Hipótesis arquelógica sobre las primeras temperaciónes y escalas musicales (capítulo 4)

BAJO ESTAS LÍNEAS: La proporción de la octava, basada como todos sabemos en 1/2. Esta función tan sencilla de obtener, se consigue "partiendo" (pulsando) una cuerda por su mitad y tras volver a tocarla allí apretada, veremos que suena la misma nota, aunque en una octava más alta. Siendo así, entre esta que hemos hecho sonar y la anterior, se encuentra una escala entera (del DO_{1 a DO2, por ejemplo).
Viéndola en la foto es tal como antiguamente se explicaba, por distancias en las cuerdas, ya que no existía una medida de vibración (o de frecuencia de onda). Igualmente se regulaban o temperaban otros instrumentos, proporcionalmente a las distancias en los orificios de la flautas (o en el volumen y peso, en el caso de la percusión).}

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Su relación y búsqueda de tonos es absolutamente sencilla, tanto que bastará con tensar una cuerda y pulsar en su centro, para saber que desde allí, hasta su mitad (donde hemos pulsado) se halla una escala con todos los intervalos musicales (tanto si la queremos hacer de cinco notas, como si deseamos una de doce -tal como es la nuestra-). De tal manera, en la imagen observamos la guitarra con las cuerdas "libres" en una longitud de 66 centímetros -entre el puente y la cejuela-. Por lo que en el centímetro 33 suena la misma nota que en el 66, y entre ambos se encuentran las doce notas (de ello que en el 33 se encuentre el traste 12).
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Así, la proporción primera es 1/2, y desde allí sabemos que tendremos que generar o buscar la escala, para lo que ha de volverse a pulsar en el centro, de esos 33 centímetros; descubriendo que en su medio (en el centímetro 16,5 = 33/2) está la siguiente nota armónica -que en el caso de partir desde el MI de la 6ª cuerda de la guitarra, sería un LA (traste 5º = LA)-. Esta proporción que es el principio del modo de temperar y buscar la escala, y que Platón considera utilizó dios (su Demiurgo) para crear el Cosmos; componiendo, uniendo y mezclando la materia celeste. Veamos cómo lo explica el filósofo ateniense en la entrada de hoy.
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Continuamos con el análisis de la descripción del modo de temperar, tal como la describe uno de los textos más esotéricos y complejos del platonismo. Siendo este el que venimos tratando del Timeos y en el cual el filósofo ateniense expone de qué manera el dios (demiurgo) creó el Universo a imagen y semejanza de la forma en la que se proporcionan las afinaciones musicales. Dividiendo la materia en porciones y fragmentos que equivalen a los intervalos musicales. Es decir, a la distancia que hay entre unas escalas y otras, tanto como el modo en que en ella se hallan las notas. Empezando por decirnos:
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- TIMEOS (31): "el Demiurgo (dios) comenzó a formar el cuerpo del universo, lo hizo de fuego y tierra. Pero no es posible que dos elementos solos se unan sin un tercero, pues es preciso que haya en medio de los dos una atadura que los una. La atadura mas perfecta es la que consigue que ella misma, o lo unido, se conviertan en una sola cosa" .
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El hecho cierto es que en la anterior frase, que pudiera parecer alude al vástago que nace de dos progenitores; esconde el misterio o el secreto de la sección áurea, que en Grecia era tenida como dogma indiscutible para medir los cánones de belleza y armonía. De ello, que nos refiera como dos elementos han de unirse a través de un tercero, aludiendo de algún modo al triángulo que forman Madre-Padre-Hijo. Pero sobre todo a la fusión que permanece cuando A, B y C tienen una conexión proporcional y armónica, haciéndose uno solo. Todo lo que Platón describirá unos párrafos más adelante (en el mismo Timeos), cuando nos dice que su dios creó el Universo "distando exactamente lo mismo desde el medio hasta el final" (Timeos, 33). Con lo que a mi juicio desea expresar claramente el dogma de , relacionado esta sección áurea con la proporción de las escalas musicales, como principio y medida del Cosmos.
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En referencia a la unión entre y la temperación musical, creemos que se encuentra en unos mismos intervalos (proporciones). Ya que la de la Octava musical (la escala de doce notas completas), podemos ir regulándola si partimos una cuerda por su medio y esta a su vez de nuevo en su centro, para volver a dividirla de nuevo por la mitad (así hasta doce veces). Todo lo que a mi juicio se relaciona plenamente con la Sección áurea, que tal como Euclides la definía y por cuanto la entendemos basada en el siguiente principio que exponemos (la proporción 1, 2). Siendo así analizamos la frase de Platón relacionándola con el modo de hallar los temperamentos pitagóricos en la música:
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-SI EL UNIVERSO MIDE PROPORCIONALMENTE LO MISMO DESDE SU CENTRO HASTA SU FINAL, Y DESDE SU COMIENZO AL FIN; ELLO SE RESUELVE POR LA FUNCIÓN QUE MÁS ABAJO VEREMOS, LLAMADA DIVINA PROPORCIÓN, SECCIÓN ÁUREA, NUMERO DE "FI-DIAS",  , ETC.
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-PESE A ELLO, AÚN QUEDA UNA PRIMERA DUDA Y QUE PLATÓN EXPRESA CUANDO DESCRIBE QUE HAY TRES PARTES, PERO DOS DE ELLAS SON LA MITAD DE UNA MISMA. ESTA FRASE DE DIFÍCIL ENTENDIMIENTO LA COMPRENDEMOS FACILMENTE SI LA EXPLICAMOS SOBRE UNA CUERDA DE UN INSTRUMENTO, RELACIONÁNDOLA CON EL MODO DE TEMPERAR O BUSCAR LA ESCALA (tal como veíamos en la foto superior). PARA PODER ENTENDERLA PLENAMENTE AÑADIMOS UNAS IMÁGENES Y NOTAS EXPLICATIVAS A CONTINUACIÓN:
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SOBRE ESTAS LINEAS: De nuevo las proporciones de los intervalos pitagóricos, hallando cuatro notas:
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-Primeramente el MI con la 6ª al aire (66 centímetros) MI EN ROJO
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-Siguiente MI con la 6ª pulsada en el 12º (33 centímetros) MI AMARILLO
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-Siguiente nota, pulsada a 1/2 de la anterior (16,5 ctms) LA EN VERDE
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-Siguiente hallada sumando 1/2 de la distancia anterior más ella misma, es decir 16,5 + 8,25; lo que nos da un tono a 24,75 y que es DO EN AZUL
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A continuación vemos la razón de estos intervalos y su relación con "fi"
.Siempre que la distancia (cuerda) A sea igual a 66 centímetros.
________________________________________________
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y la distancia B, su mitad; que se corresponde a 33 centímetros
._______________________
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Se produce el hecho musical de que A ≈ B ; pues B = A2 .
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Es decir, que si A es un MI ; B será el siguiente MI2 .
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Así, entre esos centímetros, del 66 al 33, se encuentran todos los intervalos musicales (las doce notas). Algo que vemos en la fotografía de arriba.
. Entendido lo anterior, que es una evidencia fácil de comprender, pues bastará coger una guitarra y ver que a la mitad de distancia entre el puente y la cejuela del mástil, se hayan doce trastes (las doce notas del diapasón).
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Nos faltará observar cómo nacen en el pitagorismo los siguiente tonos, que se hallan del mismo modo y partiendo de nuevo las cuerdas por su medio.
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Es decir:
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Siendo A (66) MI y B (33) el siguiente MI (una octava más alto)
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La nota que habrá en 1/2 de B (16,5) es su "quinta", es decir: LA.
_______________________________________________ A = 66 ctms (MI)

_________________________ B = 33 ctms. (MI)

_____________ C = 16,5 ctms. (LA)
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La razón por la cual es la ármonica "quinta" se basa en que este LA suena y corresponde en una longitud total de cuerda de 33+16,5 = 49,5 centímetros (que es la distancia que hay desde el punto en que pulsamos y el puente; es decir lo que vibra la cuerda libre, allí tocada).
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De lo que (3/4·66 ctms) = 49,5 ctms. // Es decir, que (MI·3/4) = LA
. Con ello ya vamos viendo el modo de ir hallando los diferentes intervalos armónicos en la antigüedad, pues bastará volver a dividir C en dos partes y sumando C + 1/2 C, para que aparezca la siguiente nota.
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Esto es:
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Tras dividir del mismo modo en mitades y pulsar así laq cuerda
.___________________________________________________ A = 66 ctms
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_____________________________ B = 33 ctms.
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______________ C = 16,5 ctms.
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_______ 1/2 de C = 8,25 ctms
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Nos quedará que si unimos C + 1/2C = 16,5 + 8,25 ctms. el siguiente tono sera D que estaría en afinación pitagórica en en el 24,75 y es DO
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Es decir:
.______________ C = 16,5 ctms. (LA)
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_______ C/2 = 8,25
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_____________________ D = (C + C/2) // D = 24,75 ctms. (DO)
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Pese a lo antes visto, y como comprenderemos, la cuerda que vibra es la que va desde el punto de estos 24,75 centímetros al puente; es decir, con una longitud de 66 ctms., menos 24,75 ctms.. Lo que supone que la cuerda libre que suena allí pulsada mide 41,25 centímetros.
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Siendo así, este DO pitagórico que hemos hallado, se correspondería a 5/8 del MI primero. Ya que 66 · 5/8 = 41,25.
.La siguiente nota la buscaríamos de manera igual; partiendo D en dos y sumándolo a sí mismo.
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Es decir: (D/2 + D) = E
.______________ D = 24,75 ctms.
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_______ D/2 = 12,375 ctms.
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__________ E = (D + 1/2D) // E = 37,125 ctms. (SOL)
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De igual manera y como venimos explicando en los casos anteriores, este SOL pitagórico sonaría pulsando en el centímetro 37,125 desde la cejuela, pero realmente la distancia hasta el puente (la medida de la cuerda que vibra en Sol) sería de 66 menos 37,125; es decir SOL = 28,875 ctms..
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Siendo así, la relación entre el MI primero y este SOL es de 21/48 ya que:
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(66 · 21/48) = 28,875
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SOBRE ESTAS LINEAS: Dibujo por el cual demostramos que la sección áurea, o número "Fi" se desprende directamente de la proporción 1, 2.
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Pues como podemos ver la imagen, si trazamos un triángulo con estas proporciones estamos describiendo "FI". Es decir que a mi modo de entender este número de Fidias, es igual al resultado del triángulo 1,2.
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Cateto A = 1
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Cateto B = 2
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Hipotenusa = Ѵ 5 = Ѵ (1^{2 + 22 )}
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DE LO QUE SE DEDUCE QUE EL TRIÁNGULO ES EN SÍ MISMO  PORQUE
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(Hipotenusa + Cateto A) : Cateto B = 
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(Ѵ 5 + 1) : 2 = 1,6180339887.... = 
...
LO QUE ANTES HEMOS EXPUESTO MUESTRA LA RELACIÓN PLENA ENTRE LA PROPORCIÓN 1, 2 CON LA SECCIÓN ÁUREA Y LA DE ESTA CON EL TRIÁNGULO SEGUNDO.
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YA QUE EL PRIMER TRIÁNGULO SERÍA:
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CATETO A=1 ; CATETO B=1; CUYA HIPOTENUSA ES Ѵ2.
EL SEGUNDO TRIÁNGULO ES AQUEL DE:
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CATETO A = 1 ; EL CATETO B = 2; HIPONENUSA = Ѵ 5 .
.SIENDO ESTE UN PRIMER TRIÁNGULO DESIGUAL QUE CONTIENE EN SI MISMO LA SECCIÓN ÁUREA CUYO NÚMERO YA VIMOS Y CUYA DEFINICIÓN CONFORME EUCLIDES ES LA SIGUIENTE:
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.DESCRIPCIÓN DE LA SECCIÓN AUREA EN EUCLIDES (Elementos Euclides Lib.V; recogido entre otros por Luca Pacioli en su libro "La Divina Proporción"; Akal 1991)
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A_______________B_____________________C

(linea con tres secciones que son):
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_______________AB
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______________________________________AC
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______________________BC
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Cuando la distancia de A a C, dividida entre la que hay entre B a C; es igual a la longitud de B a C,dividida por la que hay de A a B. Es decir:
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AC / BC = BC / AB
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Este hecho no se da entre 1, 2, 3 como parece indicar Platón; sinó que es algo que existe en cifras proporcionales a "FI"=1,6180339887....
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Es decir cuando
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AC/BC = BC/AB = 1,681...= 
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Mas adelante estudiaremos el sentido geométrico de este número, su significado filosófico y su aparición en temperaciones antiguas; aunque ya hemos visto la relación plena entre esta Sección Áurea y la forma de temperar que se basa en partir por mitades la cuerda (o las longitudes de cañas, orificios, pesos y volúmenes en otros instrumentos que no sean de cuerda).
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Efigie de Platón pintada por Rafael en su obra "La escuela -o academia- de Atenas"; fresco del Museo Vaticano (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen) sito en La Stanza della Segnatura. El rostro del personaje está representado en Leonardo da Vinci, cuyas facultades de sabio (anciano) son reconocidas por Rafael, al situar en la cúspide de los filósofos y como Platón, al pintor de Vinci. Observemos que en su mano sostiene precisamente un ejemplar del libro que estamos analizando: El Timeos. Uno de los más esotéricos y complejos textos de Platón, que generó gran parte de las ideas pitagóricas en las que se basaron las Escuelas Neoplatónicas durante la Italia del Renacimiento.
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PERO CONTINUEMOS CON EL TEXTO DE PLATÓN, ESTA VEZ CON EL PASAJE DE TIMEOS (33-34) Donde sobre la Creación del Universo escribe: "lo fabricó con forma esférica, distando exactamente lo mismo desde el medio hasta el final, y redondo, la forma mas perfecta y semejante a sí misma de todas las figuras, pensando que lo semejante es diez mil veces mas bello que lo distinto". Para seguir hablando de que nuestro planeta y los "seis" que le rodean del siguiente modo: "lo removió e hizo que se moviese por sí mismo en círculo volviendo sobre sí, le quitó los otros seis movimientos y lo hizo estable con relación a aquellos".
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En la primera frase leemos cómo Platón concibe el Universo esférico (mas tarde veremos que se refiere "al todo" y al giro de los cuerpos celestes). Posteriormente lo describe como redondo, pues a su imagen y semejanza son sus planetas, dado que la belleza de algo semejante es mayor que aquello que no lo es. Lo dibuja de nuevo con la proporción 3, de esa forma circular; porque desde su centro hay la misma distancia al principio que al final (tal como ocurre en el número 3 y en el círculo). Es de destacar, que el concepto de esfericidad del Universo y de sus planetas, parten no solo de la idea de la perfección de esta figura, sinó además de una conclusión intuitiva que expresa por qué la Tierra es redonda, a imagen y semejanza de todo el cosmos. Una esfericidad de la Tierra, que se describe ya desde los comienzos del pensamiento heleno (desde los principios de la Escuela Jónia), siendo muy extraño encontrar filósofos griegos que nos hablen de una Tierra plana -al margen de algunos de época y enseñanzas muy arcaicas-.
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Por otra parte y entrando en lo que se refiere al movimiento de rotación y de traslación -en la Tierra y los planetas-, la segunda frase describe cómo el Demiurgo "removió el nuestro" (le dió movimiento) e hizo que girase sobre sí mismo, pero lo dejó fijo en el centro de los otros seis que giraban entorno a él. La teoría que nos presenta es geocéntrica; como la grecolatina que prevaleció desde los siglos primeros de nuestra Era, tras la aceptación generalizada de la obra de Ptolomeo. Frente a otras muchas tesis existentes desde siglos anteriores, que hablaban de una Tierra con traslación y rotación. Tanto era así que la Escuela Jonia, en tiempos de Platón ya defendía la teoría heliocéntrica; una idea que definitivamente describe Aristarco de Samos a comienzos del siglo III a.C., aunque fue rechazada por la gran mayoría de los astrónomos (costándole severas críticas y hasta acusaciones de impío).
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Por su parte, "los seis" de los que habla Platón en el framento que comentamos, son los Planetas-dioses; aquellos que junto con la Tierra y el astro Sol, conformaban el firmamento divino y que dieron nombre a nuestros dias de la semana: lunes (Luna), martes (Marte), miércoles (Mercurio), jueves (Júpiter), viernes (Venus), sábado (Saturno). Observamos que falta un sexto, el astro rey, que dío nombre al día del que nos "domina" o del Sol (domingo o sunday). Ademas, hemos de incluir a la propia tierra, aunque los conocimientos celestes que el Timaios expresa son un tanto escasos. De tal modo, en el fragmento (40) desea darnos una relación de cuales son los planetas y de sus órbitas, pero tras apuntar algunos, desiste presentarlos todos y explicar sus elipses, por considerarlo (según escribe) un tema que extendería en demasía su estudio -aunque la conclusión que se obtiene al leerlo en nuestros días, es que Platón no domina la astronomia suficientemente como para aplicar en ella las proporciones de la temperación musical transportada a los "siete" cuerpos celestes- .
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BAJO ESTAS LINEAS: Portada tomo II, de las "Decretales de Gregorio IX", en su Edición de Londres, 1671. Este libro se trata de un clásico medieval del mundo del Derecho y sobre el cual se glosó gran parte de la jusrisprudencia posterior; aunque coriosamente está presidido por un grabado en el observamos a Ptolomeo (a nuestra izquierda) y en el lado opuesto a Euclides. En su centro podemos ver la Esfera armilar, con la disposición y giro de los planetas tal como Claudio Ptolomeo explicó. Una teoría geocéntrica que también contiene el Timaios y que permaneció admitida generalmente como verdadera, hasta Copérnico. Aunque, como hemos dicho, la Escuela Jonia, desde el siglo VI a.C. (y sobre todo, con Aristarco de Samos) ya preconizaba el heliocentrismo. 
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Tal como expresamos, Platón afirma rotundamente como verdad el geocentrismo, cuando expresa que el Demiurgo "le quitó a la Tierra" el movimiento de translación (que los otros seis tenían) y la "dejó estable" (fija) con relación a ellos. El problema general de esta teoría que se impuso en época romana es que las coordenadas celestes con la hipótesis de una Tierra fija eran complejísimas, pues no solo el Sol habia de trasladarse, sinó los planetas ir cambiando de órbitas (girando a veces en sentido inverso); para que todo coordinara con una Tierra central e inmóvil. Aunque como decimos, la otra idea de nuestro Planteta trasladándose, no impera hasta Copérnico (y Galileo); pero era seguida igualmente por astrónomos alejandrinos, al menos cientos de años antes de Ptolomeo.
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La explicación de deducir que nuestro planeta se movía alrededor del Sol es bién sencilla, porque con una Tierra con rotación y traslación las coordenadas celestes se simplifican totalmente . De ello hay testimonio escrito entre los filósofos jonios asentados en Egipto, especialmente de algunos como Eratóstenes de Cirene quien delimitó la circunferencia de nuestro planeta, los ciclos, su movimiento de giro traslación anual. Muy normal era que esta teoría se defendiera entre los jonios y egeos, por ser estos griegos expertos marineros de altura. Debido a que con la hipótesis de una Tierra fija resultaba muy difícil guiarse en el mar a través los astros y comprender bien el orbe celeste (dada la dificultad de coordenadas que planteaba). Por ello las navegaciones por cuadrante y los estudios de astronomía sufrieron un gran atraso tras la aceptación general de sistema geocéntrico ptoloméico.
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Bien es cierto que gracias a "la paz romana" y al dominio del Mediterraneo por el imperio latino, se pudo viajar costeando desde Siria a Cádiz, sin apenas conocimientos astronómicos; y que con la red de calzadas, pocos hubieron de guiarse en el campo por los astros. Permitíendo todo ello ir desde Híspalis hasta Roma, por caminos consultando tan solo los miliarios con señales que marcaban "kilómetros" y direcciones. O navegar desde Tiro a Gadir de cabotaje, fondeando en cada puerto escala, sin consultar ni un cuadrante, ni un solo astro; bastando con no perder la linea de costa para llegar de un punto a otro del Imperio.
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Pero el resultado de tanto avance cívico, era que no se precisaba de guias ni de astrónomos durante siglos. Todo lo que supuso una gran pérdida de conocimientos matemáticos y astronómicos (empíricos), que en la más remota antigüedad eran imprescindibles para cruzar el mar o el desierto. Con ello y tras caer el Imperio Romano, al perderse el mantenimiento de las calzadas, puertos y las obras públicas -reinando la inestabilidad por doquier-, rápidamente se volvió a tiempos anteriores (a Roma, Grecia, o Egipto); sufriéndose una regresión científica sin precedentes. Tanto que en algunas zonas de Europa podemos afirmar que volvieron al estado de conocimientos y de ciencia similar al que tuvieron al comienzo de la Edad de los Metales (antes del Hierro).
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BAJO ESTAS LINEAS: Imagen de la calzada romana del Puerto del Pico, en Ávila. Como decimos, la Paz Romana permitió que se navegara por todo el Mediterráneo de Cabotaje, sin precisarse conocimientos de astronomía; ya que se podía ir costeando desde Cádiz hasta Alejandría y de allí a Barcino. Del mismo modo, las gentes del campo no tuvieron que volver a orientarse por el cielo, ni preocuparse por estudiar los astros; al existir una red de calzadas y de caminos bien distribuidos (marcados por todo el territorio, que les guiaba de un punto a otro). Ello hizo que en dos o tres siglos ya nadie precisase del cuadrante o del estudio de los astros, y tras la caida Roma este "estado de comodidad" conlleva el más terrible atraso (a cuenta de que no había astrónomos más que en las grandes urbes y de que las gentes se habían olvidado de estudiar el cielo para poder guiarse -en el mar o en tierra-). 
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Por su parte, en otras areas europeas donde se mantuvo "intacta" la cultura latina por influencia de La Iglesia o de Roma; al haber heredado los científicos una teoría geocéntrica muy dificultosa de comprender, ello hizo que se crearan dogmas insalvables durante milenios (repasemos el caso de Galilei o de Copérnico). Con ideas tan fijas como el Orbe terrestre de Ptolomeo; el geocentrismo, en el que basaban la teoría de que el Hombre fuera el centro del Universo. Así, tras la caida de Roma, la Humanidad Occidental se hundió paulatinamente en un atraso astronómico, entrando el umbral de las brumas medievales. Ello, a excepción de los pueblos árabes o de quienes tenían contacto con Oriente Medio; quienes mantuvieron su necesidad de estudio (habida cuenta que cruzaban el desierto).
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Pero en Europa, incluso se identificó a quienes estudiaban los astros con brujos; entrándose en una regresión que volvió a afirmar que nuestro planeta era plano (una idea que había desaparecido con toda seguridad, desde el nacimiento de las civilizaciónes del desierto -hace cinco mil años - en Egipto y Babilonia ). Esa ignorancia solo fué compensada por los conocimientos aportados por los árabes a su entrada en Europa -teniendo la fortuna España de ser invadida entonces por quienes eran los más cultos y civilizados-. Una sabiduría de la que gozaban los musulmanes del medievo, que precisamente procedía del lugar en que se originaron aquellas civilizaciones mas antiguas: Mesopotamia, La India y El Nilo . Así fúe como hasta la aparición de la brújula y de las escuelas de astrónomos y navegantes del Renacimiento; no hubo medios certeros seguros para hacer singladuras de altura en la mar ni menos en el desierto -tanto, que hasta el siglo XVI, no pudieron confirmar qué tierras había al otro lado del Atlántico-.
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BAJO ESTAS LINEAS: Portada de la obra de Aristarco de Samos "SOBRE EL TAMAÑO Y LAS DISTANCIAS DEL SOL Y DE LA LUNA"; en edición reciente, publicada por la Universidad de Cádiz. Curiosamente, si observamos su portada, esta contiene un precioso grabado con un astrónomo que a todas luces parece árabe y que lleva -a más del cuadrante en la mano- una esfera armilar del tipo de las de Ptolomeo (muy posteriores a Aristarco). Destacamos a este filósofo ya que sus teorías se adelantaron en milenios. Pues siguiendo la escuela Jonia, preconizó no solo el heliocentrismo, sino que también pudo calcular las distancias a la Luna y al Sol -tanto como sus diámetros-, valiéndose de la paralaje (aunque con tremendos errores). LLamándonos sobremanera la atención, que todos los filósofos griegos que pudieron calcular el tamaño del arco terrestre, las distancias planetarias o que se opusieran al geocentrismo estuvieran formados en Alejandría; más concretamente, que hubieran estudiado en su biblioteca. Todo lo que hace pensar que tanto Aristarco, como Eratóstenes de Cirene, pudieron obtener sus conocimientos desde papiros antiguos, donde se contuvieran los secretos de astronomía alejandrinos, ya que ambos estudiaron en aquella ciudad y fueron funcionarios de su biblioteca.
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Volviendo al texto platónico, muy importante son dos datos en este fragmento que comentamos (Timaios 32): El primero es la analogía en la Antigüedad entre la expresión "universo" y lo que actualmente entendemos por "Mundo". Los conceptos de "Mundo" y Universo son modernos y nacen en el Renacimiento; por lo que cuando habla de la Creación del universo, hemos de interpretarlo como el origen la de la Tierra y -luego- del Cosmos (que la rodea y acompaña). Puesto que el Universo era aquello que había alrededor de nuestro planeta, tal y como expresan los Orbes Ptoloméicos, que podremos ver hasta en el siglo XVII (bastando para comprobarlo, observar arriba la imagen del libro de Gregorio IX editado, en 1671). Por lo que hemos de recordar así la idea de "los universos con una Tierra" central y con los planetas girando entorna a ella, figurados como anillos circundantes (como por ejemplo la de El Escorial). Partiendo de esa figuración del Cosmos, entenderíamos la primera frase, que menciona, como un hecho que para Platón es seguro (la esfericidad de la Tierra). Por lo que nos dice: El Universo (o el Mundo y lo que le rodea) "lo fabricó con forma esférica, distando exactamente lo mismo desde el medio hasta el final, y redondo, la forma mas perfecta y semejante a sí misma de todas las figuras" . El fragmento "intuye" el hecho de que la Tierra ha de estar en el medio y que lógicamente es esférica, al igual que todos los cuerpos celestes que la circundan.
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El otro dato de importancia es el de hablarnos de los seis planetas restantes, que giran; lo cual deja en duda y al descubierto la naturaleza del Sol. Pues, o bien el Sol está entre ellos, o bien habríamos de restár al total alguno de los seis planetas (griegos o egipcios). Si hubiéramos de opinar sobre este fragmento, tendríamos que inclinarnos a decir que aporta ideas, que aunque las conoce bien, no las domina perfectamente; hasta el punto de llegar a confundir los planetas y su número (de ello creemos que se deriva quizás el oscurantismo que siempre ha envuelto al Timaios, y que le hace ininteligible en algunos fragmentos). Lo que afirmamos es algo que puede demostrarse, pues cuando pasemos a la parte que concierne a la temperación y a la música, veremos que asímismo llega a un momento en el que el texto Platónico se convierte en indescifrable; por falta de claridad y conocimientos -algo que se manifiesta cuando mezcla datos del número y la música, sin poder explicar exactamente su significado-.
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Es nuestra opinión que en este caso cuando nos habla de los seis planetas, mas la Tierra (el universo); incluye entre ellos al Sol. Posiblemente atendiendo a teorías egipcias, de donde procedía la filosofía pitagórica y que explicaba cómo el primer intervalo armónico era igual a la distancia entre la Tierra y el Sol. Porque según decía el sabio de Samos, la misma proporción de longitud había entre nuestro planeta y su estrella, que entre la primera y la segunda nota encontrada en la temperación (-la Quinta que estudiaremos y explicaremos más adelante- lo que se correspondería en nuestra escala entre un DO a un MI o entre el MI y el LA -como antes ya vimos-). Por su parte, el hecho que menciona narrando que el Universo dista "exactamente lo mismo desde el medio hasta el final"; hace alusión clara al movimiento de giro perfectamente circular de los planetas, entorno a un punto central (la Tierra). Pues tras escribir el "universo es esférico", pasa a describirlo como "redondo"; lo que lleva a concluir que alude a la redondez de Tierra y la de "sus satélites", tras lo que pasa a hablar de un sistema planetario, con cuerpos girando perfectamente, en círculo. 
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Finalmente, deseamos añadir que las teorías geocéntricas, al considerar la Tierra en el centro del Cosmos, otorgaban una importancia incomensurables a aquellos lugares en los que antiguamente se marcaron como centro de nuestro planeta. Consecuentente, se producía un terrible problema al presentarse ideas heliocéntricas, ya que dejaban sin aquel valor a los templos y zonas sagradas, que se consideraban el eje del Universo. Puntos centrales de las civilizaciones, que para los helenos estaba en el templo de Apolo de Delfos; que guardaba el "onfalos", u ombligo de la Tierra. Un "huevo primigenio" que realmente fueron dos piedras con forma semiesférica, custodiadas en aquel lugar sacro por las pitonisas. Adivinas que promulgaban los oráculos en una melopea incomprensible y que dictaban en trance, mientras sostenían un hilo que las ataba a aquel "omphalos" (como si se tratase del cordón umbilical que las unía al útero o a las entrañas maternas; representadas quizás en aquellas piedras ovoides).
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Por cuanto narramos no nos extrañará entender la importancia que tenía mantener la idea de un Mundo como centro del Cosmos. Todo lo que daba un enorme significado -por ejemplo- a la grieta volcánica de aquel recinto sagrado en Délfos. Una falla del monte que formaba un precipicio al vacío en un pozo sobre la que se sentaba colgada la sacerdotisa (pitia) para pronosticar el futuro. Respirando allí encima -según dicen- los efluvios azufrados que emanaban de tal gruta con restos de lava, desde este lugar que se consideraba el centro del Universo. En ese punto alfa u ombligo del mundo griego, creemos que también fue una idea más importada a la Hélade por los egeos, desde la civilización egipcia. Pensando personalmente que dos mil años antes este "trono"de centro del Mundo fué ocupado por las tres pirámides de Giza (y quizás anteriormente por las de Saaqara).
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BAJO ESTAS LINEAS: Pieza del museo de Delfos (catálogo 8194, que agradecemos nos permitanm divulgar): Omphalos en mármol del templo de Apolo, siglo II a.C. . Observemos que está ricamente adornado teniendo labradadas "ristras" de collares, de las que por entonces engalanaban a las mujeres. Las joyas van "atadas" entorno a la piedra que guarda la forma de un ombligo (o de un prepucio) y en la que se enredaba un hilo, cuyo extremo sujetaba la pitonisa colgada sobre la grieta del monte de Delfos. Allí, y respirando los efluvios del volcán (hoy inexistente) dicen que proclamaba sus oráculos, en verso y de un modo cuya interpretación se solía hacer tan esotérica como inexplicable.
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PLATÓN Y LA PRIMERA DESCRIPCIÓN DE UNA TEMPERACIÓN* EN NUESTRA CULTURA (hipótesis para su exposición):

Hipótesis arqueológica sobre las primeras temperaciones y escalas musicales (capítulo 3)

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NOTA* EN EL TÍTULO: Como encabezamiento a estos artículos, explicamos que en nuestros trabajos hemos utilizado las palabras "temperación" y "temperar" -tal como seguiremos haciendo- . Habida cuenta que la voz "temperamento", comunmente usada para describir el acto de calcular los intervalos en la afinación, se ha declinado a modo "italiano" y sin conjugaciones españolas. De tal manera, concibo personalmente que aquel término "italianizante" con el que se describe la búsqueda armónica de la escala y en el que tan solo se admite la palabra "temperamento"; ha de traducirse al castellano por "temperar", "temperación" y etc.. Puesto que el acto de analizar los "temperamentos" de la música, ha de ser descrito y conjugado como "temperar"; a la vez que el nombre su verbo sería "la temperación".
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SOBRE ESTAS LINEAS: El filósofo Pitágoras; padre de las teorías sobre la "Armonia Mundi" en Occidente. Nacido en Samos en el siglo VI a.C., isla jonia sita en el paso entre Oriente Medio y Europa. Viviría en el entorno de marinos; quienes precisaban del estudio continuado y mejora en los cálculos y las matemáticas con el fin de guiar bien sus naves -dominando la situación de las estrellas, las horas y la orientación-. Formándose en este ambiente culto y rico, basado en el mercado marítimo y pleno de estudiosos; quienes durante las noches ampliarían sus conocimientos sobre la cúpula celeste. Posteriormente, su "biografía" (que en parte es fabulosa) narra que se traslada a zonas de Canaan o Israel, donde se inicia en cultos eremitas, para pasar más tarde a las de Egipto. Allí se supone que ingresó en un templo dedicado a la veneración solar; recintos de los que comunmente no podían salir los que aceptaban integrarse en su comunidad. Creyendo la Historia que quienes "escapaban" de esos santuarios nilotas, eran perseguidos severamente bajo el signo de la apostatía -tal como sucede comunmente con los votos sacros, en las religiones-.
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Por lo demás y en lo que se refiere a estos sacerdotes o funcionarios del Nilo, se sabe con certeza que eran educados con esmero, pero no podían revelar los secretos de importancia aprendidos en el culto, en su filosofía y en el templo. Todo lo que era común hasta hace apenas unos siglos y que obligaba guardar los secreto a los "iniciados", con el fin de que esos conocimientos no cayeran en manos enemigas o de ajenos al poder -faraónico en este caso-. De hecho, parece ser que los novicios y quienes estudiaban en las llamadas "casas de la vida" nilotas (similares a nuestras universidades o seminarios), juraban no desvelar ni transmitir lo aprendido a terceros -fuera de los recintos sagrados-, sin el consentimiento de sus superiores. Una fórmula basada en el secretismo que durante la Antigüedad fue un hecho radicalmente cierto y por el cual algunas civilizaciones se hallaban en una superioridad plena, debido a que jamás enseñaban los procedimientos de progreso. Todo lo que -de alguna forma- perdura hasta La Ilustración en nuestras Sociedades; cuando en el siglo XVIII, por primera vez se permite divulgar y publicar libremente los conocimientos. Sin control por parte de las autoridades y con el fin de que las profesiones no continuasen pasando de padres a hijos -aunque sobre todo, para que los conocimientos de ciencia o física ya no se sometieran a la censura plena de un estamento, que hasta La Ilustración los regulaba y dirigía de forma "secreta", dogmática y autoritaria-.
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Pese a lo que narramos y regresando a nuestro filósofo, parece ser que Pitágoras logró salir del templo egipcio a consecuencia de la invasión asiria del Nilo. Un reino que se ve azotado por Cambises II, quien avanzó sobre ellos a cuenta de un "desplante" del faraón cuando se niega a envíarle una hija suya como esposa (por conocer que los aqueménides destinaban al harén de las concubinas reales a toda aquella que no fuera de sangre persa). Siendo así, narra la leyenda que Pitágoras vivió el asedio de Cambises y que se libró de la muerte que el tirano rey de Mesopotamia daba a los sacerdotes del faraón, por ser extranjero. Asimismo, la "biografía" (fabulosa) que redactan sus seguidores y "admiradores", cuenta que trás salir del templo, es "enviado" a Babilonia como rehén. Aunque al poco tiempo de llegar a esa tierra, el tirano Cambises -que estaba guerreando en el Nilo- fue derrocado por un mago, quien usurpa la figura del hermano del rey. Siendo así y divulgándose la historia entre los persas de que Cambises había matado a su propio hermano para ocupar el trono; las revueltas no cesaron, hasta que el país aqueménide quedó en manos de aquel brujo. Creyendo los "biógrafos" de Pitágoras que durante este tiempo el "iniciado" en Egipto, aprovecha también la estancia en Babilonia para estudiar su matemática y astronomía, ampliar conocimientos y entablar amistad con aquellos que por entonces gobernaban el reino (los sacerdotes y magos). Finalmente, se sabe con certeza que regresó a su Samos natal, donde se establece "una sociedad" con el fin de enseñar el cúmulo de conocimientos recogidos a lo largo de sus viajes y durante su "dilatada" vida -lo que había estudiado en Canaan, en los templos de Egipto y entre los augures babilonios-.
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En o que se refiere al relato de su vida, no sabemos si aquella historia del sabio de Samos recoge la de varios personajes en uno. O bien, si se construye de esta forma "su biografía", con el fin de narranos y explicar el origen de los conocimientos que el filósofo enseñaba y difundió. Sea como fuere, el pitagorismo se establece como "un grupo" (o secta) que escogía "ciertos elegidos" para formarlos en unos valores y unos conocimientos comunes; pero que no permitía la divulgación "gratuita" -o plenamente abierta- de sus ideas. Menos aún, la del llamado "dogma"; un secreto fundamental que promulgó el sabio, relacionando la música con la física y ambas, con el Cosmos, sus fuerzas y sus leyes. Enseñando primeramente a "temperar", buscando la escala trás conocer el significado y valores numéricos de cada nota. Para más tarde pasar a comprender que la afinación y la armonía tenía una relación con el Universo. Tanta que consideraban que las estrellas y los planetas estaban unidos -o sustentados en el vacío- y giraban en el Cosmos, atendiendo a unas normas físicas relacionadas con las de los temperamentos. Es decir, en que la escala musical se contenían los secretos del Universo, los de la Creación y los del "número perfecto". Una cifra pitagórica, que compone la esencia del Cosmos y que tal como el sabio griego nos la transmitió, todo hace pensar que claramente procede de conceptos egipcios muy anteriores; de ideas como el del Maat -la medida arquitectónica, la balanza y ponderales en el reino de Osiris y el peso del corazón (en el juicio final de los dioses)-. 
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Es decir, que claramente en Pitágoras vemos el recuerdo -o la compilación- de los conocimientos religiosos del Nilo y de Mesopotamia, divulgados gracias al espíritu heleno. Una cultura griega, que permitía escribir y dar a conocer la sabiduría -sin grandes trabas ni temores a que la ciencia cayera a manos de ajenos al poder-. Teniendo la Hélade de hace mil quinientos años un espíritu similar al de la Europa del siglo XVIII, donde la sabiduría se admiraba y se permitió divulgarla (ya que el miedo a los conocimientos, tanto como su falta de difusión, provocan el estancamiento de las civilizaciones). Por todo ello, en la "supuesta biografía" del sabio, quizás se esconde el hecho de que la filosofía pitagórica fuera un elenco de las religiones milenarias de Egipto y de Mesopotamia, decantadas y recicladas por la escuela del filósofo griego durante el siglo VI a.C.. Cuando los jonios (conocidos viajeros y pensadores) consiguen compendiar y enseñar los conocimientos más destacados del Mundo en que viven y de las civilizaciones que les antecedieron.
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Debido a todo lo antes narrado, entre los discípulos y seguidores de la escuela pitagórica se hallaban las élites de Grecia. Donde no podía faltar de algún modo, el aristócrata Platón; quién -al parecer- compra varios "libros" a los seguidores de Pitágoras con el fin de completar "sus ideas". Ejemplares desde los que Platón "se inspira" para describir los conocimientos que atribuye plenamente a su persona -aunque la realidad histórica parece que fue muy distinta (tal como se desprende del estudio de sus exposiciones acerca de la temperación)-. Por su parte y en base a aquellos escritos, durante el siglo XV y XVI, las Escuelas Neoplatónicas logran reavivar la conciencia filosófica, divulgando de nuevo gran parte de los conceptos de Platón. De todo cuanto surgen nuevos movimientos, que incorporados a las mejoras de la astronomía y de la matemática -en la Europa renacentista-, logran que el "Neoplatonismo" genere una filosofía aplicada al Cosmos. De aquellas teorías y de ese tiempo, nacieron astrónomos como Galileo y Kepler; quienes, partiendo desde teorías pitagóricas, consiguen cambiar el rumbo de la Historia de la ciencia. Un camino en el que se había retrocedido miles de años tras la "caida" de Grecia; ya que algunas escuelas helenas -como precisamente la jonia-, habían conseguido divulgar y enseñar incluso el heliocentrismo (junto a teorías como la "precesión de equinocios", o "la traslación" de la Tierra y etc).
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Consecuentemente, ya en el siglo XV y de nuevo gracias a las enseñanzas platónicas, se generan nuevas tendencias entre las que el pitagorismo llega a inspirar a investigadores como Kepler; quien formula sus leyes en base a esta filosofía. De aquellos avances e ideas renacentistas, nacerá algún tiempo después, la matemática o la física ilustrada y en especial la astronomía y la ciencia de Newton: Un pitagórico en su más pura esencia, que buscaba en los conocimientos del Mundo Antiguo, la inspiración y fundamento para desarrollar su física y su saber. Todo cuanto logrará el gran genio inglés -cumbre de la sabiduría más sublime-; al aplicar las teorías de Pitágoras en su modo de investigar y de vivir, tanto como en la interpretación de la Naturaleza. Ya que -en mi opinión-, la matemática es una herramienta que puede demostrarse gracias a la física, pero a su vez la física es una "herramienta" que se muestra plenamente en el arte. Siendo así, las artes deben constituir la "herramienta" por la cual logremos mostrar lo bello y sublime en los conceptos matemáticos más puros. Un método para comprender ese ciclo cerrado entre matemática, física y artes; que es -a mi juicio- lo que habríamos de definir como "filosofía". En el que -por su parte-, las humanidades serían aquellas disciplinas que logran explicar y aplicar a la vida común (y en todos sus aspectos), los valores y conclusiones obtenidas al estudiar de modo anterior la ciencia y las artes.
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COMENTARIO A LAS IMÁGENES: Tres párrafos antes (en el margen izquierdo y sobre estos), habíamos visto la efigie del pitagórico Isaac Newton en un sello de la República Soviética de 1987. Este físico y místico, ha sido en gran parte olvidado por la filosofía del Sur de Europa, tanto como por la ciencia centroeuropea. En el primer caso quizás porque en el Mediterráneo la unión de la física y la teología, o de la matemática y la mística; son un mundo que produce rechazo y hasta abominazción. Todo lo que se ha podido comprobar en situaciones como la del tristísimo Galileo (de algún modo, antecesor directo de Newton -como "colaborador" de Kepler-). Por su parte, el olvido en Centroeuropa del genio inglés, procede por no querer reconocer que se adelantó a Leibniz en muchos de sus aspectos; ya que Alemania tiene en su matemático y pensador, el "eje sobre el cual rota" La Ilustración. Sea como fuere, la diferencia entre Newton y los demás reside en que aunque sus teorías puedan superarse -o mejorarse-, el sentido filosófico de sus ideas y la belleza de su pensamiento, permanece. De ello se deduce que todo cuanto creó e ideó iba más allá de nuestro tiempo; porque cuando la ciencia halla una explicación que además está cargada de belleza, no solo ha encontrado la verdad, sino también su significado. Así -y en mi opinión- muchos de los que creen haber superado a Newton sufren el mismo mal que los que desearon superar a Bach: Desconocer que el genio, además de ser un hombre superdotado, sobre todo es un nexo con lo divino, lo elevado o trascendente. 
ARRIBA: Grabado del siglo XIX que representa a Cambises II a su regreso de Egipto, perdido con su ejército en el desierto (obra de Alfredo y Angelo Castiglioni -fuente de la que tomamos la imagen: Wikipedia, y esta a su vez, desde un artículo de El Pais 26 nov 2009).
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1º) EL TIMAIOS DE PLATÓN:
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Es conocido que en el Diálogo de Platón Timaios (31-36) se explica la afinación temperada planteando que la creación del Universo fué hecha a imagen y semejanza de la de "la música" y de sus notas (o viceversa). Este texto se tiene como la primera descripción de una forma de medir armónicamente una escala musical -al menos en Occidente-. En el cual nos narra Platón como el Demiurgo crea el Cosmos y en el fragmento 35 explica el "nacimiento y concepción" del "todo", de foma exacta a la de una "temperación" musical. De tal manera y como si los siete planetas fueran las siete notas, junto a sus ciclos calendáricos (con sus ritmos y melodías, a modo del giro armónico de los astros), uniendo así Platón el Cosmos a la música.
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Para el estudio de estos fragmentos, analizaremos en primer lugar las partes del Diálogo que preceden a la mención de la afinación. Tras ello, pasaremos al "párrafo 35", donde el filósofo ya trata acerca de la división del Cosmos en la misma forma que el de las notas musicales (la traducción del Timaios que manejamos, presentada por Pérez Martel - en edición de Alianza Ed. Madrid 2004- es de I.Burnet ,Oxford 1903; en ella el autor habla "del dios creador", pero al ser un "Dios" en concepto platónico no griego, preferimos sustituir este nombre por el de Demiurgo) :
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A)- Fragmentos del Timaios, que preceden (o suceden) a la descripción de la temperación musical:.
- TIMEOS (31): "el Demiurgo (dios) comenzó a formar el cuerpo del universo, lo hizo de fuego y tierra. Pero no es posible que dos elementos solos se unan sin un tercero, pues es preciso que haya en medio de los dos una atadura que los una. La atadura mas perfecta es la que consigue que ella misma, o lo unido, se conviertan en una sola cosa" ..
Hace aquí claramente referencia a la idea de creación del Cosmos comparándolo con el de la concepción de un hijo (entre el hombre y la mujer) y por la cual, padre y madre se hacen "uno" -o "familia"-. De este concepto, como veremos mas tarde, pasa al la teoría del número de carácter pitagórico en la que del 1+2 nace el 3. Podremos apreciar que todo este texto es de origen y gran influencia pitagórica, aunque en ningún momento se cita al sabio de Samos, ni a su Escuela (pese a que Platón como veremos, entra en contacto con los pitagóricos en su viaje al sur de Italia). Por lo demás y a título de crítica personal, parece que en estos fragmentos, Platón deseara realizar algo similar a o que se cuenta hacía Ramón Gómez de la Serna, antes editar un artículo -o dar a conocer un discurso importante-. Literato novecentista español, del que narran que previamente a leer o a publicar en ambientes de prestigio, leía lo escrito a su "ama de llaves". Aquella "santa" que le cocinaba, limpiaba la casa y disponía en condiciones la ropa al escritor; parece que escuchaba con gran atención y esmero las palabras del "ilustre Gómez de la Serna". Quien tras haber leido plenamente el texto preguntaba a la buena mujer qué partes le gustaban más y qué había entendido como mejor. A lo que ella le respondía explicando las ideas que había comprendido y las que le parecían interesantes. Poco después y tras marcharse de la habitación el "ama de llaves", parece ser que "Ramón" profería las siguientes palabras con tono adusto: -"Esto que se entiende, hay que oscurecerlo; pero mucho... . Que ya sabes que en la vida todo lo que se comprende, no merece la pena"-.  (trás este terrible "lapsus" sigamos con el Timaios)
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- TIMEOS (32): "Siempre que el término medio de tres números cualesquiera, enteros o cuadrados, haga que el primero se relacione con él mismo y con el último, y a su vez que el último se relacione con el término medio, y éste con el primero, siendo entonces el primero y último el término medio, y el último y el primero, por su parte, término medio, sucederá entonces, que necesariamente todos serán lo mismo, y siendo lo mismo entre sí, todos serán una sola cosa". 
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Este fragmento que se pudiera intepretar como un texto ininteligible -en alguna medida-; consideramos que nos habla del (1, 2, 3...). Serie la que de que el 2 tiene igual distancia, intervalo o proporción hasta el 1 que hasta el 3. A su vez, que la distancia del 3 al 2, es la misma que la del 2 al 1; por lo que todos se relacionan de igual forma. Lo que indica que los tres números son uno; ya que en el 3, se contendrán los otros dos. Todo ello va dirigido sobre la teoría del número e Pitágoras, en la que hemos dicho que del simple "1" nacería el infinito. Algo que se explica porque en sí mismo, las cifras se generan a en serie y unas a otras en la forma ya descrita y por la cual:
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(1+1) = 2 // (1+2) = 3 // (1+3) = 4 = (2+2) // (1+4) = 5 = (3+2) ......
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Desde estos conceptos y números, ya en anteriores entradas habríamos obtenido los dos grandes triángulos: Primero, el que hemos denominado "anatemático" (a=1, b=1, c=Ѵ2 ). Después el primer irregular (a=1, b=2, C= Ѵ5); y finalmente el "triángulo perfecto" (a=3, b=4, c=5).
-Todos los que en la imagen siguiente observamos y de los que "descienden" las grandes cifras como "fi" {Ѵ5+1) : 2} y "pi" (perímetro/diámetro).
- La cifra "pi" antiguamente seguramente se creyó procedía de una fórmula relacionada con la raiz cuadrada de dos y del tres; tal como vemos abajo. Algo que se hace inevitable al concebir (fue el modo común de calcular "pi" que usaban los egipcios).
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Hemos trazado algunos cálculos sobre el perfil de la "supuesta" hija de Akhenaton -Amenophis IV- (hacia el 1351-1334 a.C.); una talla en propiedad del Walters Art Museum, of Baltimore -Estados Unidos- (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen con este fin). En los dibujos escritos podemos ver la simplicidad para hallar "pi" (o la raiz de dos) simplemente haciendo unos trazos sobre la arena -con palos y cuerdas-, para medir posteriormente las distancias en las figuras. En ellos hemos incluido el "pi" egipcio, que en las mediciones de sus edificios vemos que es evidentemente  . Igualmente la "raiz cuadrada" de dos, se pudo concebir como nacida de este "pi" o relacionada con él, siendo un cálculo muy aproximado de ella: (½ ) : (10/9) = Ѵ2.

Por su parte, el hallazgo de que "Pi" en Egipto se escribiera 22/7 es un hecho que ya mencionaba Peter Tomkins en los años ochenta; algo que se demuestra incluso en la Gran Pirámide, cuya base dividida por la altura es 1/2 de =11/7 Todo ello me llevó a concluir en ese tiempo que esta matemática se pudo hacer de manera fáctica y pintando sobre la arena las figuras. De tal manera, si trazamos un círculo pinchando un palitroque en el centro y girando sobre aquel con una cuerda atada a su extremo (que tenga otra estaca y vaya dibujando la circunferencia). Bastará con dividir el diámetro del redondel pintado, por la dos veces la cuerdecita central (que es El Radio); lo que nos llevará a una aproximación de "pi" muy cercana (mayor, cuanto más grande sea esta circunferencia que hagamos sobre la arena).
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Tras obtener esa división (Radio : Diámetro), y concluir que "pi" es 11/7, veremos algo tan sencillo como que si dividimos aquel por 10/9 nos saldrá una cifra muy cercana a la "raiz de dos",. Es decir, que (11/7) : (10/9) es más o menos igual a Ѵ2 .
Todo lo que expresamos como (1/2 de ) : (10/9) ≈ Ѵ2 .

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La serie por la que irían encontrando el resultado expresado que relaciona "pi" con "raiz de dos" partiría de que (22/7) : [2 + (2/9)] ≈ Ѵ2 .
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O lo que es lo mismo: 3,142857... : (20/9) = 1,414285714... (una cifra que viene a ser casi igual a la verdadera Ѵ2 = 1,4141213562...)
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De todo lo que se llegaría a deducir que la "raiz cuadrada de dos" se entendía unida a el "pi" de 22/7; y esta como 1,414285714... ≈ Ѵ2 .
Es decir que {½ : (10/9)} = Ѵ2 ; o bien :20/9 = Ѵ2

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Considerando esa raiz de dos una Cifra que se podía escribir en la forma 198/140 = 1,414285714... y cuyo cuadrado exacto es 2,000204082... lo que le aproxima mucho a 2. Es decir:
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(198/140)^{2 
= 2,000204082... ≈ 2}
y por su parte
(198/140)2 = [(22/7) : (20/9)]2
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de lo que se podía dedir que más o menos, 
2 es igual al cuadrado de "pi" dividido por 20/9
(+  -) 2 ≈ ( : 20/9)2
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Siendo así y partiendo de que a través de medir los catetos e hipotenusas de los triángulos, tanto como la relación entre el diámetro y el perímetro se pude llegar a la conclusión o aproximación que vemos los edificios egipcios manifiestan por la que:
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Ѵ2 = 99/70
. = 22/7

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Todo lo que relacionaría del mismo modo al número siete con ambas cifras. Ya que se la raiz de dos podía expresar en séptimos, con la forma 99/70 (aproximación muy carcana a Ѵ2 ) o bien 22/7 (como la aproximación muy utilizada en la antigüedad como ). Existiendo pues una relación plena entre "pi" y la "raiz de dos" que es simplemente 0,45; habida cuenta que 22/7 · 0,45 = 99/70.
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Siendo así, veríamos que escrito a modo antiguo 100/45 es la relación entre "pi" y la "raiz de 2". Ya que (100/45) · (99/70) = 22/7
O lo que sería lo mismo: Ѵ2 · (100/45) = 
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Regresando al texto platónico que analizábamos y que era el fragmento TIMEOS (31): "el Demiurgo (dios) comenzó a formar el cuerpo del universo, lo hizo de fuego y tierra. Pero no es posible que dos elementos solos se unan sin un tercero, pues es preciso que haya en medio de los dos una atadura que los una. La atadura mas perfecta es la que consigue que ella misma, o lo unido, se conviertan en una sola cosa" . Diremos nuevamente, que para entender lo que expresa, recordamos el ejemplo de la creación del hijo por padre y madre. Aunque la exposición que nos plantea Platón en "Timeos-31", contiene un planteamiento muy similar al que unos siglos mas tarde daría la fórmula de expresar las relaciones de "FI" o la Sección Aurea (puramente "euclidiana"). De este modo, Euclides en "Los Elementos" nos habla de que la Proporción Aurea es cuando: En una porción de tamaño "C", con una división "B" en su centro, y un punto "A" de inicio, se cumple la siguiente relación. Cuando la distancia de A a C, dividida entre la que hay entre B a C; es igual a la longitud de B a C,dividida por la que hay de A a B. Es decir: AC / BC = BC / AB
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Pese a ello, la concepción de "fi" por los egipcios y la que quizás aún se tuvo en epocas de Platón, pareció ser otra y muy relacionada con "pi" (tanto como con la raiz cuadrada de dos). Acerca de número áureo en las construcciones de los sacerdotes del Nilo, ya nos advierte Tomkins que se encontraba en la Gran Pirámide y en la fórmula de dividir entre la "catenaria" y su base. Denomino "catenaria" a lo que vulgarmente en construcción se denomina "sección de un tejado"; pero que en matemática se ha de decir "apotema" o "hipotenusa" -que es el vértice que va desde la cúspide a la base, recorriendo por su centro la "cara" de la pirámide-. Pese a ello, si la recordamos como "catenaria" rsulta fácil comprender las siglas de los triángulos y pirámides; ya que (a)=Altura; (b)=Base y (c)=Catenaria.
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Pero regresando a "fi" entre los egipcios, deduzco como cierto, sabiedo que la altura de la Pirámide de Kefrén era de unos 147 metros y su base de unos 231 metros. Que si trazamos un triángulo dentro de aquella tomando como "cateto (a)" (Altura) y "cateto (b)" (1/2 de la Base); el resultado es que la "catenaria (c), sería de unos 186,94... metros. Una hipotenusa (c) -o apotema-, que dividida por el "cateto b" resulta una cifra muy cercana a "fi". Así lo advirtió ya Tomkins (tal como decimos) aunque en los años ochenta no se "profundizó en las consecuencias" mateáticas que este hecho tiene. "Consecuencias" entre las que se halla el hecho de que "pi" y "fi" desciendan de unos mismos números. Es decir que si:
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Ѵ(a2+b2) = c
.y a su vez; c / b = 
Sucediendo esto cuando b / a =  / 4
Todo ello considerando a "pi" como 2 ≈ ( : 20/9)2
o lo que es lo mismo  = 22/7.
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Se deduce que los egipicios verían la relación existente entre "pi" y "fi" del siguiente modo que recogemos en imagen (tal como expresa y se deduce de la Gran Pirámide). Siendo la cifra  que resulta de dividir la base por la catenaria: 1,6180339887 . Un número cuya aproximación al "fi" matemático (1,61859034678...) es verdaderamente impresionante.
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SOBRE ESTAS LÍNEAS: De nuevo hemos trazado algunos dibujos sobre el perfil de la hija de Akhenaton -Amenophis IV- (hacia el 1351-1334 a.C.); una talla en propiedad del Walters Art Museum, of Baltimore -Estados Unidos- (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen con este fin). En las figuras se observa la relación de altura y base en La Gran Pirámide, que es 4 . O lo que es lo mismo: (2Bases : Altura) =  = 22/7 . Por su parte, si dividimos el "apotema" (hipotenusa o catenaria) por la base (b) veremos que el resultado es casi "Fi". Un número áureo egipcio que coincide practicamente con el que más tarde la matemática euclidiana explica.
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Siendo así nos queda el problema de saber si el origen de este número fue arquitectónico y perteneció a las "artes espaciales" o si muy por el contrario la idea de "fi", nació desde la música. Un hecho que parece más cierto al observar que el mismo Platón nos habla de aquella proporción (de manera muy semejante a la que siglos después utiliza Euclides), nada más dar comienzo su tratado sobre el modo de lograr la afinación. Ello hace deducir que el "número áureo" procede fundamentalmente desde valores ligados a los temperamentos y que tras su aplicación a la música, pudo ser deducido como una fórmula armónica y de estética en las artes plásticas. Algo que parece más que lógico, pues de lo contrario y sin su justificación como el origen del sistema para hallar las notas musicales, es muy difícil deducir esta cifra de un modo aleatorio y como imprescindible en la estética universal. Más claro: Si proponemos una sección como perfecta, quizás no podemos demostrar físicamente que afecta a la armonía. Pero si la necesidad de esa proporción la relacionamos con el principio de afinación y creación de las notas musicales, parecerá cierto que es la base de toda la armonía.
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Por cuanto decimos, siendo el origen de la división de la "octava" musical y de sus doce notas, esta fórmula. Se hace evidente que "el número de oro" afecta al equilibrio armónico. Un hecho que muchos definen como mágico, pero que en verdad a de ser visto como místico; ya que hay belleza en todo objeto o sonido, siempre que la proporción entre A B y C sea la descrita antes:
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Cuando la distancia de A hasta C, dividida entre la que hay entre B hasta C; es igual a la longitud de B hasta C,dividida por la que hay de A hasta B. Es decir: AC / BC = BC / AB).
De todo ello y de "algo más" seguiremos hablando en las siguientes entradas.

EL ANATEMA PITÁGORICO: Nota explicativa a la anterior entrada

Este artículo es una ampliación a la anterior entrada -VER: http://decnossosatartessos.blogspot.com.es/2013/08/un-modo-de-comprender-f-la-seccion.html -
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SOBRE ESTAS LÍNEAS: De nuevo una fotografía del autor de estos artículos, junto a la pirámide de Shaqqara, tal como la subíamos en anterior entrada. He pintado sobre la imagen los ejemplos de triangulación que exponíamos como nuestra idea para hallar las raices cuadradas en la Antigüedad más remota. Un método fáctico, basado en dibujar escalenos o equiláteros en la arena (por medio de palos y cuerdas), en la forma que a continuación describo. Acerca del anatema pitagórico tal como lo veo (que me comenta un lector "mal explicado" -ya que habíamos incluido una imagen de una triángulo con valor "1", "1" e hipotenusa ¿2?-) ; a continuación lo analizamos de nuevo para que todos los que nos siguen puedan entenderlo facilmente y sin errores. Pese a ello y como adelanto les propongo que reflexionen sobre estos triángulos dibujados en la parte superior de la imagen. Ya que el anatema se produce habida cuenta que: 1 = Ѵ1 = 1^{2 .
Lo que produce el "desfase" en la representación triangular de la raiz cuadrada de "2". Tanto más cuando no se puede aplicar geométricamente el teorema pitagórico con catetos con valor menor a 1.}.
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MÉTODO FÁCTICO EGIPCIO PITAGÓRICO QUE HEMOS PENSADO PARA OPERAR CON RAICES, EN BASE A TRIÁNGULOS Y EL PROBLEMA DEL ANATEMA DE PITÁGORAS:
 a)-. MODO DE REALIZARLO:
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Bastará partir del primer triángulo, que será : cateto (a)=1 ; cateto (b)=1; cuya hipotenusa es Ѵ2 (hallando así el valor de esta raiz cuadrada del 2). Para ello, trazaremos en la arena el cuadrado (o triángulo) lo más perfectamente que podamos y con valor -por ejemplo- de 1 metro en cada lado. Tras lo que midiendo perfectamente su raiz del cuadrado (la hipotenusa) veremos que equivale a la de Ѵ2 = 1,414213562. VER EN IMAGEN INFERIOR EL TRIÁNGULO ROJO SOBRE EL CIELO (a la izquierda y marcado con una a): Su "raiz del cuadrado" 1 x 1 es Ѵ2.
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Aunque ello plantea ya el problema de lo que consideramos era el famoso "dogma" que se interpretó como que Pitágoras negaba la raiz del 2. Porque por debajo del 1 no se puede representar geometricamente su teorema, dado que 12 y Ѵ1 es lo mismo que 1. El problema se acrecienta cuando se baja del valor 1, dado que la raiz cuadrada de 1/2 es superior a 0,5 (Ѵ1/2 = 0,707106...). De lo que ya el triángulo "1", "1" , plantea la duda de si el resultado es en verdad y su hipotenusa equivale a Ѵ2 (tal como el filosofo explicaba).
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b)-. EXPLICACIÓN DEL ANATEMA:
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Si queremos hallar las raices de 1/2 (0,5), y representarlas en geometría; teoricamente bastará con obtenerlas realizando un triángulo cuya hipotenusa es "1" ; dibujando dos catetos iguales bajo este -aprovechando el lado del anterior, para que este se convierta en la raiz del nuevo cuadrado-. De tal manera y midiendo minuciosamente los lados de este, sabremos que los catetos idénticos cuya hipotenusa es "1", serán la raiz cuadrada de 1/2 = Ѵ0,5. VER IMAGEN BAJO ESTAS LÍNEAS EN NEGRO, LA SEGUNDA Y MARCADA CON b).
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Pese a ello, esto no es tan sencillo de comprobar ni de ver como cierto, ya que la raiz del cuadrado de 1/2 es superior a 0,5. Siendo así, que para una hipotenusa de 1 se precisan dos catetos de 0,70710681 = Ѵ0,5 .
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Por lo que si (Ѵ1/2 = 0,707106...) y si (0,707106... x 2 = Ѵ2) su hipotenusa sería ѴѴ2, es decir 4Ѵ2 raiz cubica de 2; o lo que es lo mismo 21/4
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Con esta explicación creemos que se entiende "el dogma" de Pitáguras, que incluso dudaba de que la hipotenusa del triángulo "1", "1" fuera realmente Ѵ2 .
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c) LA TRIANGULACIÓN:

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1º POR RAIZ DEL CUADRADO:
En el lado superior derecho, sobre la zona de cielo y marcado como (c), podemos ver el primer desarrollo de estos triángulos, de los que se forman gradualmente con los siguientes valores:

Primero y en amarillo: "1" - "1" - raiz del cuadrado = Ѵ2

Segundo y en naranja: "Ѵ2" - "Ѵ2" - raiz del cuadrado = 2

Tercero y en color rojo: "2" - "2" - raiz del cuadrado = Ѵ8

Cuarto y en negro: "Ѵ8" - "Ѵ8" - raiz del cuadrado = 4 (marcada en morado).

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2º POR TRIÁNGULOS:
Es este un sistema sencillo de hallar raices cuadradas de números enteros dibujando en la arena triángulos. El sisteme que se nos ocurre es tan simple como el trazado de triángulos consecutivos, que comienza en el "1", "1", "Ѵ2" y que como hemos realizado en el esquema termina en "1", "Ѵ8" , "Ѵ9"

Primero, amarillo: Cateto (a) 1; (b) 1, Hipotenusa Ѵ2

Segundo, naranja: (a) 1 , (b) Ѵ2 , Hipotenusa Ѵ3

Tercero, rojo: (a) 1 , (b) Ѵ3 , Hipotenusa Ѵ4

Cuarto, negro: (a) 1 , (b) Ѵ4 , Hipotenusa Ѵ5

Quinto, morado: (a) 1 , (b) Ѵ5 , Hipotenusa Ѵ6

Sexto: azul: (a) 1 , (b) Ѵ6 , Hipotenusa Ѵ7

Séptimo, verde: (a) 1 , (b) Ѵ7 , Hipotenusa Ѵ8

Octavo, marrón: (a) 1 , (b) Ѵ8 , Hipotenusa Ѵ9

Así, sucesivamente hasta hallar las raices cuadradas que se deseen.

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Un modo de comprender "la sección áurea"; como "número perfecto" nacido de la triangulación sagrada entre las civilizaciones más antiguas

CAPÍTULO 2 de: Hipótesis arqueológica sobre las primeras temperaciónes y escalas musicales.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Sobre una fotografía de la clave central de la Catedral Vieja de Salamanca, hemos dibujado el cuadro que denominamos El Mundo Objetivo y Subjetivo, aplicado a las artes, a las ciencias y a las humanidades. Un esquema que ya presenté como tesis hace unos treinta años; haciendo de este un principio de análisis sobre el cual poder comprender por qué unas disciplinas son mediatas (lejanas) a otras y algunas están unidas inmediatamente. De tal modo y por muy diferentes que nos resulten las humanidades de la ciencia o del arte, se sitúan a medio camino y entre ambas disciplinas. Por su parte, la ciencia pura y las artes, se hallan en polos opuestos; tal como se encuentran las humanidades que hemos llamado sociales (economía, polítología, Derecho...) de las intelectuales (filología, Historia etc).
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En este esquema que hemos trazado sobre la foto de la clave, podremos ver que hay un mundo SUBJETIVO SUBJETIVO -marcado como (A)- y que se corresponde al de las artes; y que como todos entendemos, son puramente subjetivas. A su lado se sitúa el terreno de lo SUBJETIVO OBJETIVO (B), que comprende humanidades como la sociología, el Derecho, o la economía -a las que llamaremos HUMANIDADES SOCIALES-. Ello porque para el análisis de estas ciencias se ha de partir desde hechos subjetivos (comunes a todos), necesitando más tarde aplicar procedimientos objetivos (como la matemática, la estadística o la criminología). Siendo el fundamento de estas disciplinas partir desde hechos subjetivos para llegar a unas conclusiones objetivas y ecuánimes. De ello considero lao que denomino "humanidades sociales", como SUBJETIVAS OBJETIVAS.
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Bajo las anteriores podremos hallar el mundo de lo OBJETIVO OBJETIVO (C); que se correspondería con la ciencia pura (como la matemática). A su lado, finalmente veremos el OBJETIVO SUBJETIVO (D); que catalogamos de HUMANIDADES INTELECTUALES (filología, Historia, etc). Ello porque estas disciplinas parten desde unos hechos objetivos (históricos, lingüísticos etc), para llegar a conclusiones puramente subjetivas (o personales de cada historiador, literato y estudioso).
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Siendo así y frente a este esquema tendremos las bases para comprender por qué se produce la "trascendencia" o la sublimación (que llega al misticismo). Un hecho que se lleva a cabo cada vez que una disciplina o arte logra pasar hasta su lado mediato. Por ejemplo, cuando la matemática y la física llegan a unirse con la música, con la pintura y otras artes; al igual que se sucede la "trascendencia" en el momento en que el arte tiene un enorme contenido de conocimientos científicos puros, logrando a que su belleza se transforme en ciencia. Algo que sucede -como siempre decimos- y puede observarse perfectamente en las construcciones de las catedrales, en la música de Bach, o en la obra de pintores como Leonardo da Vinci (cuyos principios artísticos se relacionan con teoremas matemáticos). De un igual modo, las teorías científicas de Kepler o de Newton tienen tal belleza y sublimación, que son una obra de arte. Siendo así, cuando el arte está pleno de ciencia -o cuando la ciencia se convierte en arte-, ambos habrán transcendido a un plano sobrehumano o sobrenatural. Es lo que comunmente denominamos "elevación" o mística.
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En el caso de las otras dos clasificaciones: Del mundo SUBJETIVO OBJETIVO (B), frente a lo OBJETIVO SUBJETIVO (D). La tarscedencia se produce en el momento en que alguna disciplina pasa a su estado "mediato". Es decir, que (B) se acerque a (D) o viceversa; sin poder distinguirlas. En ese instante se produce la filosofía (del Derecho, de la econimía, de la política, de la Historia o de la lingüistica). Un pensamiento filosífico social en el caso de que (B) se confunda con (D); o bien filosofía puramente "intelectual" en el contrario -cuando (D) se acerca a (B)-. Ello porque al llegar el pensador hasta un mundo "mediato" (ajeno), las hipótesis y las formas de trabajo se convierten en las inversas. Para que lo entendamos, pensemos en el jurista o el economista, que tras hacer un análisis de los subjetivo y obtener unas conclusiones objetivas; se plantea de nuevo trabajar las mismas ideas del modo contrario Todo lo que le llevará a crear un sistema filosófico en el cual considerará que su conclusión -objetiva- es fruto de un estado constante de subjetividad en el Hombre. Por cuanto en la economía se analizarán los factores culturales, los gustos sociales, o los modos de vivir (no la estadística ni la lógica); al igual que en el Derecho se estudiará la moral o las conductas (subjetivamente hablando) y no el código práctico que lleve a aplicar lo más útil en cada caso.
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Conociendo lo que consideramos una explicación teórica de la trascendencia, continuaremos analizando la música y la matemática, como un medio de sublimar la espiritualidad.
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A) LA TRASCENDENCIA MÍSTICA O LA SUBLIMACIÓN "ELEVADA"; SITUACIÓN EN QUE SE ORIGINA:
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Hasta ahora habíamos hablado de los métodos de afinación como una técnica o concepto que partía desde conocimientos científicos, técnicas que llegaban a extrapolarse hasta unas ideas filosóficas que la unieron con las distancias y fuerzas del Cosmos. Teoría que por muy absurda que pueda parecernos, fue el comienzo de las Leyes de Kepler, tanto como la clave para que Newton resolviera su ecuación sobre la Fuerza de la Gravitación. Pese a ello, los "orígenes místicos" de las escalas musicales son milenarios, debiendo remontarnos al tiempo de Las Pirámides; momento en el cual debieron nacer estas ideas que equiparaban las fuerzas y ritmos del Cosmos, con los de la música. Un pensamiento de gran belleza y cuyos conceptos puramente filosóficos llegaron a poder demostrarse miles de años tras ser creadas y escritas.
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Por cuanto puede dedcirse históricamente, podemos afirmar que durante la Edad del Bronce hubieron de generar estos principios que concedían un carácter sagrado a las notas y a su afinación. Un "dogma místico" que heredaron los filósofos de la Primera Edad del Hierro, quienes cosideraban las artes de "temperar" -templar- los instrumentos, plenamente relacionadas con la Creación del Universo. Es decir, que se concebía el nacimiento de Espacio en virtud de unas medidas y divisiones iguales a los intervalos de las notas, en la escala musical perfecta. Todo lo que concedía un espíritu místico a la música, que incluso la unía e igualaba al origen del Espacio y del Tiempo. Ello porque pese a que Lessing catalogara a este arte de la acústica como puramente temporal, los antiguos lo concebían medido por distancias y pesos (tal como los astros gravitan). Es decir que las notas y sus intervalos se regulaban por longitud y tensión de cuerdas -en los cordófonos-, el tamaño de las "cañas" -en los instrumentos de viento-, o el peso y el volumen -en los de percusión-. Siendo así, el espacio regulaba una perfecta armonía y el tiempo un ritmo exacto. Un hecho que unía a la música con el Cosmos, igualmente medido por distancias y por sucesiones de periodos siderales, todo ello "atado" por una fuerza -gravitatoria- que tensaba y unía los planetas, de un mismo modo que el diapasón (o el clavijero) sujeta y regula las cuerdas.
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Una idea de Armonía Universal de la que surge la Musica de las Esferas, comunmente considerada platónica (o pitagórica), al haber sido divulgado y enseñado ese "dogma del Temperamento" por aquellos dos filósofos. Pese a ello, esta teoría que une los planetas -sus distancias y ciclos-, con la acústica y el "número perfecto"; tiene sus orígenes en las religiones más antiguas de Mesopotamia y de Egipto. Basándose en unas creencias nacidas al sublimar la matemática, la astronomía y las artes, uniéndolas a la espiritualidad -seguramente interpretando la capacidad para comprenderlas como un "don" divino-. Método por el cual lograban tal transcendencia al unir el sentimiento de la belleza artística con las teorías científicas; que trasladan el mundo puramente subjetivo (las artes) al pensamiento más objetivo (como la física o la matemática). Este avance por el cual se consigue unir la ciencia pura, a las disciplinas artísticas y a las humanidades más profundas (la filosofía), es un salto trascendente desde el mundo "objetivo" hasta lo más "subjetivo" del hombre. Consiguiendo a través de ello generar en nuestro interior un estado de elevación o deificación inigualable. Siendo a mi juicio este el motivo por el cual las artes que logran superar el mundo subjetivo y acercarse al terreno de las ciencias (de lo puramente objetivo), logran transmitirnos un estado y unas sensaciones místicas -o de elevación sublime (como sucede por ejemplo con la música de J.S. Bach, o con la pintura de Piero de la Francesca)-.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Algunos de los primeros triángulos en el plano, dibujados por mí sobre una foto tomada en la pirámide de Saqqara -recogemos esta imagen recordando la belleza de Egipto, ante los momentos de crisis que sufre este país milenario en nuestros días; deseando que sus problemas se solucionen pronto, de forma pacífica y estable-. En la ella vemos el monumento escalonado creado por el "gran arquitecto" y visir (schaty divino) Imhotep, a comienzos del III milenio a.C.. Siglos en los que ya se establecen las medidas ("el Maat" de Egipto) como "número y equilibrio perfectos", nacidos desde la armonía del Universo. 
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En la imagen, en primer plano y en azul (sobre la arena) TRIÁNGULO INICIAL de "1" y "1", cuya hipotenusa es =  √2. A la izquierda y sobre el cielo (en amarillo), el SEGUNDO TRIÁNGULO, con "1" y "2", cuya hipotenusa es =  √5. Al lado opuesto (en rojo) el primer triángulo de gran imperfección que es de "2", "3"; ya que su hipotenusa = √13. Una raiz de trece que carece de sentido estético en la progresión que estas figuras, ya que por ejemplo el "1" y "3", tendría una hipotenusa √10 ; longitud y raiz que de algún modo debió ser considerada bella (al menos entre los egipcios que utilizaban base decimal). Por su parte y en la zona central -tal como explicaremos-, hemos trazado una fórmula para poder hallar todas las raices cuadradas, valíendose simplemente de triángulos dibujados en la arena.
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A) EL ANATEMA DE LA RAIZ CUADRADA DE "2" Y EL PROBLEMA PITAGÓRICO:
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Uno de los temas más "peliagudos", cuando tratamos sobre Pitágoras y sus discípulos es el famoso "dogma de la raiz cuadrada del dos"; sobre el que algunos autores mantienen que "el maestro" afirmaba, no existía. De un modo tal que las leyendas llegan a narrarnos como uno de sus discípulos logró descifrar el valor de √2= 1,4142135... ; trás lo que el resto de compañeros de "secta" ordenaron matarlo (o expulsarlo, por ir contra los principios del pitagorismo). Algunas fuentes hablan de que aquel descubridor del anatema , fue el grán arpista y filósofo Terpandro de Lesbos. Pese a lo que en verdad, este músico y teórico de la armonía fue juzgado y castigado por crear una nueva afinación y generar dos notas distintas (en la escala pitagórica). Por lo demás, mucho nos extraña a quienes hemos estudiado esta filosofia, que los seguidores de Pitágoras proclamasen la inexistencia de la raiz cuadrada del 2; ya que ella es el fruto del primer triángulo. Es decir, que cuando un "cateto" mide "1" y el otro es también igual a "1", su hipotenusa será = √2.

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Existen teorías que afirman también la imposibilidad de cálculo en la Antigüedad de raices cuadradas como la del "2", al carecer de cifras ni de escritura en fraccoiones. Pese a ello, hemos pensado durante algún tiempo cómo pudieron calcular la  ; deduciendo que para hallarla nos bastará con trazar sobre la arena un triángulo -o un cuadrado- de un metro de largo en cada cateto (procurando que sean exactamente iguales). Tras ello, si medimos bien la longitud de su "raiz del cuadrado central" (la hipotenusa), hallaremos pronto el valor cercano de  √2, como 1,4142135... . Un hecho que nos traslada a las matemáticas fácticas, que en mi opinión y teoría fueron las que estudiaron, "vivieron" y calcularon en el Egipto antiguo (incluso hasta en Grecia y Roma). Un método matemático donde el trabajo con cuerdas, con cálculos (piedrecitas) y a través de dibujos en la arena, debió ser la fórmula para encontrar ciertas operaciones (que más tarde se comprobaban por teoremas).
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Además, la justificación matemática de aquellas no era tan importante como su utilidad; pues tan solo deseaban poder trabajar con los resultados así obtenidos. Tanto, que una aproximación bastaba para tener la cifra necesaria ( etc). Siendo para ello suficiente, trazar circunferencias, triángulos o cuadrados, a la perfección; y después medirlos minuciosamente en sus distancias y proporciones (con cuerdas). Resolviendo así -por ejemplo- la trigonometría esférica; que permite recoger conocimientos utísimos para guiarse en el desierto, o calcular la hora y fecha (pudiendo viajar bajo la prospección de longitud y latitud, conociendo así donde nos encontramos en cada momento de la singladura).
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De tal manera, pensando en esta primera conclusión que exponemos; nos será muy fácil comprender qué significaba "la cuerda" para los sacerdotes egipcios (tanto como para los agrimensores griegos o romanos). Quienes debían valerse de sogas no solo para el estudio de la matemática, sino también como el mejor medio para medir las propiedades, las distancias en los caminos y para distribuir las parcelas. Un trabajo en el cual era imprescindible manejar la triangulación, habida cuenta que el cuadrado -o el rectángulo- se deforman facilmente. Aunque el triángulo no pierde tan rápidamente su perfección, ya que valiéndose de una simple escuadra puede comprobarse si su vértice está o no a 90º (delatando su estado defectuoso con bastante exactitud). A ello seguramente se debe la importancia del triángulo en Egipto, al igual que la concedían a "la cuerda". Esta última tristemente desconocida, aunque una de la ceremonias más importantes fuera la de extensión de cuerda. Rito con el que comenzaba toda obra de construcción (en especial si era sagrada), y con la que iniciaban o inaguraban los templos, al igual que algunas fiestas. Siendo la cuerda el utensilio más útil para el agrimensor, tanto como para el matemático; ya que valiéndose de aquellas y dibujando sobre la arena, podría calcular difíciles ecuaciones, raices, y hasta manejar la trigonometría esférica (o circular, realizando complejos algoritmos). Todo ello valiéndose tan solo de unas sogas, unos palos (o un bastón) y de un sistema de medidas perfectamente delimitado.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Fresco egipcio perteneciente a una tumba de Tébas (Valle de los Reyes) fechada en el Reino Nuevo (XVIII dinastía) -agradecemos a la institución propietaria, nos permita divulgar la imagen-. En la foto observamos unos funcionarios (¿sacerdotales?) que trabajan con su cuerda, midiendo el campo de cereal, para calcular la extensión y producción -con el fin de cobrar impuestos y generar un reparto ecuánime y justo de los recursos-. Tras el personaje que porta la soga se observa un segundo individuo que lleva un bastón; mientras frente ellos (a nuestra derecha y en lugar que apenas se ve) existe un tercer personaje que sujeta algo que bien pudiera ser una escuadra -o un método de calcular los grados de la soga extendida-.
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Evidentemente, la imagen nos habla de personas muy preparadas para la agrimensura, que se esmeraban en calcular perfectamente el reparto de tierras y la producción de cereal, con el fin de cumplir su cometido de un control justo sobre la Sociedad. Por lo demás se sabe que tales cuerdas eran preparadas durante meses en los recintos sagrados, donde igualmente se marcaban sus medidas para evitar fraudes. Las extendían y "curaban" al sol (y con agua) por un tiempo largo, tras lo que untaban con grasas y resinas estas sogas, con el fin de que no sufrieran deformaciones y midieran perfectamente cada caso. Portando marcas absolutamente delimitadas, que tras la supervisión del templo se consideraban exactamente calculadas; eran tan útiles como puede resultar en nuestra civilización la cinta métrica.
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Pero siguiendo con la teoría de los triángulos, y el problema del "2", tan solo concebimos que Pitágoras afirmase al inexistencia de la raiz de este número, refiriéndose a una extraña realidad, como es el hecho de que si tomamos varios triángulos equiláteros con el vértice a 90º, sus catetos siempre serán la raiz cuadrada de la hipotenusa dividida entre "2". Es decir, que si la hipotenusa es 4, ambos catetos serán Ѵ4/2; si la hipotenusa es 3, los dos catetos serán Ѵ3/2 y así sucesivamente. Aunque existe un caso, que es el "2", en el que vemos algo tan extraño como que Ѵ2/2 = Ѵ1 = 1. Es decir que realmente el triángulo cuya hipotenusa es "2", tiene dos catetos que carecen de raiz cuadrada, ya que ella es igual a "1". Habiendo sido muy probablemente este al anatema pitagórico, habida cuenta que es el "1" el que de algún modo no tiene raiz cuadrada. Al consistir en un número tan extraño que su elevado o raiz cuadrada es igual a sí mismo: 1^{1 = Ѵ1 = 1·1 = 1 .}
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BAJO ESTAS LÍNEAS: El autor de estos artículos junto a la Pirámide de Saqqara. Al lado he ido dibujando la sencilla forma del triángulo en la que cuando una hipotenusa es "x" y los dos catetos son iguales; ambos son =Ѵx/2. Este quizás fue el problema con el que se encuentra el pitagorismo al observar que en con hipotenusa "2", y catetos idénticos, estos equivalen a "1"; es decir, realmente a 2/2; y no tanto a Ѵ2/2 (como debiera ser). Considero por ello que quizás el "dogma pitagórico" acerca de la Ѵ2 debemos entenderlo así; al creer posiblemente los seguidores de Pitágoras, que en verdad el número que carece de raiz cuadrada es el "1" (cuya hipotenusa en el primer triángulo "1", "1" es = "2"; y de ello el anatema relativo a la raiz de este segundo número). 
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Continuando con la matemática fáctica, si tomamos como el primer triángulo el antes estudiado ("1", "1", "2"); el siguiente en relación a un orden numérico, sería aquel cuyos catetos fueran "1" y "2". Un triángulo cuya hipotenusa -como vemos en la foto de abajo- es Ѵ5 = 2,2360679... . Siendo así, para calcular la raiz cuadrada de 5 en la antigüedad, vemos que bastaría con trazar sobre la arena un triángulo de estas medidas: "1" en el cateto (a), "2" en el (b); siendo (c)=Ѵ5 . Todo lo que se calcularía midiendo bien la hipotenusa, para cuyo conocimiento semi-perfecto quizás haría falta realizar figuras de enormes medidas; aunque -realmente- si deseamos comprobar su facilidad para hallarlo de este modo, bastará que pintemos sobre la arena de la playa un triángulo con un metro en su lado (a) y dos de largo en el (b); para luego medir con exactitud la hipotenusa, observando que (c) nos resultará un valor muy cercano a la verdadera Ѵ5 = 2,2360679... .
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BAJO ESTAS LÍNEAS: De nuevo una foto de la Pirámide se Saqara, aunque ahora hemos dibujado sobre aquella un sistema para hallar cualquier raiz cuadrada de modo fáctico. Para lo que bastaría partir desde el primer triángulo ("1", "1", "Ѵ2" ) y seguir en un modo escalonado siempre que el cateto primero (a) fuera = "1" De tal modo con (a)=1; el cateto segundo (b) sería la hipotenusa del triángulo anterior. Ello así medido nos daría la razón continuada de las raices de Ѵ2; Ѵ3; Ѵ4; Ѵ5; Ѵ6; Ѵ7 y etc. En la foto podremos ver representado el método de ir dibujando en el suelo o sobre la arena estos triángulos sucesivos (que generarían una especie de "escalera" formada por triángulos consecutivos).
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B) LA RAZÓN PRIMERA DE "FI" () Y DE LA AFINACIÓN PITAGÓRICA: 
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Trás observar la anterior relación de triángulos y su uso para hallar fácticamente las raices cuadradas, nos será fácil comprender que los egipcios y mesopotamios, pronto encontrarían el llamado "triángulo perfecto". Un escaleno que consistía en "3", "4", "5"; triángulo del que sabemos hubo de ser sagrado para los sacerdotes del faraón, por cuanto se repite en las formas arquitectónicas. Tanto que algunos autores (como Peter Tomkins) creyeron haberlo visto en las proporciones del pene del dios Minu. Un divo-faraón que representaba la fertilidad del Nilo y el poder fecundante de sus limos en la inundación. Todo lo que se simbolizaba en este dios al que se considera el recuerdo de una de las primeras dinastías reinantes y procedentes del Sur: Gentes que invadieron el delta -o llegaron a este- desde el Bajo Egipto y a comienzos de la Edad del Bronce. Una migración de pueblos camíticas, que debió de demostrar la mayor fertilidad y fortaleza de los africanos, frente a la debilidad y falta de masa corporal entre los más "blanquecinos" (al menos para soportar las temperaturas y trabajar en las condiciones que el Nilo y sus campos precisaban). Tanto fue así, que Minu (el divo de la fecundación) era representado como un hombre de raza negra, vestido de faraón y con flagelo; mientras su pene erecto, como símbolo de la fertilidad y la riqueza, dicen algunos que marcaba la perfección en la creación: El triángulo "3", "4", "5".
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ABAJO: Relieve capilla blanca de Sestrosis I, en Karnak (XII dinastía) -agradecemos a la dirección del Templo de Karnak (en Luxor), nos permita divulgar esta imagen-. En este podemos observar al faraón divinizado Min (ó bien Minu); dios de la fertilidad, que presenta el pene en estado itifálico. Algunos autores consideran que las medidas existentes entre el final de glande y la altura de su ombligo, conforman comunmente en las estatuas de Minu la proporción del triángulo perfecto (3-4-5). Así lo afirmaba el ingenioso investigador sobre las pirámides, Peter Tompkins -a mediados de los años ochenta-; estudioso al que se debe uno de los más entretenidos libros acerca de las construcciones egipcias. 
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Pero continuando con la razón de "fi" -también llamada "La sección áurea"; e incluso la Divina Proporción, durante el Renacimiento-; diremos que su comienzo o sus orígenes se hallan en este triángulo perfecto. Debido a que la relación entre sus catetos y su hipotenusa son las siguientes:
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- a:b = 3/4 = 0,75 ; cuyo inverso es 4/3 = b:a

- a:c= 3/5 = 0,60 ; cuyo inverso es 5/3 = c:a

- b:c = 4/5 = 0,80 ; cuyo inverso es 5/4 = c:b
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Siguiendo con sus proporciones, uniendo los catetos y la hipotenusa estas son:
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- (a+b):c = (3+4)/5 = 7/5 ; cuyo inverso es 5/7 = c:(a+b)

- (a+c):b = (3+5)/4 = 8/4 ; cuyo inverso es 4/8 = b:(a+c)

- (b+c):a = (4+5)/3 = 9/3 ; cuyo inverso es 3/9 = a:(b+c)
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Consecuentemente las proporciones que nacen de dividir sus lados (solos o bien sumados) son: 3/4 (inverso 4/3); 3/5 (inverso 5/3); 4/5 (inverso 5/4); 7/5 (inverso 5/7); 8/4 (inverso 4/8); 9/3 (inverso es 3/9). Unas divisiones que marcan claramente los temperamentos pitagóricos, cuyos intervalos de afinación en la escala musical son exactamente esos: 3/4 ó 4/3 (a la que s denomina "cuarta"; 3/5 ó 5/3 (que combina "quinta" y "cuarta"); 4/5 ó 5/ (que es el intervalo de "quinta"); 7/5 ó 5/7 (en relación con armonía de "quinta"); 8/4 ó 4/8 (la octava o diapasón); 9/3 ó 3/9 (cuya proporción es 3 o 1/3, igualmente relacionado con la "cuarta" en la escala musical).
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Siendo así ya podemos afirmar que el sistema pitagórico de afinación y sus intervalos, proceden de estas medidas que marca el triángulo perfecto (3,4,5). Aunque sabiendo que aquellas escalas de Pitágoras y sus discípulos también estaban fundamentadas en la razón de "fi", nos será ya fácil buscar la proporción de este "número áureo" en el mismo triángulo perfecto.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: De nuevo la imagen mía junto a la pirámide se Saqara, aunque esta vez la hemos coronado con el "triángulo perfecto" (en amarillo). Bajo esta, vemos el modo de hallar las raices cuadradas simplemente utlizando la hipotenusa como siguiente cateto en un triángulo que siempre tenga (a)=1. Consecuentemente, en el primer caso (b) será = 1; en el segundo (b)=Ѵ2; el tercero (b)=Ѵ3; el cuarto (b)=Ѵ4; el quinto (b)=Ѵ5; el sexto (b)=Ѵ6; y etc.. Partiendo de estas proporciones y desde las ya establecidas del triángulo perfecto, expondremos las razones de la "sección áurea" nacida desde aquellos.
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A)- Así, en el triángulo "1", "1" ,Ѵ2 (negro); sus proporciones son:
a:b=b/a=1 ; a/c = 1:Ѵ2 = Ѵ1/2 ; (a+b):c = (1+1):Ѵ2 = Ѵ2
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B)- En el siguiente que es (rojo) "1", "Ѵ2", "Ѵ3" las proporciones son
a:b = 1/Ѵ2 = Ѵ1/2 ; a:c = 1/Ѵ3 = Ѵ1/3 ; b:c = Ѵ2/Ѵ3 = Ѵ(1/1,5)
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C)- El de color azul que tiene "1", "Ѵ3", "Ѵ4", lleva estas proporciones:
a:b = 1/Ѵ3 = Ѵ1/3 ; a:c = 1/Ѵ4 = 1/2 ; b:c = Ѵ3/Ѵ4 = Ѵ3/4
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D)- Finalmente el verde contiene "1", "Ѵ4", "Ѵ5", y se proporciona como:
a:b = 1/Ѵ4 = 1/2 ; a:c = 1/Ѵ5 = Ѵ1/5 ; b:c = Ѵ4/Ѵ5 = Ѵ4/5
Pero a su vez este triángulo verde guarda la sección áurea en razón:(c:b) + (a:b) = (Ѵ5:2) + (1/2) = 1,118033989 + 05 = 1,618033989... = 
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Como hemos podido ver, el triángulo último en la "serie de hipotenusas" que hemos creado, contiene plenamente la fórmula de "fi"; ya que al ser sus LADOS (a)=1; (b)=Ѵ4; (d)=Ѵ5 . (a/b)+(d/b) = 1,618033989... (número de la "sección áurea", que se dibujaría de este modo -al menos en mi opinión-). Aunque la misma proporción podremos escribirla también con el triángulo siguiente:
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BAJO ESTAS LíNEAS: Dibujado sobre la clave de la iglesia de Pampliega (Burgos) otro modo de representar "fi" (en mi idea); triangularmente y cuando los lados son (a)=1; (b)=2 ; (c)=Ѵ5 .
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Siendo así que:(a/b) + (c/b) = = 1,618033989...
Por su parte este triángulo entero es igual a:
a+b+c = 2 + 2
. Finalmente, sobre el mismo triángulo, en la foto y en líneas amarillas; hemos representado lo que significaría "fi"
 = (½ a) + (½ b) = (½) + (½ Ѵ5) = 0,5 + 1,118033989... =1,618033989...
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BAJO ESTAS LíNEAS: Dibujado también sobre la clave de la iglesia de Pampliega (Burgos); los dos triángulos sagrados de Egipto, de los cuales procede la Sección Áurea y la afinación llamada pitagórica; basada en los intervalos: 1/2, 2/1 ; 3/4, 4/3 ; 5/4, 4/5 ; 5/3, 3/5 .
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