Hipótesis arquelógica sobre las primeras temperaciónes y escalas musicales

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INTRODUCCIÓN EXPLICATIVA:
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En esta segunda parte en "De Cnossos a Tartessos", no desearíamos escribir tan solo para músicos -ni musicólogos-, sino dirigirnos a todas las personas interesadas en el precioso tema que tratamos para que puedan comprenderlo. Por cuanto intentaremos exponer básicamente y de manera sencilla, todos los conceptos; pretendiendo así que puedan entender plenamente nuestro texto y sus conclusiones cuantos más lo deseen. Rogamos disculpas a quienes crean que algunas ideas son tan obvias y a veces repetitivas, que no necesitarían explicación, pero deseamos que cualquier interesado pueda comprender la teoría de la temperación que estudiaremos (por lo que repasaremos puntos a veces muy elementales para los profesionales de la música -al menos para los teóricos de los temperamentos, quienes ven como raro signo esta mi expresión "temperación" del verbo, "temperar"...-). Deseamos realizarlo así porque hemos podido apreciar que cuando hablamos de este tema, gran cantidad de personas ajenas a este mundo conceptual de la música sienten gran atracción por conocerlo. De esta manera lo observé durante nuestra conferencia de hace años preparada para la Fundación Joaquín Díaz (que repetí en otros muchos foros, incluso en Japón) y en la que sus asistentes atendían con gran interés a mis explicaciones.
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Aunque en aquella ocasión, un problema muy elemental nos surgió ante los profesores y licenciados que asistían al evento; algo que pude evidenciar cuando una doctora asistente me preguntó al finalizar: -"Por qué decíamos que el "MI" estaba a 660 milímetros la cuerda 6ª de la guitarra"-. Le explicamos que esta no era una medida de sonido, sinó una nota que daba la cuerda solo dependiendo de su grosor y de su tensión, en virtud de la resistencia y fuerza de ese bordón. Es decir, que para explicar la teoría antigua del sonido habíamos de trabajar por distancias y longitudes, partiendo desde donde queramos. Pudiendo poner la primera nota allí donde lo deseemos; algo que se realiza por acuerdo común. De lo que hoy se ha fijado la frecuencia de afinado en un LA de 440 vibraciones por segundo y que se marca en la Quinta cuerda al aire (y siendo así la Sexta se corresponde con un MI, por el simple hecho de que este instrumento afina subiendo cinco trastes en aquella última). Pero dicho tono en medidas de longitud de una guitarra común es 660 milímetros, ya que es la distancia total de la cuerda libre.
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De ello, tomando como referencia el "MI" de la sexta cuerda de la guitarra tocada al aire (que es la medida que de continuo usaremos), podemos convertir la guitarra en una especie de Monocordo; es decir que es allí trasladable cualquier otra nota o cuerda. Para comprenderlo, durante la conferencia expliqué que las cuerdas en una misma longitud dan muy distintas notas (por ejemplo la cuerda quinta al aire es "LA"). Pero que en todo caso, nada tiene que ver con que la cifra o la medida, pues lo importante era seguir la proporciones que son las de: "Duplicar" o "Triplicar" la longitud inicial; a partir de lo que nos "saldrán" todas las notas . Es decir, que en cualquier instrumento de cuerda, al doble o a la mitad de distancia desde el puente, siempre hay la misma nota mas grave o mas aguda. Así auquellas mismas multiplicándolas sucesivamente por tres, nos hacen obtener las siguientes notas de la escala. Todo cuanto es el principio fundamental de la Temperación antigua.
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COMENTARIO A LA IMAGEN: Bajo estas líneas una guitarra sobre la que hemos extendido una medida, para poder mostrar cómo se marcan los trastes conforme a unas medidas. Distancias fijadas en milímetros por las que se miden los intervalos que producen sus sonidos (notas) en cada cuerda. Actualmente ello se relaciona con los Herzios, pese a que hasta hace unos doscientos años, la graduación de la escala musical tan solo se graduaba por longitudes. Unas medidas que se relacionaron primeramente con afinaciones de origen divino (inventadas por Imnhotep en Egipto o por Apolo en Grecia), tanto como con números perfectos y cifras sagradas.
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Las explicaciones anteriores las hemos dado tras observar que la duda común entre quienes estudian los métodos de afinación antiguos, proceden de confundir la longitud de cuerda de la que hablábamos (por ejemplo 660 mm. en la guitarra, al aire) con los Herzios (las vibraciones por minuto). Algo que nada se relaciona con las teorías de los temperamentos, puesto que el Herzio es una medida de sonido muy moderna (de fines del siglo XVIII) pese a que la temperación es antiquísima -casi tanto como la civilización-. Por lo que la afinación se realizó siempre por distancias armónicas (en longitud de cuerda, de tubos etc), basadas originariamente en duplicar o triplicar la medida de la cuerda o del tubo a hacer sonar, o bién duplicar o triplicar el peso, la masa o los tamaños de los objetos a percutir. Debido a ello, hubimos de aclarar siempre ante los asistentes que hablamos sobre este tema, que aunque el "LA" común de tono inicial de afinación se ha acordado que sea una vibración de 440 por minuto (440 Hz); en la guitarra este "LA"de 440 Hz. está en la quinta cuerda tocada al aire; o lo que es lo mismo, que se correspondería con una longitud de cuerda de 660 milímetros en la Quinta. Pero además, este mismo "LA" que siempre en Herzios es de 440 Hz; según la temperacón antigua vuelve a repetirse en diferentes distancias -como en la cuerda Sexta en el milímetro 495; pues si la pulsamos el tercer traste de esta 6ª, suena igual a la 5ª al aire .
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Y es que aunque todas las cuerdas de la guitarra tienen una igual longitud, su grosor y tensión es muy distinta, por lo que en una misma distancia (660 milímetros por ejemplo), la 6ª produce un "MI" y la siguiente un "LA", la 4ª un Re y etc.. Por todo ello hemos de advertir dse antemano que en el estudio que realizamos nunca hemos de equivocar Herzios con longitudes en milímetros de la cuerda, pués en este trabajo solo vamos a tratar de distancias e intervalos de cuerda (que vibra), no de su frecuencia de onda por minuto (Hz). Ya que lo importante para lo que estamos tratando es que a unas mismas proporciones y longitudes milimetricas se producen unas idénticas o distintas notas . Es decir: Por ejemplo el que la Sexta cuerda de la guitarra segun vayamos partiéndola por mitades, da un "MI" en diferente escala -si vibra 660, 330 y 165 milímetros-. Del mismo modo que la Quinta es un "LA" en los milímetros 660, 330 y 165. Aunque se hace evidente que el sonido inicial de cada cuerda al aire -sin pulsar-, tan solo depende de la afinación propia que se desee (como dijimos). Todo cuanto se explica y entiende aún mejor bajando un poco la tensión de la 6ª cuerda (desde un su "MI" normal), hasta afinarla en un "RE" . Tras ello, comprobaremos que, logicamente, también sonará un "RE" en los milímetros 330 mm. y 165. Repetimos que este principio armónico, además de con una cuerda tensa, sucede igualmente con las longitudes de tubos al hacerlos sonar (soplando o por percusión), asi como con el tamaño y masa de martillos y objetos sólidos que percuten al golpearse -de igual forma que ocurre como las barras o las teclas (de una celesta o de un xilofón etc)-. Pues cada vez que multiplicamos o reducimos su tamaño por dos (en su longitud o en su masa ) vuelve a producirse el mismo sonido ( una igual Nota en un tono mas bajo o mas alto -respectivamente- ). Todo cuanto fué lo que explicó detenidamente Pitágoras (o los pitagóricos), como base de su sistema de temperar; lo mismo que expone Platón en el diálogo que estudiaremos "Timaios".
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COMENTARIO A LA IMAGEN: Bajo estas líneas los diferentes "Mi" en la cuerda Sexta. Primero con ella al aire en 660 vibrando milímetros; luego con esta pinzada en su mitad a 330 mml. y finalmente con ella pulsada en el milímetro 165.
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Finalmente hemos de dejar claro un concepto que no podemos olvidar y que es el del Intervalo, que es la diferencia de longitud o frecuencia que existe entre unas notas y otras. Se usa la expresión Intervalo para marcar la distancia que hay entre un sonido y el siguiente (o el anterior); o entre cualquier nota. Así tambien se dice Intervalo, para medir la diferencia de tonos y semitonos existentes entre varias notas seguidas, cuando se habla de una serie secuenciada de sonidos todos procedentes del mismo Intervalo ( notas que guardan todas una misma distancia). Para que lo entendamos mas facilmente, el Intervalo más común es la diferencia que hay entre un tono y su semitono siguiente (entre DO y DO#), que evidentemente equivaldría a 1 y se dice de Primera; mientras que entre DO y RE ya habría 2 Intervalos, llamándose de Segunda (así sucesivamente hasta las 12 notas e Intervalo de Doceava , entre DO a DO -llamado Octava-). Esta distancia hoy se mide comunmente por Herzios, pero en la Antigüedad se expresaba solo en la longitud de cuerda, del tubo o de la masa del objeto sonoro.
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Por cuanto decimos, nos será muy fácil entender qué significa el Intervalo de Primera de la Escala moderna, sabiendo que la distancia entre nota y nota se consigue multiplicando sucesivamente cada una por 2 elevado a 1/12. Esta fórmula por la que se multiplican las notas para hallarla se denomina "Lambda" ( como dijimos "dos elevado a un doceavo"). Lambda por la que se ha de multiplicar cada sonido para convertirlo en la siguiente nota, en un sistema que creó la afinación -bien templada- tras el Barroco; cambiándola por unas temperaciones progresivas, muy distintas y antiguas (tal como estudiaremos). Así, para saber hoy en día qué distancia física hay entre nota y nota, a qué milímetros hay que pulsar (o colocar los trastes) en un instrumento de cuerda, o que medida progresiva tienen los tubos de una flauta o un órgano relativa entre unos y otros, basta como multiplicar por este número mágico " " (2 elev. 1/12 que es 1,059463094...). Asi de fácil y simplemente multiplicando por este 1,059... sabremos que en cada punto que nos resulte se fija hoy la distancia para cada una de las doce notas en la temperación moderna. Pese a todo en la Temperación antigua este intervalo entre nota y nota no era el mismo, y se expresaba por fórmulas matemáticas distintas como veremos (del "DO" al "DO#", no había la misma distancia que del "DO#" al "RE" ni de este al "RE#").

Tambien en el presente trabajo estudiaremos Intevalos distintos al de antes, que son los que hay entre notas no continuadas, en cadencias determinadas. Como por ejemplo citamos el Intervalo de Quinta (ya mencionado) que ya dijimos se producía cuando entre una nota y la siguiente (o la anterior) hay cinco Intervalos. Su valor es muy fácil de calcular en temperación moderna, dado que siendo la distancia que hay entre una nota y la siguiente "Lambda"=1,059463094...; basta con multiplicar "" elevado a 5 y obtendremos la distancia que hay en un Intervalo de Quintas ( 1,059463094 elv. a 5 = 1,334839854). Es decir, es el que hay entre el "MI" y el "LA" entre los que existen cinco intervalos (que son los que hay al "FA", al "FA#", al "SOL", al "SOL#" y al "LA"). Por lo tanto, para conocer qué distancia habría en la guitarra moderna entre esas dos notas, si nos dicen que el "MI" está en el milímetro 660 del bordón. El resultado es muy fácil de hallar dividiendo 660 mm. cinco veces por "Lambda" y nos resulta que el milímetro donde debe pulsarse el "LA" es el 494,441... ( 660 : "" : "" : "" : "" : "" = 494,4413362...].
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COMENTARIO A LA IMAGEN: Bajo estas líneas la guitarra actual regulada en intevalos de "Lambda" , que responde a una distancia proporcional a (x : 1,059463094).
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Aquí hacemos un inciso, pues ya observamos la diferencia entre temperación moderna que situaría ese "LA" en el milímetro 494,4413354, y la antigua (pitagórica) que hemos dicho antes que lo sitúa en el mm. 495 (después estudiaremos por qué). Por su parte, la medida contemporanea en Herzios de frecuecia de vibración de onda calcula de forma similar el intervalo, y si nos dicen que "LA" tiene 440 Hz; habremos de dividir 440 cinco veces por "Lambda" para conocer cuantos Herzios tiene el "MI" (440 : "":"":"":"":""= 329,62755569 vibraciones por minuto). Esta medida en frecuencia de vibración por minuto (Hz) rara vez la usaremos, y sobre todo, nunca confundamos la distancia de un "MI" de 330 milímetros, con la frecuencia de un "MI" de 329,62755569 Herzios, pues nada tienen en común mas que el hecho de que al construirse la guitarra se pensó en darle casi tantos milímetros al mastil como herzios tuviera su primera nota (como una norma de coincidencia). Pese a todo hay muchas guitarras cuyo mástil es mas pequeño y dan idénticas notas en 600 o 550 milímetros (todo depende de la tensión de afinación en este caso). Pero siempre recordemos que estos 330 mm. o 660 mm. que vamos a usar de continuo como marcas de comienzo y final de la Escala, nada tienen que ver con la frecuencia de onda en vibración por minuto ( ya que como dijimos, en la 5ª cuerda suena tocada al aire un "LA" cuyo valor en Herzios es 440, y mide exactamente lo mismo que la 6ª).
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Por su parte, cuando ese Intervalo vale el doble o la mitad de la longitud o frecuencia, ya hemos visto repetidamente que da sonidos iguales, en un tono mas agudo o mas grave (el caso del "MI" de 660 mm. y el de 330 mm. .-Lo que en Herzios sería que un "LA tiene 440, 220, o 880 etc vibraciones minuto-). Ello se denomina "octava", por estar contenidas dentro 8 notas: las 7 naturales mas la que se repite (en el caso que ponemos como ejemplo va de "MI" a "MI"). Realmente esta distancia llamada Octava, se debiera denominar doceava o treceava, puesto que contiene doce notas y trece sonidos, pero se le dice Octava por contarse solo las notas naturales y no las sontenidas. Como decimos, la octava realmente contiene 12 notas y 13 sonidos; que son en nuestra Escala , 7 naturales, mas 5 sostenidas ="DO" "RE" "MI" "FA" "SOL" "LA" "SI" "DO" + "DO#", "RE#", "FA#" "SOL#", "LA#".
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Volviendo a los ejemplos que iremos poniendo en el bordón o 6ª cuerda de la guitarra, desde el milímetro 660 al 330, vamos a ver que están las 12 notas de nuestra Escala, mas el "MI" final ( Octava de MI a MI). Estas notas son: "MI", "FA", "FA#", "SOL", "SOL#", "LA", "LA#", "SI" ,"DO","DO#","RE","RE#","MI". Un total de 13 sonidos concatenados, que vuelven a repetirse cada vez que se divide o multiplica por dos la longitud de la cuerda. Estos conceptos son fundamentales para cuando desarrollemos las hipótesis sobre la temperación en la Antigüedad.
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COMENTARIO A LA IMAGEN: Bajo estas líneas detalle para poder observar cómo las distancias de los trastes se relaciónan con el número nacido de elevar 2 a la raiz cuadrada de 1/12  = lambda.
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Así volvemos a repetir que de "MI" en el milímetro 660 al "MI" del mm. 330 hay un Intervalo de Octava, que siempre equivale al doble o a la mitad de la longitud, frecuencia etc (y puede ser su sentido ascendente del de 330 al de 660; o descendente del de 660 al de 330 ). Este expresado de forma matemática lo vamos a enconrtrar en la fórmula de: Octava = 2; o bien Octava = 1/2. Ello significa que el Intervalo entre el "MI" del 660 mm. y el "MI" del 330 mm. es = 1/2 ; mientras el Intervalo del "MI" de 330 al del 660 es = 2 ( multiplicando o dividiendo por 2 sus longitudes, se obtiene el "MI" siguiente).

Por su parte entre Las Quintas como del "MI" al "LA", en la antigua temperación, veremos hay una relación de tres , y nos encontraríamos expresado este intervalo de Quinta de "MI" a "LA" como 3/2, y de "LA" a "MI" en el inverso 2/3 ( pues "MI" de 330 x 3/2 = 495 "LA"). Realmente este es el segundo principio armónico, pues si el primero surgía de patir o multiplicar la cuerda en dos, este segundo nacerá siempre de multiplicarla por tres. De ello, que "MI" x 3 = "LA" ( o lo que es igual: 165 mm. · 3 = 495 mm). La conclusión que no debemos olvidar es que la Octava tiene un equivalencia de 2, y la Quinta de 3. No debemos preocuparnos de carecer de conocimientos matemáticos al leer este estudio, pues intentaremos exponer todo desde las fórmulas más básicas, deseando que todo interesado pueda comprenderlo (aunque para algunos pueda resultar escrito en un tono demasiado elemental).