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SOBRE ESTOS PÁRRAFOS: Estatuilla de época Saita propiedad del Museo del Cairo (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen) que representa a Imnhotep deficado, sentado en su trono, con el pliego de papiro. Narra la Historia que este sumo sacerdote, gran arquitecto y visir (schaty) del faraón Djoser (Zozyer ó Deyer), fue el creador y diseñador del complejo de Saqqara hace más de cuarenta y ocho siglos; por lo que se divinizó a Inmhotep en Egipto como dios de las artes y de las ciencias. Arquitecto y médico, músico y físico, matemático y astrónomo; fueron entre, otras las profesiones y conocimientos de este visir de Djoser, al que hicieron en el Nilo patrón del saber y de la creación artística o humanista (semejante a un Apolo unido a Asclepio, tal como lo vieron los griegos).
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Nunca podremos saber del todo si fue el verdadero Imnhotep uno o varios hombres; aunque más parece un sumo sacerdote que encabezó una escuela de arquitectos y de científicos que entre los siglos XXVIII al XVII a.C. revolucionaron las ciencias y las artes de Egipto (habida cuenta que se le atribuyen todos los adelantos habidos por entonces en el campo de la medicina, la astronomía, la arquitectura, la música y de todos los saberes). Este Visir que construyó Saqqara y que creó las pautas de la ciencia y de la investigación en el Nilo, también marcó el tamaño de "la medida sagrada": El Codo Real que quedó fijado por entonces en 522,67 centímetros.
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Una longitud que fue rectificándose en algunos periodos dinásticos, aunque apenas varió en tres milímetros desde su implanatción por Imhotep, y hasta su derogación en tiempos grecorromanos (de estos 52,26 centímetros, a unos 52,6 que valió en época de los Ptolomeos). Dos mil quinientos años durante los que el Imperio del faraón tuvo una misma metrología, lo que les posibilitaba no solo orientarse en el desierto sin perder las coordenadas, los conocimientos y la manera de medir heredadas. Sino también les sirvió para observar el cielo valiéndose de unos parámetros iguales; pudiendo interpretar los conocimientos milenarios y utilizar los santuarios -construidos en Codos Reales- para continuar tomando o confirmando los datos astrales.
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Fue Imhotep asimismo el que dicen "creó la música" y por lo tanto, el iniciador de la escala. Todo lo que hemos de interpretar ciertamente en el sentido pleno de la leyenda: Considerando que ya hacia el siglo XXVII a.C. los egipcios tenían conformada su armonía y su afinación, tanto como su teoría de la Música. Una teoría musical de la que nos habla Platón (Leyes, 657), quien describe aquel saber como una verdadera ciencia del sonido. Algo que hemos de considerar la fuente de la que bebieron decenas de siglos más tarde Platón ó Pitágoras, filósofos que visitaron, o vivieron, en el Nilo y que más tarde divulgaron el "dogma" de la Escala (tal como debía enseñarse en Las Casas de la Vida -a las que debemos considerar similares a "seminarios" donde se enseñaba los secretos de las artes y el saber egipcio-).
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En el caso de Pitágoras su biografía narra que militó en los templos faraónicos como novicio y que más tarde fue llevado por Cambises hasta Babilonia, donde completaría sus estudios sobre acústica y astronomía entre los mesopotamios. Un saber que importaría hasta su tierra natal, enseñándolo a sus discípulos, quienes actuaban de forma igual a los sacerdotes egipcios, sin divulgar "el secreto" (las fórmulas para afinar y sus técnicas de transporte sobre diferentes instrumentos). "Dogma" que finalmente fue descrito por Platón, partiendo desde obras de pitagóricos, como las de Filolao (que se sabe compra y hace desaparecer). Aunque también es cierto que Platón visitó Egipto, donde quizás pudo comprobar que el secreto de Pitágoras se escondía en el saber milenario del Nilo; algo que posiblemente le impulsó a difundirlo sin temor (pese a que sabemos sufrió represalias por narrar el llamado "dogma pitagórico", que consistía fundamentalmente en la técnica de afinar en doce tonos y siete notas, relacionando los intervalos musicales con las distancias y sínodos de los planetas).
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ABAJO: El autor de estas lineas (a la izquierda) en el Complejo de Saqqara creado por Imhnotep a expensas de su faraón Djoser. Como decimos, los edificios de este recinto -entre los que se encuentra la famosa pirámide escalonada- fueron hechos en una medida ya impuesta en su época, que se mantuvo casi de manera permanente en el Nilo, hasta la llegada de los Griegos. Un Codo Real cuyo tamaño establece Imhnotep con 52,266 centímetros (+/- 0,01%), que generaría el Codo Vulgar de 44,8 ctms. y que -como dijimos unos párrafos antes-, tan solo cambió unos dos milímetros durante más de dos mil años.
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Todo ello, junto al relato que explica como Imhotep creó la música, nos lleva a deducir que es en este tiempo cuando a su vez se crearía la Escala de tipo pitagórica. Una afinación que -como hemos visto- es de una sencillez absoluta en su resolución; bastando dividir por 3 un tono y multiplicarlo por 2, llegando así a crear las doce notas. Doce sonidos que parten de un hecho físico y natural, ya que estos doce tonos nacen directamente de la técnica utilizada para ir buscándolos. No pudiendo surgir de esa afinación, siete, ni cinco, ni diez notas -tal como hemos demostrado matemáticamente-; sino doce, que es el resultado de 3 y 4 en referencia a 2 (habida cuenta que se trabaja en 3/4 y 2/3 , en razón a 1/2).
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Por lo demás, hemos de pensar que tal como se mantuvo "la medida sagrada" durante más de veinticinco siglos en Egipto; hubo de mantenerse el dogma musical. Unos secretos y normas reguladas por doctrinas religiosas que impedirían cambios y que -de seguro- conformaban esa teoría que refiere Platón. Una ciencia de la música en la que relacionarían el Cosmos con los intervalos y su armonía (todo lo que aprenderían los griegos en el Nilo, para divulgarlo -muy posteriormente-).
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A) INTRODUCCIÓN ("lo bello y lo sublime" como origen de la existencia en la Antigüedad):
1- Visión cósmica de los tonos:
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Habíamos visto que las siete notas se hubieron de interpretar como los siete planetas; partiendo desde un punto fijo e inmóvil (la inicial) del cual tomaban referencia para afinarlas. Tono primero que estaría representado comunmete por nuestro "hogar cósmico" (la Tierra) y equivaldría a nuestro "LA" (que hoy se suele tomar en 440 hrtz., aunque hay quienes actualmente lo varían -a 445-, con el fin de "alegrar" el sonido de los instrumentos). De tal manera, en estas filosofías que hereda y desarrolla Pitágoras -nacidas con absoluta seguridad de Egipto y Mesopotamia-; para hallar la Escala partimos desde una nota que se simbolizaría en la Tierra (fija). Tono inicial e inmóvil, alrededor del que girará todo el firmamento celeste (la escala de siete planetas). Tras lo que habremos de tomar un segundo punto central -el Sol-, para ir marcando los intervalos y así, regular y comprender plenamente los movimientos astrales: Sus solsticios y equinoccios, la duración del año, del mes lunar y de cuantos sínodos se producen (ya que las posiciones solares son las que principalmente marcan el calendario y los cambios en el cielo).
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Pese a ello, este "astro rey" también tendría movimiento en la Antigüedad, habida cuenta que muchos (no todos) visionaban el Cosmos teniendo a la Tierra su como centro. De lo que la segunda nota era ya "movible" conforme el primer tono (la Tierra); existiendo además un tercer elemento del Universo igualmente gozaría de órbitas constantes y que sería la Luna (que giraba entorno nosotros, por lo que no habría modificación en sus coordenadas). Siendo así y en un sistema en el que la Tierra permanecía en el centro, si queremos simbolizar los siete planetas en las notas de la escala, nos veremos en el paradigma de hallar qué significan los semitonos. Debido a que en la afinación pitagórica había verdaderamente siete notas "enteras" y cinco "parciales"; lo que hoy se denominan tonos y semitonos -que se marcan como teclas negras y blancas sobre el piano, aunque sin ningún sentido más que el de facilitar su pulsación (pues en nuestra afinación moderna no existen diferencias de intervalos)-. Por lo que pudieron pensar que los semitonos eran los cambios de órbitas de los planetas, ya que los ciclos de los astros y del Sol se observan muy alterados al considerarlos desde una Tierra inmóvil.
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Tanto, que cada seis meses nos veremos en la obligación de creer que cambian sus órbitas, girando de forma inversa (por nuestra traslación, al ver desde un punto opuesto el Cosmos). -Para entender lo que deseamos explicar, bastará con hacer girar el dedo alrededor de un pequeño aro y (posteriormente) darle la vuelta, mirando cómo la circunferencia descrita se invierte-. Siendo así, tan solo dos planetas de los siete -Luna y Sol- tendrían una órbita constante; ya que su giro se percibiría como igual y sin cambios durante los doce meses del año. Por cuanto pudieron ser concebidos como una sola nota; mientras el resto -Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno- gozarían de dos órbitas (una de avance y otra de retroceso) siendo así simbolizados en dos notas (entera y semitono). Todo lo cual posibilitaría concebir nuestro MI y nuestro SI (que carecen de semitono correspondiente), como el Sol y la Luna. Frente a las otras cinco notas que tendrían un "dobletono" o doble órbita, y que debieron ser simbolizados en Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno.
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BAJO ESTAS LINEAS: Codo Real votivo procedente de la tumba del arquitecto Kha (perteneciente al sepulcro TT8 de Tebas y propiedad del Museo de Luxor, al que agradecemos nos permita divulgar su imagen). De tiempos de Amenofis II, la "vara sagrada" contiene una escritura en la que reza que fue regalada al mencionado Kha, por el faraón y tras haber realizado una monumental obra. Es igual en su medida y divisiones a otra que para su uso en labores de construcción, también fue hallada en el sepulcro del mismo arquitecto, cuyas longitud coincide exactamente con la que apareció en la tumba de Maya, el tesorero de Tutankhamon. Todos estos Codos Reales referidos tienen más o menos -exactamente- 524,98 milímetros, que fue el tamaño del esta medida sagrada durante la etapa de la XVIII dinastía.
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2- La belleza y el Maat; la justa medida y la armonía como valor absoluto:
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Tras la exposición anterior, explicaremos de nuevo cuales eran las premisas técnicas marcadas por la "filosofía pitagórica", conceptos que -de seguro- aprendió el griego de Samos en el Nilo y en el Eúfrates. Unas ideas plenamente egipcias y mesopotámicas, que entendían el Universo como una temperación musical perfectamente medida y armoniosamente ajustada. Debido a ello, antes de entrar en el significado pleno de los "planetas y de las notas", hemos de dominar el sistema por el cual fueron hallando la armonía acústica. Todo lo que les llevó a comprender el Cosmos como una obra musical cuyo principio estaba en la afinación y en la consecución armónica de notas (como si fueran astros, creados y dispuestos sobre una melodía perfectamente compuesta). Escala justamente afinada que terminaron considerando una "alegoría" del Orden Cósmico.
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Para todo lo que partieron desde la esencia del número y de la medida (como principio de la creación divina); debiendo concebir el 1 (uno), como cifra inicial que marcaría "el todo" y que iniciaría lo absoluto. Entendiendo como "el 1", aquel tono primero que nosotros consideramos "LA" y que en Egipto seguramente era identificado con a cúspide de la pirámide, la piedra angular denominada por entones "benben" (hoy piramidón). Idea esta última que la profesora Syra Bonet expresa repetidamente, explicando que ha de unirse el nombre del arpa egipcia más importante (benben) con el de aquellas piedras también así llamadas, que coronaban las pirámides, marcando las medidas y los puntos de orientaciónes en los edificios más destacados. Siendo así, para comprender qué fue el Cosmos, el número y la música hace miles de años, primeramente hemos de enteder cómo el hombre antiguo -carente de recursos-, pudo sublimar en tal grado la belleza (del arte), que llegó a intuir lo infinito y lo inalcanzable en las distancias de las notas. Diferencias o proporciones que marcaban lo bello y lo sublime en el sonido, pero que milenios después Kepler pudo demostrar era una teoría de algún modo cierta; al hallar que en verdad el Universo cumple unas reglas de armonía semejantes a las de la música.
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Por lo que el "benben" egipcio podemos compararlo con nuestro "Big-bang", que en la filosofía física actual marca el inicio del Universo, partiendo desde un estallido. Aunque para los mesopotamios o los del Nilo, aquel inicio hubo de concebirse en este "1", o tono "primero"; posterior a la "Nada", dado que la nada se tenía como "el Caos". De ello, su problema filosófico debió intentar resolver por qué y cómo se produce este proceso desde la nada hasta la existencia. Un planteamiento que tuvo que ser igual al de nuestro tiempo y que actualmente se responde con una explosión desde la que nace el Cosmos (el Big-bang). Principio del Universo, que (de seguro) en unos siglos tendrá otros motivos y otras explicaciones; pero que en la Antigüedad se entendería como un proceso desde "el cero" (que no escribían) al "uno". O de la inexistencia (que no concenbían) a la medida, o desde la nada (que era el Caos) a la ponderación; pero sobre todo: Desde la oscuridad a la luz y del silencio al sonido. Pues todo aquello que no se podía escuchar, contar, medir ni pesar, no existía más que en la mente humana.
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Siendo así, el hombre como creador y como El Creador, era capaz de "concebir"; y de su "concepción" surgía la existencia -de sus ideas o pensamientos- . Por cuanto aquello que más le evocaba, que más le atraía, o cuanto más le elevaba; era el motivo del origen del "todo". Algo que quedaba demostrado de manera patente en de la propia vida, que se producía gracias a la atracción de la belleza corporal. Idea con la que podremos comprender el valor de diosas como la Maat egipcia; deidad de la belleza, de la proporción, de la medida, del número y de la ponderación. Diva que se representaba como una mujer joven de extrema beldad, practicamente desnuda y tan solo tocada en su frente con una diadema que sostenía una pluma. Pluma -o corona- que significaba que solo ese peso -esa insignificante cantidad ponderable-, se permitía como error hacia la perfección (del cuerpo o del alma). Tanto, que como hemos dicho repetidamente, el corazón del difunto debía pesar menos que esa pluma de Maat, para ser admitido en la Vida Eterna. Indicando ello que el muerto antes de llegar al Mas Allá debía haber perfeccionado su espíritu de tal modo, que distinguiera aquel peso de una pluma en los errores de la existencia. Sin haber podido confundirse o engañar siquiera esa cantidad en las balanzas del comercio o en sus apreciaciones y dictámenes (demostrando haber sido una persona justa, en la vida, en las transacciones comerciales, o en las artes y las ciencias).
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BAJO ESTAS LINEAS: Relieve representando a la diosa Maat en el conjunto de Deir el Medina dedicado a esta diva, dentro del templo de Hatsepsut (agradecemos a la institución Deir el Medina-Hatsepsut nos permita divulgar la imagen). Observemos la bellísima mujer que representa a Maat, tocada con tan solo una pluma y semidesnuda; tras ella una balanza sobre la que se pesa un vaso canopo con el corazón de un difunto; indicándonos que está mediando en el Juicio de Osiris. Dictamen en el que la víscera (que en vida había regulado las pasiones del difunto que pretendía salvarse), debía pesar menos que la pluma de Maat. Un tocado tan ligero y un veredicto tan serio, indicaba que la justicia máxima y la buena ponderación había presidido la existencia del fallecido. Siendo aquella diosa la que presentaba y acompañaba al muerto en el jucio, la expresión máxima de la medida y del peso exacto y perfecto; diva de belleza y de la creación. Una creatividad que en el arte había de basarse en esa justa medida y ponderacíon, que marca el camino de la belleza; pero que en la vida surgía simplemente a través de la atracción física, sentida al ver seres como esta Maat.
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Acerca de la buena conservación de las medidas (en las artes y las ciencias) serían juzgados los sacerdotes; pues un error de mínima importancia, podría provocar tremendas equivocaciones en los cálculos astronómicos, alterando los conocimientos sobre el Universo. Al igual que una adulteración en sus estimaciones acerca de las horas o las fechas, serían motivo de que se perdieran las caravanas (ya que quienes las guiaban o marcaban sus rumbos en el desierto, habían de fijar las coordenada astronómicas de manera exacta). Por todo cuanto una imperceptible incorrección el "la medida o el número" que los templos no anotaran (o percibieran a la perfección), serviría para sembrar el caos en Sociedades como la egipcia o la mesopotámica -que precisaban cruzar las arenas, conocer con exactitud el día y la hora, o marcar los ciclos calendáricos y astronómicos con suma precisión (por motivos religiosos, pero sobre todo para procurar no perderse y conocer el rumbo, las fechas o los tiempos)-.
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Todo lo antes dicho nos enseña ese valor de Maat, diosa de la perfección, de la medida y de la belleza; una diva -que como una Venus-, conseguía crear (engendrar) gracias a que sus proporciones y medidas corporales eran perfectas -con las que atraía al hombre, originándose así la vida-. Una diosa que no solo era una Afrodita, pues en Egipto aquella belleza del cuerpo, no tendría simplemente un sentido físico; sino que en ella se comprendía cual era el significado de la "medida exacta", del "peso justo" y -por lo tanto- del propio "número". Ya que aquella beldad corporal propiciaba que la vida se generase y se iniciase (a través del atractivo sexual). Un principio de belleza del Maat que debió ser concebido igual al de la música, donde por medio de una armonía melódica se llegaba a componer algo sublime. Tal como sucedía en los edificios, cuyas medidas mostraban la importancia de la proporción en cuanto puede hacer el hombre. Lo que nos demostaría cómo el principio del "todo" estaría en lo bello y lo sublime; una idea desde la que partirían para ir estudiando igualmente qué había detras de aquello bonito y armónico en la arquitectura, en la pintura y escultura; y -sobre todo-, en la música.
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Siendo así, iniciándose desde esta idea que deseaba estudiar las fórmulas matemáticas, los números y las medidas que se escondían detrás de la belleza, o de lo sublime en el arte. Fue cómo en Egipto, en Mesopotamia y más tarde en Grecia, analizarían los comienzos de la existencia y del Universo. No desde algo tan "simple" como una gran explosión (Big-Bang), sino partiendo de una inigualable belleza ante la cual el hombre (como animal y como ser divino) no podía resistirse. Al ser atraido "El Ser" (denominado hombre-demiurgo, hombre-dios etc) por aquella creación musical, arquitectónica o escultórica; que como la diosa Maat -desnuda y perfecta- nos "llamaba" a crear o procrear, haciéndose imposible no acudir hacia ello. Partiendo la comprensión de la existencia desde este punto, en el que el humano es desbordado emocionalmente por la belleza y prefiere entregarse a lo que le supera. Este motivo que genera la vida, para los antiguos hubo de ser el principio creador también del Cosmos, por todo cuanto el estudio de las proporciones de la armonía era esencial, para comprender el inicio y el sentido propio del Universo.
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BAJO ESTAS LINEAS: El juicio de Osiris, pintado por mí desde un papiro antiguo. El difunto espera el veredicto mientras Anubis (bajo el tribunal de los dioses) pone en la balanza el corazón del fallecido, midiendo que no supere el peso de la pluma de Maat.
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3- El "número" como un hecho concreto y principio creador:
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Por todo cuanto deberemos entender estas filosofías o creencias que concibieron la Escala Musical como el principio del Universo; partiendo de la consideracón en que la armonía y las proporciones eran semejantes en el Cosmos, en las artísticas y en aquellas que nos "llamaban a crear la vida" (la belleza corporal y en especial la femenina). Tanto que en su búsqueda de medidas y síntesis numéricas -para poder explicarse por qué una persona era bella-, generaron un sistema con arreglo a unas normas matemáticas; cánones que fueron usados por los griegos de época Clásica y por cuantos también heredaron o reavivaron aquella filosofía durante El Renacimiento. Pero cuyos orígenes hemos de buscarlos en Egipto y en Mesopotamia, donde el peso, la medida y la perfección, era la norma absoluta y la regla de iniciación al mundo sacro. Ello porque en el estudio de esas constantes matemáticas se hallaba el secreto del por qué un edificio era bello, una escultura o pintura estaba bien realizada, o la música resultaba atractiva y sublime.
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Todo lo que decimos anteriormente, puede explicarnos la razón de una pirámide, como ideal de la belleza del número o del misterio de la vida que residía en gran parte en la triangulación. Un triágulo que incluso llegaba a nacer de forma natural el púbis (más concretamente el femenino desde el momento de la fertilidad) y que era la clave de la trigonometría -en especial esférica, que se resuelve por medio de esa figura-. Trigonomietría gracias a la cual pudieron medir y repartir las tierras, a través de los agrimensores; tanto como orientarse y calcular las horas, o las coordenadas en mitad del desierto. Pero sobre todo, una ciencia matemática que sintieron cargada de misterio y de belleza, puesto que el número se llegaría a entender como una palabra, por lo que eran capaces interpretar y de crear ciertas cifras concebidas como verdaderos poemas.
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Pues -tal como recientemente he escrito en otros artículos-, cualquiera que haya vivido en una sociedad oriental o en una civilización antigua (como en mi caso, es Japón) comprenderá que la cifra ha desvirtuado el valor del número. Ya que no es lo mismo "1" que "uno" o que "el primero"; ni "2", que "dos", o que "el segundo". Unos conceptos que en nuestra cultura tan solo podemos percibir en casos como este de los ordinales, aunque en las antiguas civilizaciones -que no escribían con cifras-, se puede ver en todos y cada uno de los numerales. Bastando vivir un tiempo en Japón para comprender que la cifra ha desvirtuado el concepto de la matemática hasta una abstracción absoluta, sin tener en cuenta que no es lo mismo "una" cosa, que "un" día, a "un" hombre, o que "un" premio.
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Para un occidental esta última frase le resultará absurda, quizás pensando que en nada puede afectar a un matemático concebir el número de manera concreta o abstracta. Ante lo que le diremos que ello es un dato imprescindible para el entendimiento de las culturas antiguas, tanto que la llegada de la cifra (el número escrito que traen los árabes a Europa) supone un cambio y una revolución semejante a la creación de las calculadoras. Y dado que no es lo mismo realizar matemáticas sirviéndose de una computadora, que desarrollarlas de cabeza y con cuentas; se podrá comprender por qué el número escrito tal como hoy lo manejamos, transformó nuestra filosofía hasta llegar a hacernos incomprensible teorías como la pitagórica.
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El hecho de que nosotros digamos "uno" o "un" para todo -conceptos, objetos, personas o animales- produce a los japoneses una extrañeza semejante a aquella que podemos sentir cuando vemos que ellos denominan "huevos" (tamago) a lo que nosotros llamamos tortilla (sin observar que ha sufrido un proceso de transformación). Por lo que si uno confunde "los huevos" con "la tortilla" (en España), le pasará lo mismo que cuando creemos que "1" es lo mismo que "uno" ante las culturas milenarias; ya que no entenderemos más números que los abstractos. Momento en el que seremos incapaces de comprender una matemática fáctica. Sistema matemático que es de uso y no de comprobación abstracta, por el cual a través de trucos o métodos físicos, se puede llegar a averiguar las ecuaciones, los números claves y las resoluciones de problemas; sin ni siquiera conocer su explicación matemática. Todo lo que nos parecerá absurdo hasta que nos enfrentemos a un hombre con un ábaco; capaz de calcular cualquier cantidad antes que nosotros lo hagamos con una computadora. Ello porque la concepción del número en su civilización ha seguido siendo concreta y no abstracta, lo que les permite representar las cifras sobre cualquier cosa (objetos, cuentas, alambres o piedras) y "jugar" con ellas hasta poder sumar, restar, multiplicar o dividir; con mayor velocidad que una calculadora.
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Muy por el contrario, cuando los occidentales nos enfrentamos al ábaco, normalmente somos incapaces de darle el uso debido -al menos al comienzo-; porque para nosotros "uno" es "1", en sentido abstracto y absoluto. De tal modo, para calcular sobre aquella cifra, ha de escribirse o mentalizarse, y tras ello, comenzar el resto de operaciones a llevar a cabo de un modo técnico. Algo que no sucede en el "método fáctico" matemático, un sistema que defiendo como el existente en el mundo antiguo y entre las civilizaciones milenarias. Puesto que es mi teoría, la de que otra matemática hubo (la fáctica); un saber que llega a soluciones sin necesitar planteamientos y sin nisiquiera conocer la explicación científica de aquellos problemas que resuelve.
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BAJO ESTAS LINEAS: De nuevo y junto a la Pirámide de Saqqara (obra de Imhotep), la explicación simple de cómo hallar "pi" y "fi" sin precisar de conocimiento alguno matemático. En un caso, trazando un círculo con cuerdas y midiendo el perímetro para dividirlo por el diámetro, obteniendo un número muy cercano a "Pi" (+/- ≈ 3,141592654...). En el segundo, realizando un triángulo de "1" y "2" en ambos catetos (cuya hipotenusa es Ѵ5); midiendo y dividiendo el cateto "a" sumado a la hipotenusa, por el cateto "b"; cuyo resultado será +/- ≈ Fi (1,618033988...).
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Para conocer qué entiendo por matemática fáctica y qué propongo como teoría propia para solucionar y explicar el mundo científico en Egipto y Mesopotamia; hace días expuse un ejemplo de como encontrar "pi" simplemente trazando un círculo sobre la arena (valiéndose una cuerda y dos estacas atadas a sus extremos). Siendo así, bastará con clavar uno de los palos y luego ir girando alrededor, tensando la soga en la otra punta, mientras dibujamos con el del final, la circunferecia que este describe. Posteriormente bastará con medir ese círculo trazado, dividiéndolo por el doble del tamaño de la cuerda para tener un "pi" bastante exacto. Otras cifras como "Fi", vimos que se hallaban de manera muy parecida, simplemente trazando el primer triángulo irregular (cateto "a" 1; cateto "b" 2 y cateto "c" Ѵ5); tras lo que dividiendo la suma de un lado y su hipotenusa, por el otro cateto, tendremos "fi". Es decir: (a+h):b = (1+ Ѵ5):2 = 1,6180339... . Una cifra que hasta fines del Renacimiento no se logra razonar; lo que consigue Michael Maestlin (maestro de Kepler), quien la definirá exactamente como (1/2) + (Ѵ5:2).
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Por todo cuanto expusimos, las raices cuadradas se podían hallar de un mismo modo y simplemente dibujando o trazando cuadrados sobre las arenas del desierto; siendo muy fácil comprender el resultado aproximado de la "Ѵ2", para lo que bastaría dibujar un triángulo perfecto, cuyo lados fueran igual a 1 (codos, varas, o estadios); siendo la hipotenusa el valor de esta raiz cuadrada de 2 -que muchos consideran no pudieron resolver en la Antigüedad-.
Ello, a su vez haría concebir una magia en números a los que se asignaría un carácter sagrado; teniendo suma importacia aquellos que relacionasen la matemática (fáctica) con los ciclos del cielo, o con la vida cotidiana. Algo que habían asumido en el Mundo Antiguo, tal como demuestran sus religiones y sus cultos a determinadas cifras -por nejemplo al tres, al seis, siete o el diez y el doce-. Considerando quienes no abstrayeron la cifra, que el número pervivía y vivía dentro del hombre, de la Naturaleza y del Cosmos. Una idea que realmente diferencia al pensamiento Occidental de hoy al de las culturas milenarias, ya que en nuestra civilización el número es algo artificialmente creado para contabilizar o medir (una herramienta; identificando así las cifras con el número). Mientras en estas civilizaciones milenarias o asiáticas, el número existe por sí mismo y es anterior al pensamiento. Tanto, que en el interior del Cosmos se halla, como un misterio o -tal como decía Newton-, "como el alfabeto con el cual Dios ha escrito el poema del Universo". Por lo que el encuentro de las claves numéricas del Cosmos, relacionaría la armonía universal con otras verdades ocultas en de la vida. Todo lo que ha de mostrarnos hechos tan excepcionales como el de que la armonía musical tenga plena relación con la de los astros (motivo que llevó a Kepler y a Newton a poder generar sus teorías).
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Pese a todo, la existencia del número por sí mismo; para los egipcios se demostraría en hechos tan patentes, sencillos y fehacientes, como el de que la base mejor para el cálculo matemático es de diez; razón por la cual el hombre tendría diez dedos (con los que se sirve para contar). O que el principio de la geometría (del segundo plano) esté en el triángulo y en el tres, al igual que la creación de una nueva vida es la unión de tres (el hijo que nace de dos padres). Tal como la posibilidad de una nueva geneneración se produce cuando el vástago se une a otra persona, naciendo el nieto, para lo que se precisan cuatro; como cuarto es el plano de la cubicación y tercera su dimensión. Esos hechos tan simples, unidos a los ciclos del cosmos, concederían a las cifras un carácter tan sagrado como universal. Todo lo que podemos entender si pensamos por ejemplo que la Luna tiene un sínodo cercano a los veintiocho días (en mareas), iguales al periodo común de fertilidad en la mujer; identificándose así en las religiones antiguas Luna y Madre. Mientras el año del Sol era concebido como los 360 grados de la circunferencia; por los días que tardaba en dar un giro completo, a los que sumaban cinco días epagómenos o festivos que marcaban el final del año (llamado entre los romanos Saturnales y entre nosotros "natales").
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Finalmente, una serie de cifras tendrían carácter sagrado por su utilidad -como el 6 y 7, el 10 y el 12, ó el 3- ya que servían fundamentalmente para el cálculo de cuanto precisaban saber. Algo que podemos entender si comprendemos que la fórmula más común de comprender "Pi" en Egipto era "veintidós séptimos" (22/7= 3,142857...) -tal como reflejan sus edificios-. Siendo francamente fácil multiplicar así por "Pi", bastando con hacerlo por tres y por 1/7, y sumando ambas cantidades.
Es decir -por ejemplo-: Para multiplicar 247 por un "pi" = 22/7; se haría.
(247 · 3) = 741 // y (247 : 7) = 35,2857.. // (741+35,2857...) = 776,2857....
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Un resultado que mucho se acerca al verdadero que es 775,97338... y que se puede obtener de cabeza, bastando para ello simplemente saber dividir cualquier cifra en 7; para todo lo que resultaría imprescindible dominar a la perfección una tabla de fracciones del 7 (que es ciertamente fácil, ya que presenta una periódica sencilla en el resto). Lo que puede demostrarnos por qué un número como el 7 se ha tenido a lo largo de la historia como mágico, sagrado o misterioso. Procediendo además su carácter mísitico de regular los días de la semana, que se relacionaban con los ciclos lunares. O al ser -a su vez- la cantidad que se otorgaba a los planetas y a las notas musicales (pese a que muy claro está que el Sol no sea ningún planeta).
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Otras cifras como el 3, tuvieron una igual procedencia, naciendo su sacralización de la utilidad del triángulo; al igual que el 12 se idealizaría por ser una base altamente fracionable (habida cuenta que 12 se puede dividir por 2, por 3, por 4, y por 6 -teniendo un resto muy cómodo al partirlo por el 5, el 8 y el 9-; mientras 10 solo es divisible por 2 y por 5, dejando restos muy inexactos). LLegado a este punto, y una vez entendido de algún modo de dónde pudo originarse la teoría del número sagrado, procedemos al análisis de la armonía musical, tal como la veían: Unida a la cósmica y a los ciclos planetarios.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Miguel Maestlin, en un grabado de su época. Fue este profesor de matemáticas de Heidelberg, el principal maestro de Kepler y quien a fines del siglo XVI determina por primera vez que "Fi" equivalía a (1/2 + 1/2 de Ѵ5). Un número ya sagrado entre los egipcios; tanto que se contiene en la Gran Pirámide de Keops, al dividir la catenaria por su base (exactamente el "apotema : 1/2 de base"). También incluido en las proporciones del Partenón; se explica en "Los Elementos" de Euclides y en gran parte de la filosofía del Renacimiento, sin que nadie hubiera dado con la clave de que correspondia simplemente a {0,5+(Ѵ5:2)}. Un hecho más que demuestra la existencia de una matemática fáctica capaz de encontrar las claves y utilizarlas, sin conocer el medio de explicarlas. Ver cita (1).
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B) PARTE SEGUNDA. Visión de las notas como planetas:
1- La afinación actual y sus problemas filosóficos:
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Decíamos en nuestro pequeño estudio sobre temperamentos publicado hace años por la Fundación Joaquín Díaz (Creación, temperación e improvisación) (2) que: "La escuela pitagórica, y las posteriores escuelas filosófico-científicas, fueron creando distintos y alternativos medios de ir "reajustando" estas Escalas. Pero todos parten de este sistema que fue el más sencillo y, sin lugar a dudas, originó las que siguieron. De entre las posteriores, la afinación más conocida fue la pitagórica "henarmónica" (o enarmónica), que parece se crea tras la desaparición del Maestro de Samos, durante los siglos V y IV aC (atribuyéndose a sus discípulos, Terpandro de Lesbos, o bien a Arquitas de Tarento). Este segundo tipo de temperación pitagórica con "henarmonIa" fue la que dominó en la música y la más utilizada hasta bien entrado el Renacimiento. Básicamente nace del mismo proceso, aunque para el cálculo de los semitonos divide por 3 en vez de multiplicar. Es decir que en el ejemplo puesto y que seguimos, el "SI" se encuentra multiplicando por 3 en "MI" 12 veces (y al dividirlo por 2 sucesivamente otras tantas). Pero en la henarmónica se halla dividiendo "MI" por 3; y tras él se encuentran todos los semitonos, dividiendo de igual manera por 3 (y multiplicando por 2), es decir, a la inversa. Esta afinación ya hemos dicho que fue la que más prevaleció hasta la modificación de la música en escalas progresivamente reguladas, "derogándose" con el descubrimiento de la Escala Bien Temperada (que es casi la que modernamente usamos).
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En la hoja adjunta (imagen bajo estos párrafos), tenemos una tabla de correlación de longitudes en afinación "enarmónica", junto a la pitagórica y la Igualmente Temperada. El diapasón "Bien Temperado", nace de los intentos de los músicos renacentistas por crear un método de templar instrumentos progresivamente regulados, idea que parece ser que comenzó en España a la vez que en la Italia renacentista. Concretamente uno de sus iniciadores fue el músico español Bartolomé Ramos Pareja (1440-1491) que mientras ejerce de profesor en la Universidad de Salamanca, crea una sistematización para solucionar la división de la escala en 12 intervalos iguales y progresivamente aumentados (expuesto en su tratado De Música práctica publicado en Bolonia en 1482). Pero según Goldáraz Gainza (3), se puede afirmar que el primero en resolver de forma casi exacta la temperación igual (la Bien Temperada), fue Francisco de Salinas (1513 1590) . Pese a todo, será el matemático Simón Stevin (1548-1620) quien descubre el valor de la raíz doceava de 2, y con ella se llega a poder dividir la escala en 12 tonos regular y progresivamente igual templados (4). Este descubrimiento del valor de 2 elevado a 1/12 resuelve la ecuación para un igual temple, ya que siendo lo que vale la Octava = 2 ; y siendo 12 el total de notas.(recordemos que si un "MI" estaba en el 330 mm. y el siguiente hay que buscarlo en 330 x 2 = 660 mm.). Aplicando la fórmula 2 elevado a 1/12 = 1,059463094... (número que se denomina "Lambda"), llegamos a hallar su progresión regular perfecta. Bastando multiplicar cada nota por "Lambda" para hallar la siguiente
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"Muy importante es comprobar la citada tabla de hoja adjunta 1 y ver lo similares que son (al oído y en sus distancias), las pitagóricas y la Igual Temperada, pese a dos mil años de distancia histórica. La afinación que ahora usamos es "perfecta", desde el punto de vista acústico (como demuestra su gradual templado), pero tiene el grave problema de ser "falsa" desde el punto de vista filosófico y matemático. Ello nos atrevemos a afirmarlo, ya que no responde a ningún principio de armonía ni equilibrio que pueda explicarla física y matemáticamente, sino que nace de un simple sistema técnico. Por su parte, carece de semitonos, porque todos los intervalos son iguales. Es decir, que en nuestra opinión, en la igual temperada que hoy usamos, ni siquiera se comprende por qué hay doce notas. Así, si deseamos hacer de igual modo una escala de diez tonos, bastaría con aplicar la ecuación de 2 elevado a 1/10 = 1,071734..., e ir multiplicando así diez veces una nota para hallar el valor de las restantes. Este "sistema igual", rompe con la razón filosófica que desde el pitagorismo explicaba que la temperación se producía de forma natural en la Física y el Universo. Forma natural existente en las leyes físicas de armonía y equilibrio que parten de dividir o multiplicar el sonido por 2 y por 3. Un hecho tan sencillo como real, algo que se puede demostrar con un cordel o una barrita, sin necesidad de cálculo alguno y de manera física. Todo ello es imposible en la afinación Igual Temperada actualmente en uso; que nace de un número irracional y se basa en el logaritmo de 1 dividido por 12, sobre una longitud con valor 2".
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SOBRE ESTAS LINEAS: Tabla de afinaciones Pitagórica, Enarmónica y Bien Temperada. Las diferencias o distancias en intervalos entre unas y otras vemos que son apenas imperceptibles, aunque el oido las distinge perfectamente (tanto como el sentido de aquellas Escalas es plenamente distinto -desde el punto de vista científico y filosófico-). En primer lugar, tenemos la clásica de Pitágoras, que parte tan solo del principio de "Fi" aplicando 3/2 en cada sucesión. Es decir, multiplicando cada tono por 3 y luego dividiéndolo por 2, sucesivamente hasta llegar a encontrar los doce. En algo se diferencia la Enármonica, que se atribuye a Arquitas de Tarento o bien a Terpandro de Lesbos (discípulos aventajados de Pitágoras); ya que se basa en ir encontrado las seis primeras notas multiplicando por 3 el tono inicial (y dividiéndolo por 2). Tras lo que buscará los semitonos invirtiendo el proceso: Dividiendo por 3 el tono primero y multiplicándolo por 2 sucesivamente.
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Esta segunda afinación me llevó a entender y concluir que como identificaba los siete tonos con los siete plenetas, las cinco notas que tenían semitonos (correspondientes a nuestro FA, SOL, LA, DO y RE), pudieran haber sido vistas o concebidas como aquellos planetas que tenían dobles órbitas (por quienes creyeron que la Tierra permanecía inmóvil). Puesto que al observar el firmamento partiendo de que un centro del Universo en nosotros; su análisis bajo esta perspectiva obliga a pensar que Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno (e incluso el Sol), invierten sus órbitas -o las modifican-. Habida cuenta que de otro modo no puede explicarse por qué cuando la Tierra se encuentra en el sentido opuesto (el otro lado del equinoccio o del solsticio), aquellos planetas se ven girar de forma inversa -adelantando o atrasando sus sínodos-. Siendo ello lo que seguro desearon interpretar o simbolizar con la nueva afinación enarmónica, que encontraba de manera inversa los semitonos. Unas notas intermedias y con un valor menor, que se interpretarían como estos cambios en las órbitas de los cinco plenetas (que modificaban sus sínodos al onservarse desde una Tierra inmóvil).
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BAJO ESTAS LINEAS: Portada del Libro del profesor Javier Goldáraz Gaínza, sobre AFINACIÓN Y TEMPERAMENTOS HISTÓRICOS. Una de las mejores obras que se han publicado sobre el tema en nuestro idioma, es a su vez didáctico y muy concreto en sus exposiciones. A él nos referiremos de continuo en nuestros estudios sobre "temperación", habida cuenta que sus planteamientos son tan sencillos como claros y bien documentados, para llegar a comprender lo que fue la historia de los temperamentos a lo largo de los tiempos.
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Afinaciónes pitagóricas y los planetas:
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Afinaciónes pitagóricas y los planetas:
Por cuanto hemos ido exponiendo, si deseamos resolver esta mecánica celeste con nuestro planeta inmóvil, habremos e pensar que hay dos ciclos en algunos astros que al observarse así desde la Tierra, parecen cambiar en sus órbitas. Ello fue lo que pudieron intentar entender en los semitonos; todo lo que se explicaría mejor por qué pretenderieron hallarlos en sentido inverso -cuanto los equipararía totalmente a los cuerpos celestes-. Separando aquellos que veían un solo ciclo (Sol y Luna), de los otros que se observaban con dos tipos de sínodos. Por lo que el Sol solo tendrían un sonido, nota y órbita; siendo el punto desde donde comenzaría todo (el "SI" o el "MI" primeros). Algo similar correspondería a la Luna, semi fija y cuya órbita no cambiaba, que podemos considerarla en "SI" (o quizás "MI") sin doble tono. Tras ellos, se sucederían el resto de los planetas (LA,RE,SOL,DO FA), que tenían un modo natural y otro sostenido (DO#,RE#,FA#,SOL#,LA#) y que creemos hubo de entenderse como las "dos órbitas" que describían en el recorrido celeste.
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Volviendo a la idea inicial y al fragmento que analizamos del Timeos, en que dijimos como Platón, en la conformación de la Escala, tenía una visión de 5+1 y 6+1 notas (siendo "1" la inical o tono primero) (5). Aunque esta forma de enteder el Cosmos nos pudieran resultar tan extraña como ajena al texto; se correspondían con las últimas corrientes matemáticas y filosóficas de su época. Así, si durante el tiempo del genio Pitágoras los músicos afinaban encontrando las notas en modo de Quintas y como antes hemos expuesto (más tarde estudiaremos sus longitudes, progresiones y el valor numérico). Tras el maestro, y en el siglo de Platón (el V a.C.) se rectificó esta temperación y se creó una afinación mas armónica. Esa nueva afinación se denominó el Temperamento Enarmónico (enharmónico o henarmónico), y su imposición se atribuye a los discípulos de Pitágoras. Pese a darse este origen a la nueva forma de hallar la Escala, Platón -sin citar ni a unos ni a otros-, la describe con precisión en el Timaios. Para entenderla y comprender su diferencia con la pitagórica antigua, que hemos visto antes, vamos a explicar de nuevo su base. Pues la Enharmonía parece que resuelve mejor las distancias, al crear una afinación en la que sus intervalos se aproximaran mas a un doceavo (raiz doce de 2 ó dos elevado a 1/12), y para ello, parece que lo mejor fue ese sistema ya descrito de obtener cinco notas en una escala ascendente y seis en una descendente. Pareciéndose más a una progresión sucesiva en el diapasón (al multiplicar por 1/12), por lo que su sonido era más armónico.Todo lo que explicamos con mayor deteniento en los siguientes párrafos:
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Anteriormente, cuando hemos explicado la Afinación Pitagórica antigua (que parece absolutamente egipcia) habíamos visto que bastaba partir de una nota e irla multiplicando por Quintas (2/3). Pero, al parecer, los sonidos de esta escala son un tanto desajustados, por lo que deciden los discípulos de Pitágoras la correción de esa afinación y la resolución de la Enharmonía (ello, al menos, es lo que cuenta la Historia). De tal manera, al nuevo ajuste se realizó de forma muy sencilla y como hemos explicado: Obteniendo las cinco primeras notas en sentido ascendente y las seis siguientes en el descendente (que unidas a la inicial suman las doce). Para una mejor comprensión, veámoslo en ejemplo:
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CINCO NOTAS ASCENDENTES:
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("MI") , "LA , "RE" , "SOL" , "DO" , "FA"
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1·····2····3······4·······5······1·····2·····3·····4·····5·······1······2····3·····4·····5······1 ·······2
1ª -------------------------------- 2ª ------------------------------ 3ª ---------------------------- 4ª
MI - FA - FA# - SOL - SOL# - LA - LA# - SI - DO - DO# - RE - RE# - MI - FA - FA# - SOL - SOL#
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3·····4·····5·····1···· 2·····3···4······5···1 / ( 2·······3······4·······5····1)
LA - LA# - SI - DO - DO# -RE-RE# -MI-FA / (FA# -SOL-SOL# -LA-LA#)
------------------ 5ª ------------------------- 6ª / (-------------------------------12ª)
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SEIS NOTAS DESCENDENTES (sentido opuesto):
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("MI") , "SI" , FA# , DO# , SOL# , RE# , LA# , ("MI")
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1ª--------------------------7ª--------------------------8ª--------------------------9ª--------------------------10ª--------------------
1····2····3·····4·····5···1··2······3····4··5·······1······2···3···4····5····1······2····3··4·····5····1········2······3······4···
MI-RE# -RE-DO# -DO-SI-LA# -LA-SOL-SOL# -FA# -FA-MI-RE# -RE-DO# -DO-SI-LA# -LA-SOL# -SOL-FA# -FA-MI-RE-
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RE#-DO# -DO-SI-LA- (LA#-SOL# -SOL-FA# -FA) -MI
11ª-------------------------12ª / (--------------------------------6ª)
5·····1·····2····3···4····5···1 / (2····3········4·····5······1)
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Organo de Salinas en la catedral de Salamanca (institución a la que agradecemos nos permita divugar la imagen). Tal como afirma Goldáraz Gaínza, fue este músico que vivió durante años en Italia, quien resuelve casi de forma definitiva el diapasón "Bien temperado" en una regla muy cercana a la raiz doceava de 2. Su obra musical (de la cual tristemente no ha quedado nada, pues al ser ciego no pudo escribirla), debió de ser una de las joyas del Renacimiento, tal como la describe Fray Luis de León en su poema. Aunque su "sistema perfecto de afinación" si ha llegado hasta nosotros, transcrito por sus discípulos, y cuya base armónica en dibujo recoge precisamente la portada del libro de Goldáraz -arriba incluido-. Tristemente, pese a ser la teoría de Salinas practicamente la resolución final hacia un "Igual Temperamento", en España no se valoró suficientemente, tanto que el propio Espinel en uno de sus libros ("Vida del escudero Marcos de Obregón") llega a reise de aquella fórmula de afinar. Un sarcasmo y una satírica que quizas provenga de que en verdad fuera Salinas quien añadió la quinta cuerda al Cuatro (inventando así la primera "guitarra"). Puesto que nunca pudo hacerlo Espinel, ya que cuando este autor contaba solo cuatro años, se publicaron libros donde mencionan piezas para "guitarra" de cinco órdenes (en 1554, cuando Fray Juan Bermudo y Miguel de Fuentellana recogen en sus tratados obras para guitarra de cinco cuerdas dobles).
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Como hemos visto en el gráfico de esta temperación enhármónica, su forma de resolverla es hallar cinco Quintas arriba y seis abajo desde una que se elija como primera. Antes habíamos comenzado por el "SI", pero en la segunda forma, la nota inicial perfecta es el "MI" . Ello porque se desea encontrar por un lado cinco tonos y por otro siete semitonos. Así comenzando por "MI" se divide perfectamente el diapasón: Desde esta nota central (MI) hacia arriba, encontraremos en cinco notas naturales que tienen valor mayor y del "MI" para abajo, seis que son con un intervalo menor (incluido el "MI" son todos semitonos). De ello, y de que esta segunda serie se obtenga hallando Quintas descendentes la temperación queda diferente, como luego veremos y al perecer mucho mas armónica. Observemos que esta serie determina o "avisa", que la Octava está acabada, cuando tras seis Quintas descendentes, vuelve a aparecer el FA, ya encontrado en la anterior (con número de nota 6ª). Del mismo modo cuando seguimos en la serie ascendente la siguiente nota que nos dá es el LA# que es la número 12 y final de toda la temperación.
Por todo ello, para dar una equiparación a los planetas en la música de las esferas de esta escala, el "MI" sería en este caso el Sol, y el "SI" la Luna. De este modo, nos quedaría en la Escala Enharmónica, la siguiente equivalencia, para poder traducirla a Planetas:
(1ª) SOL = MI ······/·······(2ª) MARTE = LA ·······/······ (3ª) MERCURIO = RE ······/······
(4ª) JUPITER = SOL ·····/····· (5ª) VENUS = DO ·····/····· (6ª) SATURNO = FA
(7ª) LUNA = SI ·····/·····(8ª) SATURNO# =FA# ·····/·····(9ª) VENUS# = DO# ····/····
(10ª) JÚPITER# =SOL# ..../.... (11ª) MERCURIO# =RE# ····/···· (12ª) MARTE# = LA#
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De este modo, y por orden sería en el caso de la Escala Enhármónica:
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-SOL = MI
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-SATURNO = FA (y FA# en una segunda órbita)
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-JUPITER = SOL ( y SOL# "" "" "" )
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-MARTE =LA ( y LA# "" "" "" )
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-LUNA = SI
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-VENUS = DO (y DO# en su segunda órbita)
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-MERCURIO = RE (y RE# " " "" "" )
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- (Bis siguiente Octava) SOL = MI / VENUS = FA y FA# etc.
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ABAJO: EL monocordo Universal, del Tratado III de Robert de Fludd. Kepler relacionó las órbitas de los planetas en su obra Mysterium Cosmographicum con los acordes musicales, una idea compartida por Robert Fludd, cuya visión podemos ver bajo estas lineas. Donde se representan los astros, tensados por una fuerza (la que después llamaríamos gravitaroria) que "afinaba" e Creador. Dicha fórmula de templar el Cosmos fue resuelta finalmente por otro inglés (Isaac Newton) quien años después y siguiendo la misma teoría del "arpa universal" planteó la "Ley de los Graves". Cuya base en gran parte se parece a la teoría de un instrumento que se ajusta y se afina en relación a las distancias y a la fuerza que generamos en sus clavijas (que en el caso de los astros sería el equivalente al peso o masa). Siendo la teoría de Newton que la gravitación es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; un hecho no muy lejano a las fórmulas de afinación (principalmente cuando hablamos de templar instrumentos de percusión -como campanas, o martillos y celestas).
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CITAS:
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(1) : DESCRIPCIÓN DE LA SECCIÓN AUREA EN EUCLIDES (Elementos Euclides Lib.V; recogido entre otros por Luca Pacioli en su libro "La Divina Proporción"; Akal 1991)
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A_______________B_____________________C
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(linea con tres secciones que son):
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______________AB
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______________________________________AC
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______________________BC
Cuando la distancia de A a C, dividida entre la que hay entre B a C; es igual a la longitud de B a C,dividida por la que hay de A a B. Es decir:
AC / BC = BC / AB
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Este hecho no se da entre 1, 2, 3 como parece indicar Platón; sinó que es algo que existe en cifras proporcionales a "FI"=1,6180339887....
Es decir cuando
AC/BC = BC/AB = 1,681...= F
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(2): Angel Gómez-Morán Santafé: Creación, temperación e improvisación en SIMPOSIO SOBRE PATRIMONIO INMATERIAL; LA VOZ Y LA IMPROVISACIÓN (pags. 34 y ss) Fundación Joaquín Díaz Valladolid 2008.
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(3): Sobre este tema, consultar el capítulo IV " El humanismo musical renacentista. Justa entonación y división múltiple de la octava ", y sus epígrafes sobre Ramos Pareja y Francisco Salinas, del libro: Afinación y temperamentos históricos , J.Javier Goldáraz Gainza; Alianza música. Madrid 2004.
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(4): Sobre Simón Estevin, consultar obra citada de Goldáraz Gainza, Capítulo VI, la ciencia acústica en el siglo XVII y teóricos importantes del XVIII", Afinación y temperamento en la música occidental (el siglo XVIII), J. J. Goldáraz Gainza, Ed. Alianza Editorial, Madrid, 2004
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(5): FRAGMENTOS DEL TIMEOS YA MENCIONADOS:
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*- (31): "el Demiurgo (dios) comenzó a formar el cuerpo del universo, lo hizo de fuego y tierra. Pero no es posible que dos elementos solos se unan sin un tercero, pues es preciso que haya en medio de los dos una atadura que los una. La atadura mas perfecta es la que consigue que ella misma o lo unido se conviertan en una sola cosa" .
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*- (32): "Siempre que el término medio de tres números cualesquiera, enteros o cuadrados, haga que el primero se relacione con él mismo y con el último, y a su vez que el último se relacione con el término medio, y éste con el primero, siendo entonces el primero y último el término medio, y el último y el primero, por su parte, término medio, sucederá entonces, que necesariamente todos serán lo mismo, y siendo lo mismo entre sí, todos serán una sola cosa".
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*- (33-34): Sobre la Creación del universo escribe: "lo fabricó con forma esférica, distando exactamente lo mismo desde el medio hasta el final, y redondo, la forma mas perfecta y semejante a sí misma de todas las figuras, pensando que lo semejante es diez mil veces mas bello que lo distinto". Para seguir hablando de que nuestro planeta y los "seis" que le rodean del siguiente modo: "lo removió e hizo que se moviese por sí mismo en círculo volviendo sobre sí, le quitó los otros seis movimientos y lo hizo estable con relación a aquellos"
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*-En el fragmento (40) desea dar una relación de cuales son los planetas y de sus órbitas, pero tras apuntar algunos, desiste presentarlos todos y explicar sus elipses, por considerarlo (según escribe) un tema que extendería en demasía su estudio -la conclusión que se obtiene es que no domina la astronomia suficientemente como para aplicar en ella las proporciones de la temperación musical transportada a los "siete" cuerpos celestes- .
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