = 498,33 // "FA#" = 473,02 // "SOL" = 442,96 // "SOL# = 420,46 mm. // "LA" = 393,75 // "LA #" = 373,74 // "SI" = 354,76 // "DO" = 332,22 // "DO"# = 315,34 mm. // "RE" = 295,3125 // "RE#" = 280,31 // "MI" = 262,5
Intervalos que perfectamente pueden ser los que contiene este mástil de pandura en manos de la músico. Ya que en su última Octava se valorarían los trastes con diferencias de 25 milímetros, aproximadamente -lo que se corresponde al grosor aproximado del dedo de la tañedora, que podremos ver en primer plano-.
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BAJO ESTAS LINEAS: Ortostatos del siglo XIV a.C. procedente de Alaca-Houyuc, que representa un tocador de laud -perteneciente al Museo de Ankara, al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. En este bajorrelieve hemos marcado las divisiones que contiene la pandura que tañe el músico; correspondiente a dos series de doce, bien marcadas (señaladas a colores). Además, proporcionando la cabeza del personaje (pensando originalmente es de unos 25 ctms) hemos considerado que el mástil del instrumento mediría unos 80 centímetros en su totalidad. Conteniendo consecuentemente dos Octavas indiscutibles: La primera de unos cuarenta ctms. y la segunda de unos veinte (existiendo la posibilidad de una tercera -al menos, armónica- en los últimos diez centímetros de longitud).
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B) EL ORIGEN DE LOS TEMPERAMENTOS:
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Hasta que en 1585 Simón de Stevin halló la razón del "temperamento justo", existieron decenas (por no decir centenares) de métodos oficializados para regular la Escala. Muchos de aquellos sistemas de afinación más antiguos, fueron recogidos por Ptolomeo en su tratado Harmónica. Tal y como vimos en el análisis del Libro II (en nuestro anterior capítulo), donde el geógrafo alejandrino enumeraba al menos cuarenta métodos distintos de graduar las notas. Con estos conceptos e historia, en la que se admitía un sinfín de temples, se llegaría al Renacimiento italiano; momento en el cual los neoplatónicos y los nuevos matemáticos inspirados por la filosofía antigua -genios del arte y la geometría-, se preocuparon en profundidad por la teoría musical.
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Siendo uno de los más curiosos investigadores sobre el tema el padre de famoso Galileo Galilei (Vicenzo Galilei); quien se percató de que la historia de las proporciones en la afinación era "pura leyenda". Pues al narrar los textos antiguos el modo en que Pitágoras había descubierto los intervalos, afirmando que un martillo del doble de peso -o un disco de tamaño doble-, sonaba en una Octava más baja (por ser dos veces mayor). Existía el error de no contemplar que en los sólidos, la Octava y sus intervalos, aumentan o disminuyen en razón del cubo -es decir, en progresión geométrica y no aritmética (de lo que un martillo ha de "cubicar" el doble, para que suene en una octava mayor)-. Este genial hombre, que debió enseñar a su hijo Galileo que aunque una mentira histórica, se repita durante milenios, no deja de ser falsa... . Fue el iniciador de la nueva teoría musical que comprende las teorías de Zarlino y Salinas; culminando aquel periodo con el hallazgo debido a otro "amigo" de los Galilei, llamado Simon de Stevin. Matemático que ya define el temperamento justo en parámetros cercanos a la raiz doce de dos -en 1585-.
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Sobre este tema, actualmente se estudia "una casualidad histórica", que narra como en China y en 1584, un príncipe y afamado matemático también había descubierto esta misma fórmula de intervalos (precisamente un año antes). No vamos a entrar en el tema, ni menos a opinar si los contactos comerciales entre China e Italia pudieron trasegar conocimientos de un lado y el otro del Mundo. Aunque sí debiéramos destacar que en 1584 la Ruta de la Seda llevaba unos ciento cincuenta años cerrada, al igual que la de las Especias. Caminos hacia Asia que desde mediados del siglo XV fueron controlados y "censurados" por los califas de ciudades como El Cairo o Constantinopla. Quienes cerraron de tal modo el paso a "Las Indias Orientales", que motivan que España y Portugal iniciaran su carrera hacia ellas; a través de Buena Esperanza o por el Atlántico (como realizó primero la Escuela de Sagres, o más tarde, Cristóbal Colón). Siendo así, en 1584, el poco contacto entre China y Europa existente, se habría llevado a cabo a través de Holanda, Portugal y España. Pero sobre todo, a manos de los Jesuitas; que sí estaban establecidos en bases como la de Goa o las de Japón y quienes hubieran recogido fidedignamente el hecho de que la nueva teoría de los temperamentos fuese de origen asiático.
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No volveremos más sobre esta disertación, cuya solución dificilmente vemos, a menos que a través de técnicas (como el Co-14) se llegue a probar la existencia de documentos chinos que en esta fecha contengan la raiz doce de dos. Pero sí recogeremos lo que sobre ello expresábamos en uno de nuestros primeros capítulos, estudiando un artículo de la profesora García-Borrón y escribiendo literalmente (2) : "(...) García-Borrón, afirma también que la afinación moderna (Bien Temperada) se descubrió unos años antes en China; precediendo decenios al mismo sistema, "inventado" en Occidente. Para lo que argumenta que el famoso matemático chino príncipe Zhu Zaiyu (1536-1614) empleó ya en 1584 la fórmula moderna de afinar los instrumentos basada en una progresión geométrica nacida de dividir la octava en doce tonos más o menos exactamente iguales (y que terminó en ecuación resuelta como "raiz 12 de 2": 12Ѵ2).
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"Estos métodos se denominaron afinación Bien Temperada y que se usó fundamentalmente tras J. S. Bach en todo Occidente. Por la que se realizó tras una división progresiva del diapasón partiendo los doce sonidos en base a una proporción igual y aritmética. Continuando la autora exponiendo que el primero en aplicar tal progresión en la distancia y división de los trastes en Europa fué Marín de Mersenne (1588-1648), quien en 1636 desarrolla la ecuación que lo soluciona, pero que mas de cincuenta años antes, esta ya se usaba en China. Por nuestra parte solo añadir que el descubrimiento de la raiz cuadrada de un doceavo no es de Mersenne, sinó que se atribuye en occidente a Simón Stevin (1548-1620), coetáneo del mencionado príncipe chino Zhu Zaiyu. Así mismo se tiene al holandés Stevin como el creador de la división de la octava en doce notas, cuya distancia entre una y otra nace de la aplicación de este número nacido de la raiz cuadrada de un doceavo llamado "Lambda" (raiz 12 de 2 = 1,059463...)".
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"Por su parte, la ecuación de Marin de Mersenne que García-Borrón menciona, no fué en relación a la raiz cuadrada de un doceavo (como escribe), sinó la llamada ley de la cuerda vibrante, que resuelve la frecuencia de vibración en razón al inverso de su longitud y la raiz cuadrada de la sección o densidad lineal de la cuerda. Para completar mas datos, la afinación temperada ya llevaba antes de Stevin estudiándose por muchos científicos y músicos del siglo XVI, entre los que destacó con gran brillo en el intento de su resolución en español Francisco de Salinas (1513-1590). Tanto, que un experto y especialista como es Javier Goldáraz Gaínza en el capítulo IV de su magnífico libro "Afinación y temperamentos históricos", le dedica las siguientes palabras: "Es sorprendente que ningún historiador de la música español haya reivindicado para Salinas, si nó la invención, al menos la primera exposición exacta del temperamento igual. El propio Salinas se atribuye esta primacía ..." en 1577. Tras ello, este interesante autor cita como además de Salinas continuaron con el trabajo para conseguir la temperación igual, Vinzanzo Galilei, y Zarlino hacia 1588; para finalmente lograr realizarla el mencionado Stevin, en 1600.
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De todo ello podemos deducir al menos, que el dato dado por García-Borrón que atribuye a Marín de Mersenne la creación de "Lambda", o lo que es lo mismo, de la afinación Igualmente Temperada (las notas modernas) no es correcto. Realmente, desconocemos si el príncipe chino tuvo contacto con Simón Stevin (o viceversa), y aún menos, si el aristócrata oriental tomó esta división de la octava, de los instrumentos llegados desde el otro lado del Mundo, desarrollando una teoría venida con los nuevos cordófonos occidentales cargados de trastes (que comenzaron a ponerse en los mástiles de todo instrumento de cuerda desde mediados del siglo XVI, que hasta esta época carecieron por lo común de divisiones). O bien, si por el contrario, la fórmula de la raiz doce de 2 viajó desde China a Holanda e Italia (lugar de origen de los Zarlino, Galilei y Stevin). O bien si aquel príncipe participó en todas las corrientes culturales y matemáticas de la época occcidentales, que estudiaban la afinación en el Renacimiento europeo (...) ".
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Por cuanto antes hemos recogido de nuestro Capítulo II (Historia de los Temperamentos), parece claro que la resolución de este "igual templar" se debe a los matemáticos del Renacimiento, aunque es verdad que el primero que llega a definirla claramente fuera Marin de Mersenne. Ilustre fraile que en 1620 llegó a París (tras años impartiendo clases de teología) ingresando en el Convento de la Anunciada, en compañía de personajes como Descartes o Pascal. Con ellos estudió matemáticas, física y música (junto a otras ramas del saber), manteniendo desde entonces una increible correspondencia con los sabios más destacados de toda Europa (entre los que se encontraba Galileo Galilei). Publicando en 1636 su "Harmonía Universal"; un tratado sobre música e instrumentos, que superaba todo lo anteriormente escrito acerca del tema. Llegando a definir en este el valor del semitono como "raiz cuarta de raiz cuadrada; de dos partido por tres, menos raiz cuadrada de dos" (véase abajo expresión matemática). Fracción muy cercana a la que establecía el padre de Galileo Galilei, quien lo definía como 18/17 (con un concepto puramente pitagórico, y que ya aparece entre los intervalos que Ptolomeo recoge en Harmónica) (3) .
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4ѴѴ(2 : 3 - Ѵ2)
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SOBRE ESTAS LINEAS: Arriba, uno de los múltiples grabados de época en el que podemos ver a Galileo Galiei anciano, en una orla y sobre el escudo "de la escalera". Fue este sabio florentino, amigo de correspondencia -y compañero en el saber- de personajes como Kepler y Marín de Mersenne. Siendo el representante más destacado de una élite histórica, que tristemente la Europa del Sur decidió erradicar. No tanto por motivos religiosos, sino como por causas culturales; ya que en paises como la Italia barroca o la España y Portugal de los siglos XVI al XVIII, solo se admitía la opinión autorizada por el poderoso. De lo que quienes más se acercaban y aplaudían al "sistema establecido", eran los que lograban ser oidos y aclamados. Muy por el contario, el que investigaba en solitario, atendiendo a sus razones científicas y manifestando lo que su inteligencia le decía, solía ser perseguido -al menos hasta que se integrase o sucumbiera ante los mandatarios- .
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El caso de Galileo o el de nuestro Miguel Servet (médico aragonés -quizás navarro-, huido al París de la Sorbona); son unos de tantos, entre los miles de aplastados, reprimidos y silenciados a través del miedo o el fuego -con el advenimiento de un clero deseoso de mantenerse en el poder, fomentando la ignorancia entre el pueblo-. Tristemente de esos lodos, tenemos estos barros y a día de hoy se sigue educando a los jóvenes en la "cultura del montárselo"; enseñando que es mejor tener éxito, que conocimientos; dinero, que cultura, y amigos en el poder a seguir el ejemplo de los hombres buenos. En la música vemos este como un caso especialmente grave, en el que la justicia no impera y en nuestros días existen verdaderos genios ocultos que "no llegan a fin de mes". Personajes de enorme valía que tienen que trabajar en lo que pueden, para luego costearse su amor al mundo clásico; algo que les queda como salvación y como afición -entre los que he visto encofradores, haciéndose cargo del hormigón en las obras, que tras ello estudian a diario, logrando una calidad maravillosa en su guitarra o en el piano-.
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Así, desde los años cincuenta, España se tiene y mantiene la élite de la guitarra. Tanto que si hiciéramos un listado de los mejores cincuenta guitarristas del mundo; entre los veinticinco primeros "tocaores" de Flamenco, más de veinte serían españoles; y de los veinticinco de clásico, diez habrían nacido igualmente en nuestro pais. Ello no ocurre con ninguna otra especialidad, ni deporte; aunque lo que ultimamente se considera mejor, es fomentar el fútbol... . De todos modos si dudan de mis palabras bastará con preguntarse quiénes son Angel y Pepe Romero; Manolo Barrueco, Ernesto Bitteti, Ma. Esther Guzmán y tantos y tantos otros, que componen la cumbre de la guitarra mundial (y que permanecen casi olvidados por la nación que les vio nacer).
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ABAJO: Marin Mersenne en un grabado fechado en 1654. Nacido a fines fines del siglo XVI, al Norte de los Apeninos y de los Pirineos; un hecho geográfico que le permitió ser fraile, dedicando su vida a la mística y a Dios -a través del estudio de la matemática, la física, la filosofía y de la música-. Amigo y discípulo de otros tantos filósofos y humanistas religiosos -de la talla de Descartes y de Pascal-. Fue quien finalmente define y descifra el valor del intervalo musical que hasta hoy utilizamos. Número denominado "Lambda", descrito por Mersenne del modo en que unos párrafos más arriba habíamos destacado. Bajo el grabado con su imagen hemos recogido las distancias en una sexta cuerda en la guitarra, igualmente temperada.
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Siendo así, y regresando a la obra de Ptolomeo, hemos visto como los "Modos", "Géneros" o "Tonos" de templar las notas fueron más de un centenar (de los que al menos cincuenta son enumerados en su Libro II, "Harmónica"). Pese a todo -a mi juicio- solo existieron dos fórmulas de hallar la Escala. Como sistemas que realmente regulaban de manera igual el diapasón; técnicas tan sencillas como bien graduadas y que seguramente fueron heredadas por Grecia, de otras civilizaciones que las aplicaban milenios antes. Temperamentos que a mi entender fueron descubiertos en la Mesopotamia más antigua y en el Egipto más anciano. Siendo estos dos que vamos a estudiar los que podemos considerar como verdaderos sistemas de "temperar" (con la "categoría" de método para regular la escala de manera gradual e igual). Modos de hallar las notas, basados simplemente en que dividir o multiplicar los valores por 3/4 -sucesivamente, once veces y partiendo de un tono inicial-.
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Métodos que importaría la Escuela Pitagórica hasta la Hélade (más concretamente a Magna Grecia, donde se establece el maestro de Samos) y que posteriormente debió ser "copiado" por los que siguieron su filosofía. Destacando entre aquellos que lo siguen, Platón; quien -sin citar la procedencia de sus conocimientos- expone en su Timeos que El Creador (demiurgo) había generado el Universo de igual modo a una Escala perfectamente ordenada: Partiéndolo en dos y añadiendo una mitad más, al resto obtenido; es decir multiplicándolo por 1+1/2 -todo lo que es igual a operar con 3/4- (4) . La idea de Platón -en la que él explica la teoría pitagórica del temple- no sabemos si la tomó directamente desde enseñanzas recibidas en el Nilo; o bien si la aprendió entre los muchos escritos que compró a los discípulos del de Samos. Pues bien es sabido que el filósofo ateniense viajó a Egipto para ampliar conocimientos, donde quizás pudo estudiar las reglas matemáticas de afinar instrumentos. Aunque los historiadores se inclinan a pensar -a juzgar por los hechos- que el origen de esta parte de la "sabiduría platónica" y de su teoría sobre los temperamentos, procede de su viaje a tierras cercanas al Sur de Italia. Donde fundamentalmente adquiere los textos de Filolao; seguidor de Pitágoras, que tras morir legó sus escritos a sus familiares (quienes los vendieron al referido al autor del Timaíos).
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Sea como fuere, en el Timeos se describe perfectamente el único método de templar que puede considerarse gradualmente exacto y equilibrado (al menos hasta la aparición de los sistemas renacentistas como el de Zarlino o Salinas). Siendo este, hallar la Octava y cada Nota en base 1+1/2. Todo lo que se realiza comunmente multiplicando -o bien dividiendo- los tonos por 3/4. Una razón de "tres cuartos" que -como la lógica expresa-, al ser la mitad de "uno y medio"; actúa como método gradual y más simple que aplicar el 1+1/2 (ya que en ese caso los tonos cada vez se situarían en una Escala más alta). Pese a que el resultado final sea el mismo, puesto que 660 milímetros multiplicados por 1,5 resultan 990 mm.; y la nota que surge es la misma que el "MI" de 660 mm. por 3/4 -otro "LA" de 495 mm. (la mitad de 990)-. De tal modo, vamos a estudiar los métodos referidos: Primero, hallar la escala multiplicando por 4/3 y -luego- dividiendo por la misma cifra (lo que es igual a multiplicar por 3/4). Sistemas de afinación cuyo origen debemos remontar a los tiempos más remotos y seguramente a la época de los Ziggurats o de las Pirámides; un momento histórico en la cumbre de los conocimientos y en el que la música y la matemática fueron tan sagradas, como la arquitectura o la astronomía. .
SOBRE ESTAS LINEAS: Imagen de un diapasón de la guitarra moderna utilizado nuevamente como monocordo en su cuerda sexta -cuyo valor tocada al aire sabemos que es "MI" con 660 milímetros y 82,4 Hertzios-. En ella, otra vez recogemos el método de ir templando antiguo POR QUINTAS; "cortando" o pulsando la cuerda inicial, multiplicando cada vez su valor por 3/4. En linea roja vemos el "MI" (660 centímetros); que por 3/4 se convierte en un "LA" (en azul). De nuevo, el "LA" (azul), al multiplicarlo por 3/4 se hace un "RE" que marcamos en amarillo. Tras ello, y en la parte alta de la guitarra; de nuevo el "RE", que al multiplicarlo esta vez por 3/4 y duplicarlo, es un "SOL" (marcado en rojo y negro). Arriba del todo y de nuevo en azul, el "SOL", que al multiplicarlo por 3/4 se convierte en un "DO". Sobre el mástil y junto a los trastes, podemos leer la situación en que quedarían las notas, que es muy aproximada a la de la afinación moderna.
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BAJO ESTAS LINEAS: La misma imagen del diapasón de guitarra usado como monocordo en su cuerda sexta -"MI" de 660 milímetros y 82,4 Hertzios-. Esta vez en temperamento de CUARTAS. Es decir, multiplicando por 4/3; que es evidentemente igual a dividir por 3/4 -o fraccionar por Quintas-. De nuevo, partiendo del "MI" de la sexta, al operar por 4/3 la primera nota que surge es un "SI"; que al reducir a su mtiad queda en el mástil con un valor de 440 mm. (marcado en azul). Tono que al volver a multiplicarlo por 4/3 se convierte en un "FA#" (en blanco). Nota que al ser multiplicada a su vez por 4/3 pasa a convertirse en "DO#" (en rosa). Así, llegaremos a establecer los siete tonos y cinco semitonos, tras once operaciones -en las que ha de rectificarse reduciendo a la mitad el valor cada tres veces, para situar las notas a igual Escala-. Se trata simplemente del modo inverso al anteriormente usado para hallar la Octava; la proporción entre notas que van surgiendo se denomina de "CUARTAS" (aunque no mantengan una distancia de cuatro).
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C) EL TEMPERAMENTO PITAGÓRICO, POR QUINTAS (como primer sistema de templar):
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Tal como expresamos, ciertamente, no sabemos de dónde ni cómo adoptó Pitágoras esta fórmula al que su secta denominaba "el dogma". Un medio de afinar y concebir la música que no los pitagóricos no permitían divulgar más que entre los suyos; prohibiendo escribirlo -incluso bajo amenaza de pena capital (tal como hacían lo sacerdotes del Nilo y los mesopotamios, con sus conocimientos)-. Todo hace suponer que lo aprendería durante su estancia en Egipto -o en Babilonia- al tenerse por cierto que el sabio de Samos vivió en un templo de Tebas (actual Luxor). Donde ingresó como novicio en un santuario del Sol. Del cual "salió" a ser raptardo Cambises, quien lo llevaría hasta la capital del Tigris y el Eúfrates -junto a algunos de los sacerdotes egipcios también capturados-. Considerándose real en la vida de Pitágoras, que los motivos antes referidos le llevaron a vivir en el Nilo y en Mesopotamia largos años -entre los magos, astrólogos y matemáticos-. Hasta ser liberado; regresando así a su Hélade natal, para fundar su "secta".
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Por cuanto relatamos, el método de hallar la Escala que enseñó a sus discípulos, debemos considerarlo nilota o babilonio (al igual que su teorema, basado en la triangulación -figura geométrica faraónica por antonomasia-). Aunque más bien habríamos que creer que se trató de un sistema utilizado en ambas civilizaciones, desde tiempos remotísimos. Una afirmación que me atrevo a realizar tras observar detenidamente esculturas y pinturas datadas en el segundo o en el tercer milenio a.C., donde se encuentran instrumentos musicales con gran número de trastes y que vemos proporcionados sobre doce Tonos (véase anteriores imágenes). Pues como ya hemos dicho, la fórmula que alcanza las doce notas es la primera y más natural; originada simplemente al dividir una cuerda por su mitad y volverla a templar de un mismo modos (once veces). Obtenido simplemente por ese procedimiento de 1+1/2, los doce que conocemos (siete enteros y siete medios -o intervalos menores-).
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Tras lo antes dicho y para que no halla dudas, explicaremos de nuevo como se lleva a cabo una escala pitagórica clásica por Quintas (también llamada cromática). Que simplemente se calcula estableciendo la porción de cuerda que ha vibrado -en cada ocasión- y pulsándola en el medio; sabiendo que la nota tocada en el primer caso y la que suena en su centro, es la misma. Tras ello se volverá a pulsar en medio, esta otra ocasion en la zona de cuerda que vibró la segunda vez; sabiendo de nuevo que allí habrá una tercera nota igual a las de antes y que multiplicando esa última distancia por tres, encontraremos un tono siguiente y distinto.
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De lo que tomando como inicio el "MI" de la 6º cuerda en la guitarra al aire (que vale 82,406 Herzios), llegaremos a establecer la escala pitagórica por QUINTAS de esta manera:
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El orden en que vimos que aparecen es:"MI"–"LA"–"RE"–"SOL"–"DO"–"FA"–"LA#"–"RE#"–"SOL#"–"DO#"–"FA#"–"SI" (ídem) MI etc.
Multiplica por QUINTAS (3/4):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI
NOTA FINAL: (660:2) = 330mm. // (82,4 · 2) = 164,81 Hertzios = MI
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Tal como podemos ver, las notas se ajustan bastante a nuestra escala moderna, tanto que si las comparamos prácticamente apenas hay diferencias. Hemos incluido como "opción decimosegunda", la llamada Quinta del Lobo, que se produce cuando en vez de acabar la Escala tras once multiplicaciones e iniciar una segunda Octava en un punto igual a la primera nota, dividida por dos. Seguimos con el mismo sistema y multiplicamos en una decimosegunda ocasión; todo lo que logra un despropósito, pues en la siguiente Escala, el Tono primero ("MI" en este caso) ya tiene un desajuste importante, tanto que se denomina "del lobo" por cuanto ladra o gime.
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Para una mejor comprensión de sus notas y de cómo se han de entender, las ponemos en órden; rogando al lector que observe cómo surgieron en base pentagonal, por lo que la numeración es esta que deja cinco tonos de distancia, lo que hace se denominen "QUINTAS" (en razón de como van saliendo):
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NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE
NOTA FINAL: (660/2) = 330mm. ............//............. 164,81 Hertzios = MI
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SOBRE ESTAS LINEAS: Grabado del siglo XVIII de Mitilene, patria de los músicos y los aedas, donde algunos dicen que nació el famosísimo Terpandro de Lesbos (aunque según otros, vino al Mundo en Antisas). Este arpista creó un sistema de afinación desconocido en la Hélade, tanto que le valió una denuncia ante las autoridades. Aunque a mi juicio, ese método de templar fue igual a uno de los del tipo pitagórico, muy anterior e importando desde Fenicia o Egipto y ya utilizado en el siglo VII a.C. en Lesbos. Bajo el bello grabado en imagen, hemos situado la relación de temperamentos pitagóricos clásicos; también llamado "por QUINTAS" o cromático que se halla -como sabemos- multiplicando por 4/3.
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ABAJO: Imagen de una maravillosa escultura del alemán J.H.Danneker, en la que "figura" Safo con su lira y en el lecho. Esta poetisa pudo ser uno de los símbolos de las artes temporales de Grecia, importadas desde Egipto o de Fenicia; habida cuenta se tuvo como la primera tañedora de lira y aeda. Profesiones que entre los pueblos indoeuropeos estaban vetadas a las mujeres; existiendo para esta función la figura del bardo o el rapsoda (masculino, cuya misión principal era crear piezas de carácter épico y religioso). Muy por el contrario, en Egipto, en Fenicia (y en Mesopotamia); fueron fundamentalmente las mujeres quienes se ejercitaban en la música -sobre todo en la danza-. Un arte que llevaban a cabo coros de tañedoras, bailarinas y cantantes; muchas de ellas pertenecientes a templos o a barrios, que organizaban fiestas religiosas, capitaneadas por féminas -quienes a modo de procesiones, encabezaban estos jolgorios; bailando, cantando o tocando sus instrumentos-.
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Por cuanto considero que pertenecería Safo a un tipo de artistas prehelenos, nacidos desde la influencia fenicia -o de la egipcia llegada directamente desde el Nilo al Egeo-. Seguramente promovida por la importante colonización púnica, que se asienta durante los siglos anteriores al VIII a.C., en gran parte de los mares de Grecia. Una aculturación procedente de la tierras canaaneas, como herencia directa del mundo micénico, refugiado en esa zona del Creciente Fértil (hoy llamada Oriente Medio). Un influjo cultural púnico, en ocasiones olvidado, pero de tal magnitud en el Egeo, que el mismo alfabeto griego desciende plenamente del fenicio (en mayoría de sus signos, y principalmente en su forma de concebir la escritura). Todo lo que puede hacernos suponer que Safo fue una de estas artistas relacionada con las de Egipto, Tiro y Sidón; de algún modo cercana a las "puellae gaditanas", pero sobre todo a las sacerdotisas de los templos púnicos y faraónicos -presididos por una patrona de las artes como Hathor o Astarté-.
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Cumpliendo una función considerada "oficio de hombres" entre los dorios; quienes -como sabemos- tenían grandes arraigos indoeuropeos y por lo tanto veían con mejores ojos a la mujer en el gineceo, que en la academia. Todo ello, junto al valor de la poesía de Safo; debió de conferirle un prestigio tal, que tras la expansión y dominio dorio en el Egeo, aquel pueblo más atrasado, debió intentar degradar y cubrir de sombras a la famosa aeda de Lesbos. Quien -a mi juicio- debió ser tan solo representante de un movimiento con grandes influencias fenicias o egipcio-babilónicas, sin un comportamiento sexual extraño, o ajeno a su época. Pues hasta estas islas de la costa de Asia Menor -junto a la de Lesbos, que la humanidad ha querido hacer famosa por una "bobada"-; llegarían primeramente los sistemas de afinación neohititas o púnicos, de inspiración egipcia y mesopotámica (siglos antes a Pitágoras). Métodos de templar las cuerdas, que como la lógica demuestra, se basarían en la simple técnica de partir (pulsar) la cuerda en su medio; y trás ello, otra vez de nuevo en la mitad (multiplicando así por 3/4 o por 4/3; y temperando por Quintas o Cuartas).
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Para finalizar estos párrafos diremos que Terpandro de Lesbos; hombre y como tal autorizado para ser músico y poeta -entre los griegos-. Perteneció a la generación de Safo y quizás se formó con ella o en las escuelas que por entonces impartían sus conocimientos en la isla (hablamos de comienzos del siglo VII a.C.). Algunos le tienen como creador del sistema enarmónico; pues sus métodos de afinación le generaron tales problemas, que la leyenda narra como Terpandro fue amonestado, juzgado y hasta condenado a prisión, por haber cambiado los temples de las cuerdas (llegando a decirse que pidieron la pena capital, por alterar los Modos clásicos al introducir nuevos tonos). Sea como fuere, estaba autorizado para actuar en Esparta logrando apaciguarles -a diferencia de Safo, que fue degradada por la "mentalidad del gineceo"-. Todo lo que indica que su figura es puramente la del bardo dorio y tan legendaria como la de Homero (el poeta ciego que vivió casi cinco siglos después de suceder la guerra de Troya...) .
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Su inexistencia como figura histórica y su sentido como símbolo de los músicos de Lesbos se muestra hasta en el nombre; ya que "Terp-andros" significa "el deleitador de hombres". Lo que nos refiere, se trata de un emblema legendario en el que probablemente refiriese a los aedos de Lesbos, y no tanto de un personaje (propiamante). Sin poderse determinar bien si fue un precursor de Pitágoras, o de alguno de sus maestros y antecesores más directos -aunque se tiene incluso por discípulo y pitagórico, pese a que el samio naciera un siglo despúes que Terpandros-. Sea como fuere se tiene como el creador del "heptacordio", un instrumento que en el siglo VII a.C. estaba plenamente extendido por todo el Mediterráneo; tanto que en nuestro pasado artículo lo recogíamos plasmado en un jarro etrusco. Algo que indica como realmente la afinación de siete cuerdas atribuida a Terpandro, no pudo ser la inventada ni por él -ni siquiera, el temperamento de Lesbos en esta época, pues ya se practicaba en la Italia tirrénica-. Por cuanto el método al que se refiere la leyenda -iniciado por Terpandros- ha de ser mucho más rico en notas y complejo; tanto como para ser denunciado entre los griegos al usar tonos nuevos y desconocidos. Bajo estas líneas recogemos la preciosa escultura de Safo y bajo ella, una relación de Notas en una ESCALA HALLADA POR CUARTAS (multiplicando por 4/3).
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D) EL TEMPERAMENTO "PITAGÓRICO" POR CUARTAS (un sistema inverso de templar):
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Frente al anterior método (tan exacto como equilibrado) debió nacer otro procedimiento casi igual, pero inverso; consistente simplemente en dividir por 3/4 (o multiplicar por 4/3, que es lo mismo). Es lo que se denominó Cuartas, aunque en realidad deja siete notas de espacio entre las que van surgiendo (muy distinto al anterior, que vimos los Tonos aparecen en un orden de cinco = Quintas). En consecuencia, creemos que en este nuevo caso debió llamarse "séptimas" a esta sucesión; ya que surge una Nota cada "siete", en cada caso. Método que se confirmaría como medio de templar por Cuartas, simplemente basado en multiplicar por 4/3; todo lo que Ptolomeo considera un "sistema perfecto". Tanto como para creer que solo hallando los siete primeros tonos -por este procedimiento-, ya se completaría la Octava perfecta (sin necesitar progresar más, ni incluirse semitonos).
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El referido método de multiplicar por 4/3 (o dividir por 3/4) produce los siguientes resultados; apareciendo en orden inverso las notas. Siendo el listado conforme surgen: "MI", "SI", FA#", "DO#", "SOL#", "RE#", "LA#", "FA", "DO", "SOL", "RE", "LA", (MI2).
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Multiplicando por CUARTAS (4/3) -o dividir por 3/4-:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,406 hertzios = MI
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA
NOTA INICIAL:.(660/2) 330 mm. ..............//.......... 164,8 hertzios = MI
En este caso la Quinta del Lobo es "MI" ficticio al multiplicar 12 veces 4/3:
12-(488,33 · 4/3) = 651,11 mm //(111,37 : 4/3 ) = 148,49Hz //Mi falso o del Lobo
La anterior escala; bien ordenada, resulta:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................. 82,406 hertzios = MI
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
NOTA INICIAL:.(660/2) 330 mm. ..............//.......... 164,8 hertzios = MI
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Acerca de esta afinación diremos que muy probablemente fuera la que usaban en el Egeo desde tiempos inmemoriales -quedando como sistema propio en Lesbos y referido por los historiadores-. Tratándose de una versión diferente a la "clásica" (cromática por Quintas) que debió usarse en Egipto o en Mesopotamia. Seguramente importada hasta Fenicia y llegada las islas del Egeo ya en los años de Micenas. Pues que -en verdad- simplemente calcular en sentido inverso; partiendo la cuerda por (1+1/2), consecutivamente, hasta fraccionarla así once veces. Considero que pudo ser el sistema del que habla la historia de Terpandro, cuando narra la leyenda que pacificó Esparta gracias a su lira y que tras ganar el primer premio -en las fiestas del Apolo Cárneo (676 a. C.)-, fundó en esta ciudad una academia de tañedores. Donde se dice que enseñaba dos notas nuevas -descubiertas por él-: "la cuarta y la séptima"; ampliando así la escala conocida hasta entonces. Por lo que fue llevado ante las autoridades, acusado de haber modificado los "Modos y Tonos" con su cítara. Tanto que las cuerdas producían sonidos desconocidos en Esparta; hecho por el que según unos fue condenado a cárcel, mientras otros mencionan que solo fue penado con una multa (aunque hay quienes refieren que llegaron a pedirle pena capital, por su afrenta al "arte establecido").
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Ciertamente esta mención de haber encontrado la "Cuarta y la Séptima" quizás refiere a que Terpandro (o los citaristas de Lesbos) afinaban por "Cuartas" todo lo que lleva a que las notas surjan en "Séptimas" -tal como arriba hemos visto-. Siendo así, también se entendería que se tuviera a este músico por el creador de la Escala de siete notas, ya que a través de la Cuarta (multiplicando por 2/3 ó bien por 4/3) se obtienen los primeros siete tonos de una manera tan "justa", que Ptolomeo lo considera el "sistema perfecto" de hallarlas. Por todo lo que creo -personalmente- que la afinación de Terpandro no trataría realmente de hallar siete notas, sinó que cuanto nos narra su leyenda fue más bien el modo de encontrar "cuartas y séptimas"; tal como lo hemos visto en el ejemplo sobre estos párrafos -donde se puede comprobar perfectamente como nacen los tonos de siete en siete, aplicando el sistema de Cuartas-.
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Ello, además explicaría por qué se considera que fue el posible inventor de la afinación "enarmónica" que -como estudiamos a continuación- tiene plena relación con el anterior caso. Existiendo la posibilidad de que el famoso pleito y las siete notas (cuando Terpandro se enfrenta al senado de Esparta por haber añadido una "cuarta y una séptima cuerda") se refiriese a este modo, cuya enarmonía se basa en el mismo principio: Multiplicar por 4/3 (tal como en el siguiente epígrafe veremos). Por lo demás parece absurdo considerar que hasta Terpandro no hubo instrumentos más que pentafónicos (de cinco notas) y que él inventó la heptafonía; cuando en Egipto y Mesopotamia del tercer milenio a.C. vemos arpas o panduras, con docenas de cuerdas y de trastes. En referencia a ello, en artículo anterior ya incluimos la fotografía de un jarro etrusco fechado hacia el 670 a.C. y con un heptacordio -no pudiendo admitirse que Etruria estuviera por delante del Egeo en materia artística...- .
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SOBRE ESTAS LINEAS: De nuevo otra fotografía del mencionado jarro etrusco hallado en Cerveteri, fechado hacia el 670 a.C. y actualmente propiedad del Martin von Wagner Museum (de Wurzburg) -al que agradecemos nos permita divulgar la imagen que nos ha proporcionado la Sra.Tina Frigeiro (investigadora de Cerdeña, que colabora junto al profesor de Melis)-. Como podemos ver, el citarista tañe un formix de siete cuerdas, pero del que a su vez sale un "apéndice" o "cola", que quizás fuera una "pipeta de carga". Pudiéndose tratar de un instrumento combinado, en el que hubiera cuerdas y tubos; teniendo esa flauta o "pipa" -que vemos en la parte posterior- la función de llenar una bolsa que insuflase aire, luego impulsado (quizás) por el simple peso de la lira contra el cuerpo. Dando así tonos, abriendo válvulas o apretando orificios; bien con la mano izquierda (que tiene sobre las cuerdas), o bien con la derecha -que quizás estuviera sobre una flauta o roncón-. Otra de las posibilidades, es que esta lengüeta actuase como un "pedal" cambiando los tonos; aumentando y bajando la tensión del mástil y con ello haciendo de las siete cuerdas, al menos catorce notas.
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Dejando al margen el "heptacordio" etrusco que comentamos, que no parece una simple lira (habida cuenta su tamaño y los ingenios que salen desde su caja). De lo que no nos puede caber la menor duda es de que se trata de un instrumento de siete notas. Todo lo cual deja en evidencia que el famoso pleito de Terpandro por haber introducido en la lira una cuarta y séptima cuerdas (hacia el año 625 a.C.). Es una leyenda que narra una trama que nada tiene que ver con la heptafonía -ni mucho menos con la pentatonía, como se llega a decir-. De tal modo, y dado que el influjo griego de este jarro etrusco es manifiesto; tratándose de una pieza muy cercana al arte Corintio de misma época -aunque más burdo y sencillo-. Todo ello implica que por su estilo e inspiración, debemos considerarla de origen greco-egeo, al igual que la "lira" que en ella aparece. Siendo así y existiendo en la Hélade cítaras de siete cuerdas desde tiempos inmemoriales, lo más lógico es pensar que la famosa afinación no admitida y por la que fue juzgado Terpandro, se trataba de un procedimiento de Cuartas, hallando Séptimas y cambiando el Modo Clásico (que hemos visto era multiplicando por 3/4). Pudiendo haber sido el modo de Lesbos, este anteriormente estudiado (de Cuartas); o bien el enarmónico, que a continuación analizamos.
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ABAJO: Imagen de un mapa de las islas del Egeo, publicado por Abraham Ortelius en 1598 (con un grabado de Christopher Platin). Entre los piélagos se distinguen claramente como primeras atolones: Lesbos y Samos; islas de las que procede gran parte de la teoría y filosofía música Griega. Lugares muy unidos al mundo lidio-fenicio y micenio (por su situación en la Jonia -aunque lesbos sea eólica-). Fue esta zona costera de Anatolia, la que más conservaría el influjo creto-chipriota y púnico. Por todo ello podemos considerar las culturas que se desarrollan en ese área, como herederas del mundo neohitita (frigio) y micenio (cretense); pero sobre todo influidas por Egipto y por Fenicia -distando de Tiro y Sidón apenas unas jornadas en barco-. Tanto es así que la escuela de astrónomos samios se formó en Alejandría -en su biblioteca-, algo similar a lo que realizó el mismo Pitágoras (del que se sabe obtuvo gran parte de sus conocimientos estudiando primero en Canaán y -mas tarde- en el Nilo y en Babilonia). Bajo el mapa antiguo de estas islas egeas, hemos añadido el listado de la afinación enarmónica (en milímetros y en hertzios, sobre la cuerda sexta de la guitarra).
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D) EL MÉTODO COMBINADO, LLAMADO ENARMÓNICO Y ATRIBUIDO A TERPANDRO DE LESBOS:
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Se cree fuera Terpandro de Lesbos el iniciador de este tipo de afinación, debiendo pensarse que este sistema (tan cercano al usado por los pitagóricos) es muy posterior al de Pitágoras -al unir dos procesos y estar más depurado-. Ello supone, que la fórmula de Quintas y Cuartas (que enseñaban los pitagóricos) es anterior o más antigua, todo lo que parece evidente al ser más simple y por estar calculada con un procedimiento mucho más sencillo. Surgiendo un problema al reflexionar sobre Terpandro, que precede al samio en casi siglo y medio; todo lo que evidencia que estos métodos de temperar eran simples técnicas importadas hasta el Egeo, desde otras culturas y de lejanas tierras. Como estilos o formas de ver la música, que quizás habían pervivido milenios en civilizaciones muy anteriores, ya que por su sencillez pudieron haber sido inventadas en la "noche de los tiempos".
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Tanta es la relación de los temperamentos antes analizados y el que estudiaremos en este epígrafe, que muchos historiadores consideran a Terpandro un pitagórico y el iniciador del enarmonismo. Un hecho que no puede ser cierto, pues ello contiene un anacronismo de más de un siglo y medio. Ya que Pitágoras se supone nace en Samos hacia el 550 a.C.; mientras Terpandro lo hizo en Antisas, unos ciento cincuenta años antes. Pese a ello, en el error de catalogar al de Lesbos como pitagórico es tan común como comprensible; tanto que nosotros mismos hemos "caido" en definirlo así, ya que la afinación enarmónica desciende de la de Pitágoras. Ello porque hubieron de ser anteriores las fórmulas simples de Quintas y Cuartas (antes vistas), a esta otra que une ambos parámetros, creando una fórmula bastante más compleja (y de mayor armonía).
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Como sabemos, consistían los procedimientos clásicos -pitagóricos- en multiplicar o dividir por 3/4 once veces, hallando las Quintas y Cuartas. Pero este tercero llamado enarmónico, mezclaba los dos procesos. Algo que lleva a pensar fue una "fusión" esas de "dos formas" anteriores. Quizás consistiendo en un método fenicio que uniera el egipcio y el mesopotamio; o simplemente de un modo egeo, que igualmente integrase dos sentidos diferentes de templar (aunque muy parecidos: Por Cuartas y Quintas). La diferencia entre los tres métodos es muy fácil de comprender, ya que el pitagórico clásico consistía en multiplicar sucesivamente por 3/4 (hallando las Quintas) y el otro (de Cuartas), dividir un mismo número de veces por 3/4. Mientras el enarmónico -atribuido a Terpandro- es una combinación de ambos. De tal manera, tras buscar Quintas cinco veces (multiplicando por 3/4), regresa al punto de partida (el "MI" inicial -en este caso-) desde donde divide por 3/4 en otras seis ocasiones; obteniendo seis Cuartas. Todo ello, genera primero cinco Quintas, que junto al Tono inicial conforman seis notas; a las que se suman las otras seis Cuartas en sentido inverso. Doce tonos que conforman el diapasón del siguiente modo:
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Primero: Multiplica por QUINTAS (3/4):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,5 hertzios = MI
1a- (660 · 3/4) = 495 mm......... // ......... (82,5 : 3/4) = 110 Hz. // = LA
2a- (495 · 3/4) = 371,25 mm. .. //.,,,,, (110 : 3/4) = 146,66... Hz // = RE
3a- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. //(146,6 : 3/4) :2 = 97,77 Hz// = SOL
4a- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // .. (97,77 : 3/4) = 130,37 Hz// = DO
5a- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,37 : 3/4) ·2 = 86,91 Hz// = FA
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Después: Multiplica por CUARTAS (4/3):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
Carece de posibilidad de Quinta del Lobo, lo cual evidencia la perfección que tiene.
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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EL RESULTADO DE ESTAS NOTAS, UNA VEZ ORDENADAS ES MUY ARMÓNICO Y QUIZÁS EL QUE MÁS SE ACERCA AL IGUALMENTE REGULADO (EL MODERNO). SIENDO SU RELACIÓN DE TONOS ORDENADOS:
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//........................ 82,5 hertzios = MI
5a- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,37 : 3/4) ·2 = 86,91 Hz// = FA
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3a- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. //(146,6 : 3/4) :2 = 97,77 Hz// = SOL
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
1a- (660 · 3/4) = 495 mm......... // ........... (82,5 : 3/4) = 110 Hz. // = LA
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
4a- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // .. (97,77 : 3/4) = 130,37 Hz// = DO
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
2a- (495 · 3/4) = 371,25 mm. .. //.,,,,, (110 : 3/4) = 146,66... Hz // = RE
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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Sin lugar a dudas, parece que pudo ser este el método de Terpandro, pues como vemos reduce en el segundo caso la escala a diatonismo puro, dejando el diapasón en dos secciones de seis notas y diferenciándose todas en un tono completo. Siendo así, comprende una Octava de siete Tonos claros y primeros que se correspondería con los que se dice inventó el de Lesbos y que se trataría de las últimas seis "Cuartas". Seis sonidos que unidos al tono inicial, darían una Escala con estos valores que a continuación recogemos (en su orden, de menor a mayor):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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Se corresponden estos intervalos a los que Ptolomeo considera como "sistema perfecto" basados en un sucesión de Cuartas Justas (en multiplicar por 4/3) y desde ello procedería ya un tipo de escalas de ocho notas, absolutamente definida y con un pentafonismo perfectamente armónico. Todo lo cual a mi juicio hubo de generar los distintos sistemas griegos de templar, con Octavas de siete notas (tal como hemos visto) y que olvidarían el método pitagórico de doce y con semitonos. Medios tonos que para Ptolomeo y muchos de los teóricos de la armonía griegos y romanos debían erradicarse (dado que impedían a la nota Mese, que fuera justa y distinta ... -según afirmaba el alejandrino; sin realmente poder dar mayor justificación a esta "peregrina idea" de prescindir de los semitonos-). Siendo así, pasamos ya al siguiente epígrafe en el que estudiaremos el problema de las escalas griegas de ocho notas (la Octava), tal como Ptlomeo y otros tantos la exponen y plantean.
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ARRIBA: En el centro, la portada de mi pequeño estudio sobre temperamentos presentado y publicado hace unos seis años por la Fundación Joaquín Díaz. Junto a esta, las diferentes afinaciones; de derecha a izquierda y de arriba, abajo: El temperamento moderno (con igual intervalo entre notas). A su lado el sistema de Terpandro o enarmónico. Debajo, la pitagórica por Quintas, conocido como método clásico; y finalmente, el temperamento por Cuartas, dividiendo por 3/4. En el cuadro podremos comparar la cercanía de todos los valores.
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ABAJO: Grabado de una de las páginas de la HARMONÍA UNIVERSAL, de Marin Mersenne (1639), en este vemos una "sordelina", llamada "museta", instrumento italiano que divulgó en este tiempo el fabricante de ingenios musicales Michele Todini (coetáneo de Mersenne). Quien situaba al mismo Polifemo -al que Ovidio representa tocando una flauta de pan para atraer a Galatea- sentado en una roca tocando la sordelina. Extraña gaita del siglo XVII, italiana, con teclado y un fuelle a modo de un acordeón; que se hizo común entre los músicos no profesionales italianos. La sordelina de Todini creemos que se relacionaría con la posible gaita que esconde el "heptacordio" del museo Wagner (en imagen arriba), pues lleva lo que se denomina "roncón"; que se trata de un tubo (un "drone" bajo, con un sonido permanente que actúa armonizando continuadamente). Por su parte diremos, que la supuesta innovación técnica de Michele Todini fue incluirle un sistema de teclado, que le convertía practicamente en un órgano portátil (para más información ver: http://luxaeterna-musik.blogspot.com.es/2010/01/el-clavicordio-de-oro-de-michele-todini.html. )
ABAJO: Grabado de una de las páginas de la HARMONÍA UNIVERSAL, de Marin Mersenne (1639), en este vemos una "sordelina", llamada "museta", instrumento italiano que divulgó en este tiempo el fabricante de ingenios musicales Michele Todini (coetáneo de Mersenne). Quien situaba al mismo Polifemo -al que Ovidio representa tocando una flauta de pan para atraer a Galatea- sentado en una roca tocando la sordelina. Extraña gaita del siglo XVII, italiana, con teclado y un fuelle a modo de un acordeón; que se hizo común entre los músicos no profesionales italianos. La sordelina de Todini creemos que se relacionaría con la posible gaita que esconde el "heptacordio" del museo Wagner (en imagen arriba), pues lleva lo que se denomina "roncón"; que se trata de un tubo (un "drone" bajo, con un sonido permanente que actúa armonizando continuadamente). Por su parte diremos, que la supuesta innovación técnica de Michele Todini fue incluirle un sistema de teclado, que le convertía practicamente en un órgano portátil (para más información ver: http://luxaeterna-musik.blogspot.com.es/2010/01/el-clavicordio-de-oro-de-michele-todini.html. )
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Junto a la sordelina de Mersenne hemos incluido los valores de las siete notas hallados por Cuartas -descendentes- en el sistema enarmónico. Como podemos ver, son muchos de ellos "sostenidos" -en nuestros valores- y se encuentran separados la mayoría de ellos, por un tono completo; tras hallarlos dividiendo por 3/4 -sucesivamente y seis veces-. Resultando una escala casi perfectamente diatónica, cuyos intervalos entre las notas son de un tono entero a excepción de dos: Entre el "LA#" y el "SI" y entre el "RE#" y el "MI". Estas dos notas (semitonal e inicial), son las que Ptolomeo llama "MESE" ("MI") y "NETE" ("SI"), de las que depende la igualdad de la escala diatónica. De tal modo, el alejandrino niega el semitono para que todas tengan una igual longitud, intentando perfeccionar la Octava que podemos ver en este resultado por Cuartas; donde los intervalos son 9/8, menos en el caso de "SI" y "MI", que tienen con su anterior nota 256/243. Una fracción que analizada, veremos se corresponde a 2 elevado a la octava, partido por 3 elevado a la quinta (28 : 35)
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Lo que hemos explicado nos hace comprender el modo de ver la Octava por autores de la época de Ptolomeo, que la concebían solo de siete notas y prescindiendo del medio-tono (procurando todos los intervalos exactos, y pretendiendo hacer lo que se logró con Lambda, pero en una Escala de siete notas). Ello supone buscar ajustes por doquier, para que este sistema diatónico encaje o se ajuste; cálculos entre los cuales destacaba, comenzar la Octava desde una nota distinta; ya que el resultado será muy diferente -tal como vemos a continuación-.
Junto a la sordelina de Mersenne hemos incluido los valores de las siete notas hallados por Cuartas -descendentes- en el sistema enarmónico. Como podemos ver, son muchos de ellos "sostenidos" -en nuestros valores- y se encuentran separados la mayoría de ellos, por un tono completo; tras hallarlos dividiendo por 3/4 -sucesivamente y seis veces-. Resultando una escala casi perfectamente diatónica, cuyos intervalos entre las notas son de un tono entero a excepción de dos: Entre el "LA#" y el "SI" y entre el "RE#" y el "MI". Estas dos notas (semitonal e inicial), son las que Ptolomeo llama "MESE" ("MI") y "NETE" ("SI"), de las que depende la igualdad de la escala diatónica. De tal modo, el alejandrino niega el semitono para que todas tengan una igual longitud, intentando perfeccionar la Octava que podemos ver en este resultado por Cuartas; donde los intervalos son 9/8, menos en el caso de "SI" y "MI", que tienen con su anterior nota 256/243. Una fracción que analizada, veremos se corresponde a 2 elevado a la octava, partido por 3 elevado a la quinta (28 : 35)
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Lo que hemos explicado nos hace comprender el modo de ver la Octava por autores de la época de Ptolomeo, que la concebían solo de siete notas y prescindiendo del medio-tono (procurando todos los intervalos exactos, y pretendiendo hacer lo que se logró con Lambda, pero en una Escala de siete notas). Ello supone buscar ajustes por doquier, para que este sistema diatónico encaje o se ajuste; cálculos entre los cuales destacaba, comenzar la Octava desde una nota distinta; ya que el resultado será muy diferente -tal como vemos a continuación-.
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D) LAS SIETE NOTAS GRIEGAS HALLADAS POR QUINTAS (ASCENDENTES) O POR CUARTAS (DESCENDENTES):
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Siendo así, el primer paso del enarmonismo, multiplicando por 4/3 seis veces -que he transcrito desde el "MI" de la sexta cuerda (ver imagen arriba)- sería ya un "sistema perfecto" para los teóricos que preconizaban estas ideas, sin precisarse hallar más tonos. Pese a ello, tendrían que intentar igualar los desarreglos que se producen, buscando otros modo más simples de hallar esta Escala de siete notas enteras. Probando primero hacerlo a través de Quintas ascendentes, es decir: Multiplicando por 3/4 -lo que desde el "MI" de la sexta en la guitarra resulta obtener las siete primeras notas de igual forma al método pitagórico clásico-. Es decir:
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Multiplicar por QUINTAS seis veces x (3/4):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
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LO QUE PUESTO EN ORDEN SERÍA:
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
NOTA final:...660/2 = 330 mm // (82,406 · 2) = 164,812 Hertzios = MI
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Demuestra lo expuesto, junto a la lista arriba incluida, que con este sistema se consigue una sucesión de siete notas enteras más o menos bien reguladas (una escala diatónica igual a la de Cuartas). Teniendo como error tan solo en que tras el "LA" viene un semitono "LA#", faltando llegar al "SI" una distancia más equitativamente repartida. Pese a ello es igual a la que guardan en la Octava por Cuartas. Siendo los intervalos existentes los siguientes:
Entre el "MI" y "FA" :........ 256/243 = (28 · 35 )
Entre el "FA" y "SOL": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "SOL" y "LA": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "SOL" y "LA": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "LA" y "LA#": ...... 256/243 = (28 · 35 )
Entre el "LA#" y "DO": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "DO" y "RE": ......... 1,125 = 9/8
Entre el "RE" y "MI2": ......... 1,125 = 9/8
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Pese a ello, y como las Escalas varían conforme la nota desde la cual se comienza; vamos a probar otra Octava obtenida por Cuartas (ascendentes, o Quintas) multiplicando esta vez seis veces por 3/4 y empezando desde un "DO".
Comenzando desde "DO" por QUINTAS y seis veces x (3/4):
NOTA INICIAL "DO": 417,65625 mm // 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
TODO LO QUE ORDENADO ES:
NOTA INICIAL "DO": 417,65625 mm // 130,21 Hz// = DO
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
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Observando el resultado anterior, se comprende por qué en Grecia ya se considera un "Tono" o "Modo" diferente, conforme se comience a templar desde una nota distinta; ya que la Octava va a ser siempre otra. Bastando ver lo que sucede si multiplicamos seis Quintas (ascedentes) desde el "MI" o desde un "DO", cuyo resultado es siempre obtener Octavas muy distintas. Tanto que en el primero nos encontaríamos con:
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"MI", "FA", "SOL", "LA", "LA#", "DO", "RE"
Y en el segundo con:
"DO", "DO#", "RE#", "FA", "FA#", "SOL#", "LA#"
Logrando así siete Escalas (Tonos) tan diferentes, como distintas en sus temperamentos. Ya que en el primer caso aparece el "LA" y tras este el "LA#", junto a un "MI" al lado de un "FA" (es decir dos semitonos y cuatro tonos). Mientras en el segundo vemos "DO" y "DO#"; "FA" y "FA#" (igualmente dos semitonos y cuatro tonos enteros, pero ya indistintamente ordenados). Todo ello sería lo que motivó -a mi juicio- que según la nota de origen, se considerase un "Modo" o "Tono" distinto (tal como menciona Ptolomeo y como en nuestro siguiente epígrafe veremos). Generando en Grecia un centenar de métodos para temperar; entre los que el alejandrino recoge al menos cinco decenas y otras tantas de "géneros" y de "sistemas" aconsejados por distintos matemáticos (sumergiendo a la música en un sinfín de Escalas y en un verdadero atraso musical, que solo observaría el medio para buscar Octavas igualmente afinadas, pero de siete notas) .
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.jpg)
ARRIBA: Xilografía del siglo XV perteneciente a un libro de astronomía, en la que vemos representado a Ptolomeo con un sextante. A su lado he situado las siete notas tal como las encontraríamos por Quintas y con el sistema pitagórico (multiplicando por 3/4, desde el "MI" de la "sexta", en la guitarra). Como podemos ver, los intervalos son muy semejantes a las Cuartas (descendentes) ya que multiplicando por 4/3 seis veces y desde el mismo "MI" se obtienen dos tipos de intervalos y justos: Cinco de 9/8 y dos de 256/243 (estos últimos entre las notas que Ptolomeo denominaba Mese y Nete, que yo identifico con nuestro "MI" y "SI" -respectivamente-).
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ABAJO: Grabado de Alejandría publicado por el Geographical Dictionary (Londres 1756) donde vemos el Faro del rey Ptolomeo, quien dio nombre al geógrafo y tratadista de música del cual tratamos. Bajo este precioso dibujo iluminado hemos incluido los intervalos de una hipotética "lira de Ptolomeo" tal como la concebía; en dos series de siete notas y con una notación "traducida" a nuestros valores. Para hallarla hemos utilizado el sistema de Cuartas Justas, considerado por el alejandrino como Sistema Perfecto; aunque -como observamos- existe un pequeño error en ellas, al contenerse dos semitonos o longitudes desiguales. Pues todas las notas se diferencian en 9/8; menos el "SI" y el "MI", que contienen un intervalo la anterior de (256 : 243) = (162 : 34). Siendo estas dos las que Ptolomeo denominaría "Nete" (que traduzco como "SI") y Mese (que entiendo como "MI").
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E) EL RESULTADO DE LOS "TONOS" SEGÚN COMENCEMOS A TEMPERAR DESDE NOTAS DISTINTAS:
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En el epígrafe anterior hemos visto como una Escala de siete notas, cambiaría si se comienza a calcular por Cuartas o Quintas, desde una nota u otra. Ello es lo que en la Grecia se llamaron los "Modos", que posteriormente pasan a confundirse o a denominarse "Tonos"; y finalmente, a mezclarse con los "Géneros". Al ir complicando sus posibilidades debido a los consejos de los "armónicos" (matemáticos dedicados de crear nuevas escalas y de justificar distintos tipos de notas o intervalos). Siendo el comienzo de todo ello el problema que se nos plantea elegir la nota desde la que se inicia la temperación por Cuartas o Quintas (para llegar a los siete tonos). Todo lo que hemos visto antes, en el ejemplo cuando observábamos las diferecias de comenzar en "MI" o en "DO". Unos hechos que vamos a explicar más detenidamente, y en todos los casos; comenzando por la Octava de siete notas encontrada usando el método enarmónico (inverso):
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a) Escala de siete notas, hallada por Cuartas (descendentes):
Habíamos visto que la Octava desde "MI" multiplicando por 4/3 era:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,406 hertzios = MI
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
.
PERO EMPEZANDO DESDE EL "SI", QUEDAN LAS SIGUIENTES NOTAS:
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
.
DESDE EL "FA" LAS SIGUIENTES NOTAS:
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
.
DESDE EL "DO#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
.
DESDE EL "SOL#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
.
DESDE EL "RE#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA
.
DESDE EL "LA#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA
12- (488,33 · 4/3) = 651,106 mm // (111,37 : 4/3 ) = 148,49 Hz // = MI
.
Ello es lo a mi juicio denominarían las fuentes clásicas como "Modos", entre los que distinguen originalmente siete y que Ptolomeo nombra como: Dorio, Frigio, Lidio, Mixolidio, Hipolidio, Hipofrigio, Hipodorio. Todo lo que se complica cuando vemos que los distingue a su vez (en el Libro II cap. 16 de Harmónica) como:
1. Mixolidio desde la nete // 2. Lidio desde la nete // 3. Frigio desde la nete // 4. Dorio desde la nete // 5. Hipolidio desde la nete // 6. Hipofrigio desde la nete // 7. Hipodorio desde la nete // 8. Mixolidio desde la mese // 9. Lidio desde la mese. // 10. Frigio desde la mese // 11. Dorio desde la mese // 12. Hipolidio desde la mese // 13. Hipofrigio desde la mese // 14. Hipodorio desde la mese //.
Siendo la variación de siete por dos (catorce Tonos) seguramente debida a que pudieran calcularse por Quintas o por Cuartas (al menos a mi entender). Pues si intentamos hallar las siete notas multiplicando por 3/4 (en Quintas) el resultado será muy distinto al anterior, tal como en el siguiente epígrafe explico:
.
b) Las siete notas halladas por Quintas (ascendentes):
Catorce Tonos o Modos que pueden entenderse si observamos qué pasaría al hacer lo mismo que hemos realizado (calcular las escalas partiendo en cada caso desde una nota), pero esta vez en sentido inverso. Es decir buscando siete Quintas, o multiplicando por 4/3. Todo lo que resultaría:
.
EMPEZANDO DESDE EL "MI" (tal como vimos):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
.
EMPEZANDO DESDE EL "LA":
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
.
EMPEZANDO DESDE EL "SOL":
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
.
EMPEZANDO DESDE EL "DO":
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
.
EMPEZANDO DESDE EL "FA":
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI
.
EMPEZANDO DESDE EL "LA#":
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI
12- (445,98 · 3/4) = 334,485 mm // (121,92 : 3/4) = 162,56 Hz// = MI
.
.
c) Conclusión:
Con estos pequeños ejemplos, traducidos a nuestra notación y usando la cuerda sexta de la guitarra (como monocordo) creemos que habremos podido comprender algunos hechos en la música antigua, tanto como la complejidad de sus planteamientos. Unos principios que debieron caer en el manierismo más absoluto en tiempos clásicos y en los grecorromanos (aritmético, filosófico y de cálculo), olvidando el sistema antiguo de templar, tan sencillo como justo: Hallando simplemente doce notas por Quintas o por Cuartas. Tanto fue así, que sus extraños casos de "ethes" (razonamientos de ética matemática) para justificar cada Octava, nos hacen casi imposible entender qué significaban las infinitas fórmulas para encontrar esa multiplicidad de Modos, Generos o Tonos para afinar -al vivir nosotros bajo un sistema moderno de Escalas, entendiendo la música con una Octava única e igualmente regulada-.
Esperando poder haber aclarado con este artículo a nuestros lectores, la razón, los motivos y de algún modo, lo que pudieron ser los temperamentos grecorromanos. Afinaciones qué en tiempos de Ptolomeo (quizás ya de la Grecia Clásica) habían caido en un manierismo matemático, con el que tan solo pretendía "cortar la escala" en ocho partes "éticas" (razonables y expresadas desde el punto de vista geométrico, aritmético o filosófico...). Pasaremos en nuestro próximo artículo a terminar el análisis del libro de Ptolomeo (Harmónica).
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.jpg)
SOBRE Y BAJO ESTAS LINEAS: Grabado en el que se representa el puerto de Alejandría, perteneciente a la obra: CIVITATES ORBIS TERRARUM (por Braun Georg, 1541-1622). Bajo este hemos incluido la lista de Modos según comenzásemos por una nota o bien si los buscáramos por Quintas y por Cuartas; en él he incluido la posibilidad de que cada caso fuera un "Modo" y numerando cada nota como pneuma (alfa,betta, gamma etc y hasta siete).
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.jpg)
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:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
CITAS:
(1): Octava desde el "MI", sexta cuerda tocada al aire:
.
"MI" = 660 Ctms. ......................// .................................. 82,40688 Hz.
"FA" = (660 : 12Ѵ2) = 622,95... mm. // (82,4 · 12Ѵ2) = 87,3 Hz.
"FA#" = (622,95 : 12Ѵ2) = 587,98... mm. // (87,3 · 12Ѵ2) = 92,49 Hz.
"SOL" = (587,98 : 12Ѵ2) = 554,99... mm. // (92,49 · 12Ѵ2) = 97,99 Hz.
"SOL#" = (554,99 : 12Ѵ2) = 523,84... mm. // (97,99 · 12Ѵ2) = 103,82 Hz.
"LA" = (523,84 : 12Ѵ2) = 494,44... mm. // (103,82 · 12Ѵ2) = 109,99 Hz.
"LA#" = (494,44 : 12Ѵ2) = 466,69... mm. // (109,99 · 12Ѵ2) = 116,54 Hz.
"SI" = (466,69 : 12Ѵ2) = 440,49... mm. // (116,54 · 12Ѵ2) = 123,47 Hz.
"DO" = (440,49 : 12Ѵ2) = 415,77... mm. // (123,47 · 12Ѵ2) = 130,81 Hz.
"DO#" = (415,77 : 12Ѵ2) = 392,43... mm. // (130,81 · 12Ѵ2) = 138,59 Hz.
"RE" = (392,43 : 12Ѵ2) = 370,41... mm. // (138,59 · 12Ѵ2) = 146,83 Hz.
"RE#" = (370,41 : 12Ѵ2) = 349,62... mm. // (146,83 · 12Ѵ2) = 155,56 Hz.
"MI" = (349,62 : 12Ѵ2) = 330... mm. // (155,56 · 12Ѵ2) = 164,81376 Hz.
.
(2): Para ver pulsar http://decnossosatartessos.blogspot.com.es/2013/08/hipotesis-arquelogica-sobre-las.html
.
(3): El valor de 18/17 es 1,0588235294117647058823529411765
.
El de Lambda (raiz 12 de 2) = 1,0594630943592952645618252949463
La diferencia entre ambos = 0,00063956494753055867947235376987111
.
(4): - (31): "el Demiurgo (dios) comenzó a formar el cuerpo del universo, lo hizo de fuego y tierra. Pero no es posible que dos elementos solos se unan sin un tercero, pues es preciso que haya en medio de los dos una atadura que los una. La atadura mas perfecta es la que consigue que ella misma o lo unido se conviertan en una sola cosa" .
*- (32): "Siempre que el término medio de tres números cualesquiera, enteros o cuadrados, haga que el primero se relacione con él mismo y con el último, y a su vez que el último se relacione con el término medio, y éste con el primero, siendo entonces el primero y último el término medio, y el último y el primero, por su parte, término medio, sucederá entonces, que necesariamente todos serán lo mismo, y siendo lo mismo entre sí, todos serán una sola cosa".
*- (33-34): Sobre la Creación del universo escribe: "lo fabricó con forma esférica, distando exactamente lo mismo desde el medio hasta el final, y redondo, la forma mas perfecta y semejante a sí misma de todas las figuras, pensando que lo semejante es diez mil veces mas bello que lo distinto". Para seguir hablando de que nuestro planeta y los "seis" que le rodean del siguiente modo: "lo removió e hizo que se moviese por sí mismo en círculo volviendo sobre sí, le quitó los otros seis movimientos y lo hizo estable con relación a aquellos"
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