Demostración de la utilidad matemática del Codo Perimetral, que hemos hallado en El Mar de Salomón (cálculo de areas y volúmenes esféricos, sin precisar de "pi").

Hace ya veinticuatro años, discutíamos con los científicos sobre la posibilidad de la existencia de una matemática empírica y no exacta en la Antigüedad; matemática que pudiera suplir comunmente, las funciones de una ciencia exacta. Muchos de ellos no daban crédito a nuestras ideas, hasta que pudimos demostrarlas. Entre ellas, la que mas interés despertó fue la posibilidad de medir áreas y volúmenes de la circunferencia (y esfera) sin precisar de π y sin necesitar dividir o multiplicar cifra alguna con dificultad. Algo que en un principio les resultó muy llamativo, pero que se explica del siguiente modo:

 

A)-Razonamiento sobre el área en la circunferencia, sin precisar del uso de “pi”:

Para comprender este caso, del cual parte casi toda nuestra teoría de la matemática empírica en la Antigüedad, basta con recordar que el Area de la circunferencia se resuelve comunmente como (siendo r, el radio de la circunferencia):

π × r² = área

Pero dado que π es igual al perímetro partido por el diámetro ( vamos a llamar “P”, al perímetro y “D” al diámetro); resultando que si π = P/D ;  de ello el área de la circunferencia es:

Area = π × r² = P/D × r × r

Y siendo el radio la mitad del Diámetro  r = ½ D  ; la comprensión de su área, resulta algo tan sencillo como:

½ D × ½ D × P/D = Area

Lo nos hace deducir que (D×P) ÷ x = Area

Llegando en dos planteamientos a poder ver que siendo ½ × ½ = ¼ ; "(DxP) dividido por 4", es el área, por lo que:

¼ (D/P) = Area de la circunferencia

O lo que es lo mismo (¼D) × P = Area

CONCUYENDO QUE:

 ¼ del Diámetro, multiplicado por el Perímetro es el Area

 

B)- Teoría sobre método experimental en la Antigüedad, para hallar el área de la circunferencia, sin precisar de π (ni necesitar dividir o multiplicar de forma compleja):

En nuestra idea (que ya expusimos hace veinticuatro años), no se necesita de “pi” ni de grandes conocimientos para poder medir áreas ni volúmenes esféricos. Basta para ello con saber que ¼ del diámetro multiplicado por el perímetro, es su resultado. Conclusión a la que se llegaba de forma empírica, usando un método experimental. A continuación, proponemos un sistema por el cual puede hallar el resultado del área y volúmenes esféficos, de manera fáctica; considerando nosotros que para conocer la capacidad y extensión de espacion circulares en la Antigüedad, pudieron seguir un proceso como el siguiente:

1-      Hágase un recipiente en cerámica perfectamente redondo, ancho y de base plana (como una pila o baño circular y de forma totalmente cilíndrica, con paredes rectas)

2-      Por otro lado, tómese una tabla o piedra plana, mas o menos igual de tamaño que el recipiente cerámico perfectamente redondo que ya hemos construido. Esta segunda superficie plana, servirá como base para ir haciendo sobre ella paredes iguales, creando así  recipientes en cuadrado, que puedan ir midiendo el agua (que mas tarde vamos a echar desde la pila redonda) .

3-      Llenemos de líquido el recipiente cerámico circular, hasta un límite (pongamos para medir este límite, un objeto dentro y así saber exactamente la altura donde debe llegar el agua)

4-      Hagamos un cuadrado perfecto con tablas sobre la segunda base preparada que teníamos. Ya que necesitamos conseguir hacer otra pila (pero resta vez cuadrada) de dimensiones similares, sobre la cual volcando el líquido anterior, cubra exactamente hasta la misma altura que antes.  Para ello, tras poner las paredes al nuevo recipiente cuadrado, cuidaremos de que cuando allí echemos el agua desde la circular, aquella no se salga por sus cantos. Para ello, la sellaremos con brea cada vez que renovemos el tamaño de sus paredes, para que no tenga pérdidas. El cuadrado lo iremos agrandando o haciendo mas pequeño en sus lados, hasta llegar a su medida exacta.

5-      La medida exacta la hallamos llenando de agua el recipiente redondo, hasta llegar al límite puesto en el objeto. Luego pasaresmos el mismo objeto al interior del otro, hecho con tablillas cuadradas (selladas). Cuando quede justo su superficie a la misma altura, ambas pilas seran proporcionales. Pues cuando se llegue a un nivel igual de agua, sobre este objeto en un recipiente cuadrangular, habremos hecho un cuadrado equivalente al círculo anterior (en capacidad y area).

Como podemos comprender, este “experimento”, que lo puede hacer aún hoy un niño valiéndose de un cacharro perfectamente redondo de cerámica y otro regulable en cuadrado; nos va a resolver empíricamente la circunferencia. Debido a que la relación entre "la pila" redonda y la perfectamente cuadrada, es el área y el volumen (a contener la misma cantidad de agua a igual altura). Ello, nos resuelve el problema del área de su círculo, e incluso el volumen de este y de su esfera. Pues para conocer el volumen, bastará con darle un valor "x" a la profundidad del nivel del agua (pongamos por ejemplo 1).

De tal manera, si damos un valor a la altura del agua allí contenida y calibramos la medida de uno y otro recipiente, veremos que la resolución de la capacidad del redondo y el cuadrado será: Diámetro multiplicado por perímetro, dividido por cuatro, es igual al área del cículo (algo que hemos comprobado con la del recipiente cuadrado). Es decir, tal como hemos visto en el epígrafe (A):

Area = (D × P) ÷ 4  

Como hemos dicho, para conocer el volumen del cilindro de una circunferencia, bastará con dar un valor (x) a la profundidad del agua que hay en los recipientes para medirlos. Así si damos valor 1 al nivel del agua, para obtener la cubicación de la circunferencia multiplicada por altura = 1

(¼ D×P) x altura = Volumen del cilindro ( área circunferencia, multiplicada por altura).

Fórmula que podremos hallar fácilmente, al comprobarla empiriamente midiendo el agua que había y el tamaño de los lados en el recipiente cuadrado; viendo así de manera fáctica, que en una circunferencia, el área multiplicada por la altura, es igual al volumen, de su cilindro.

 

C)- Forma de hallar las áreas de la circunferencia en la Antigüedad sin necesitar “pi” (teoría nuestra, que llevamos mas de veinte años planteando):

Tal como ya expusimos hace casi un cuarto de siglo, basta valerse de cuerdas métricas, de las que fabricaban los sacerdotes en la Antigüedad (dividida en partes iguales y proporcionales al Codo, Dedo, Palmo, Pie etc); para hallar de cabeza el área de la circunferencia, sin precisar multiplicar ni dividir, cantidades con gran dificultad. Para ello, sígase el siguiente proceso:

1-      Tomemos un metro de costurero y pensemos que es una cuerda métrica de las que había en los templos en el tercero, segundo o primer milenio a.C. (marcada en proporciones en dedos y codos, tensada y secada).

2-      Midamos la distancia de lado a lado del objeto redondo y luego su contorno. Multipliquemos el valor de ambas medidas (Diámetro por Perímetro) y dividamos el resultado por 4. El total es su área.

3-      Método Segundo mas fácil y sencillo: Medir el Diámetro con una cuerda métrica y dividirla por 4 (doblando el metro en cuatro partes); tras ello multiplicar este D/4 por el Perímetro, para obtener el área.

El sistema es sencillísimo, pues tomaremos la cuerda, mediremos el círculo de lado a lado; tras lo que la doblaremos en cuatro partes iguales: Este cuarto del diámetro, lo multiplicamos por el total del perímetro (tenemos así el área sin necesitar dividir, solo multiplicando una cuerda doblada en cuatro partes, por otra igual al contorno del círculo).

Como vemos, π, no se precisa para calcular áreas en la circunferencia (ni volúmenes). Siendo este tipo de soluciones las en nuestra teoría sobre la matemática de hace miles de años, daban en la Antigüedad, para resolver la circunferencia de manera empírica.

D) Importancia de una medida perimetral, para el cálculo de volúmenes líquidos. EL CODO PERIMETRAL que hemos hallado en el Mar de Salomón (los Codos circundantes a la pila):

1) Uso de los patrones métricos en el templo:
Con las explicaciones anteriores, hemos podido ver como en la Antigüedad no necesitaríamos del número “pi” y ni siquiera saber dividir, para llegar a calcular áreas y volúmenes en la circunferencia. Algo imprescindible para poder comerciar con líquidos en el Mundo Antiguo, dado que la gran mayoría se vendían en recipientes redondos, o circulares (prácticamente no se conoce comercio alguno de líquidos en envases cúbicos). Entre esos recipientes donde se vendía el aceite, el vino o la cerveza; los más comunes eran: El ánfora y el barril, tanto como la tinaja y el cántaro (todos redondos y que precisan de conocimientos matemáticos para saber su capacidad). Pero para entenderlo todo mejor, vamos a poner un ejemplo:

Por cuanto explicamos, para comprender la importancia y uso del Codo (y del Codo Perimetral), vamos a exponer dos casos:

Primero: Supongamos por un momento que nos encontramos en el siglo X a.C. y somos un sacerdote del Templo de Salomón. Hasta nosotros llegan dos fieles al templo en litigio; uno dice que le han vendido vinos en medidas engañosas que guarda un comerciante. Por su parte, el segundo (el vendedor), afirma que no engaña y trae sus recipientes de medida, que son varios juegos de jarras cerámicas perfectamente cilindricas. Nosotros, como sacerdote juez, determinamos medir en el templo aquellos patrones que trae el comerciante y con ello, vamos llenándolos y echándolos en la pilas de cubicaje que el lugar sagrado tiene preparadas para estos casos. Pero las medidas no cuadran, es mas, les sobra. Por ello, quien reclama que le han engañado al comprar diariamente vino, afirma que el comerciante tiene medidas incorrectas y para timarle llena los recipientes hasta un punto. El comerciante afirma que hasta allí es suficiente. Hay otros testigos, que también le compran vino y afirman que no los llena hasta arriba, queriendo conocer la medida exacta de cada patrón que usa, para saber si han sido o no engañados.

Cansado el juez de la disputa de unos y otros, afirmando que hay fraude o no en las medidas, hemos de determinar hasta qué altura hay que llenar cada jarrita que usa el comercianto (cubicándola). Para ello, sacaremos una cuerda con el valor del Codo dividido en Dedos; mediremos su diámetro y su perímetro; los multiplicaremos partiendo en 4 el diámetro. Tras ello mediremos la altura y marcaremos hasta qué punto había que llenar cada patrón con el que vedía vino el comerciante. -Evidentemente, si a la jarra le sobra en volumen, el que vende tenía la razón, pero si falta, los que compraban tenían derecho a reclamar el vino robado-.

Segundo: Llega al Templo de Salomón un hombre afirmando que le han vendido una casa circular y le han engañado en su tamaño. Este marcaba en lo estipulado por venta un área que a su juicio no tiene; pero  que no ha podido comprobar, pues nadie se la puede medir, ya que se trata de una gran torre perfectamente redonda. Su interior está lleno de habitaciones y dividido en paredes, por lo que solo puede medirse por fuera y ningún contable o escriba, conoce el medio de encontrar cuanto mide. Para colmo se levanta en la ladera de una montaña y tiene casas cerca, por lo que es imposible trasladar sus medidas, copiándolas en un área al lado de esta (como podría hacerse si estuviera la torre en un llano despoblado). Nos acercamos hasta su casa para ayudarle e iremos con dos patrones: Uno de Codo Perimetral y otro de Codo Normal, tanto como con una gran cuerda. Mediremos el perímetro de la torre con la gran cuerda y determinaremos con el patrón del Codo del Mar (Codo Perimetral) cuanto es; pues este dividido por 3, nos dará el diámero exacto. Tras ello, mediremos de nuevo el perímetro en Codos Normales; su resultado lo multiplicaremos por la cuarta parte del diámetro y obtendremos el area (casi exacta).


2) Patrones para medidas circulares en líquidos:
El medio mas común de medir productos como el aceite el vino o la cerveza (hasta no hace mucho), era el de crear patrones sacados de un modelo cúbico exacto. Fabricaban con este fin "cacharritos" de cerámica (en la forma que quisiéramos, normalmente redonda y alta), donde introducían luego el agua de patrón cúbico. Tras ello, abrían un agujero en su tope alto, justo donde marca el máximo del líquido allí echado desde el otro recipiente patrón. La medida había de hacerse tras cocer “levemente” el jarrón cerámico que preparábamos como nuevo patrón métrico, ya que el horno cambia un poco el tamaño y proporciones del objeto que en él introducimos. Por ello, tras esta primera cochura, se solía hacer un agujero cuadrado y suficientemente grande, en el lugar que marcaba la medida (para que desbordara con amplitud, sobre todo en caso de líquidos como aceites, o de usarse también para cereales). Finalmente, se pasaba a dar la segunda cocción pudiéndolo vidriarlo en su exterior, para evitar que ensuciara o que tuviera un aspecto antihigiénico (dado que estos patrones se usaban durante años, para aceites, leche, agua y hasta para medir cereales).

Pese a ello, en la Antigüedad bien es sabido que los mas preciados líquidos -aceites, cerveza o vinos- se vendían comúnmente ánforas o tinajas selladas, tanto como en barriles (aunque este último era un recipiente “muy raro” y escaso, usándose tan solo para el proceso de fermentación, por necesitar construirse en madera y con técnicas mas complejas que las del ceramista). Siendo así, veamos que el ánfora (y muchas tinajas), necesitaban tener forma picuda en su base, debido a que se manejaban y transportaban clavadas en la  arena o en la “parte viva” del barco. Debido a que se manipulaban del siguiente modo, para evitar roturas y que fueran útiles: Se apilaban clavadas en arena (en el varadero o playa). Igualmente, se solía llenar de arena la zona baja de la nave (cercana a la quilla) y en esa “bodega”, se clavaban las ánforas llenas de vino, aceite (cerveza o etc), con el fin de que ayudaran por contrapeso a la navegación, en caso de oleaje. Estas, se transportaban así, lo que permitía además equilibrar el barco, haciendo “balance” en su quilla; tanto como el método garantizaba que no se rompieran (pues al ir clavadas en arena en la “parte viva”, no se movían). Por lo demás, otro sistema de aligerar este cargamento y mejorarlo sería el de poner estanterías para ánforas en la bodega (hechas con agujeros sobre madera), para poder prescindir de la arena y colocar varias filas de esos recipientes, unos sobre otros.

De igual manera, las tinajas grandes, deben de tener una base una boca mucho mas pequeñas que su parte central (llamada comúnmente y por eso: Barriga). Ello, por dos razones: La primera de construcción, pues se realizan a uniendo trozos largos frescos de arcilla, que se van añadiendo y pegando. Para lo que se precisa comenzar en una base pequeña y aumentarla, para, finalmente disminuirla. El segundo motivo por el cual dan esta forma amombada a la tinaja es porque una vez así hechas, se cuece bien, no se parten, ni se deforman; pues si construyéramos un cilindro perfecto e igual, se precisaría de unas paredes mucho mas gruesas, rajándose la mayoría de las veces en las cochuras. Una razón mas existe para dar esta forma a las tinajas y es la de que de esta manera, en su base se acumula la suciedad y basta con hacer allí un agujero (que se taponará al llenar), para poderla limpiarlas perfectamente antes de cada llenado (dado que un cilindro acumularía y mezclaría mucho mas suciedad y posos del fondo, tanto como nunca podríamos limpiarlo bien hasta su final). Dicho esto, hemos entendido por qué los recipientes han sido circulares (a veces casi redondos), “desde Cnossos a Tartessos", pasando por Efessos, por Cartago y Roma, llegando hasta hace bien poco… Pero veámos qué ocurría en su comercio y trueque. Para comprenderlo pongamos algunos ejemplos prácticos

E) Final: OTROS PROBLEMAS PRÁCTICOS (EN LA ANTIGÜEDAD):

a)- Calcular volúmenes en ánforas fenicias del siglo VII a.C. (ver tipología Dresëll):
Tenemos que celebrar una boda y un comerciante fenicio nos ofrece veinte ánforas de vino que nos puede traer desde Tartessos. Dice que son de 1 Codo y medio de largas y un Codo y un Dedo, de perímetro en su parte central; afirmando que aproximadamente equivalen a 400 Dedos (cúbicos) de Codo Hebreo cada una (aunque no lo sabe muy bien). El vino es carísimo, pues procede de zona cercana al Arx Gerontis (Ceret romano = Jerez). Le pedimos que nos enseñe un recipiente igual (a ser posible vacío), para valuar su contenido, pero el comerciante nos dice que no tiene ánforas de muestra y que por ello nos pone el cargamento muy barato si es por pedido y encargo….El vino viene sellado y cerrado desde Tartessos, por lo que sobre su calidad no hay duda, el único problema es saber si nos van a engañar en el tamaño que dan. 

Deseamos comprarlas, pero es muy difícil cubicar la medida de estos recipientes que nos ofrece, solo con su longitud y perímetro, dado que el ánfora fenicia es fusiforme y similar a un rombo alargado. Pese a ello, tenemos conocimiento del Codo Perimetral y sabemos que un sacerdote del templo amigo, puede sacarnos de dudas. Vamos a verle y le prometemos un diezmo si nos calcula el volumen interior de estas ánforas fenicias que nos ofrecen, de las que ni el comerciante sabe exactamente a cuantos Dedos cúbicos hebreos corresponde. El sacerdote acepta calcular el vino para la boda a cambio de un diezmo para el templo; para ello le bastará con realizar las siguientes operaciones para saber el difícil volumen de estas ánforas fenicias.

-Sabemos que la longitud aproximadamente un Codo y medio (normal), tal como nos dice el comerciante (por que conocemos que su altura equivale a 36 dedos, dado que el Codo hebreo era igual a 24 Dedos)

-Su contorno en la parte central y mas ancha,  afirma el fabricante que es de 1 Codo y 1 dedo (Codo Normal; es decir 25 Dedos). Saquemos el patrón de Codos Perimetrales y veremos que corresponde a unos 24 Dedos Perimetrales (medida del Mar de Salomón). Dividiendo 24 entre 3 de cabeza sacamos que el diámetro central es de 8. Por lo que su área en la parte mas ancha es muy simple de hallar, multiplicando el total de Dedos de diámetro por los de su perímetro y partiéndolo por 4. De ello, como las medidas del ánfora son:

Diámetro central = 8 ;  Perímetro Central= 25 Dedos

Área en su circunferencia central = (8÷4) x 25 = 50 Dedos cuadrados

-El volumen total del ánfora exacto es igualmente sencillo de hallar, sabiendo que su área central en el punto mas ancho es de 50 Dedos y la Longitud del ánfora 1,5 Codos = 36 Dedos. Habrá luego que encontrar su “área media” comparando diferencias entre la zona mas ancha (media) y la de menos perímetro (boca y final).

Por lo que simplemente de cabeza podemos calcular el volumen si medimos la boca de un ánfora del mismo tipo (que entonces abundaban) y damos igual valor a la base. Ya que la base era mas o menos igual a la boca, debido a que este recipiente terminaba en pico y abajo tenía gran grosor de cerámica para ser clavada, tanto como allí se depositan los posos del vino (o de la suciedad). De lo que si vemos que valor del contorno de una boca de este tipo de ánforas (y de su base) es de 10 Dedos (Perimetrales); de ello que resultan unos 3 + 1/3 Dedos de diámetro. De cabeza sacamos el volumen total aproximado haciendo una media del siguiente modo:

Diámetro X Perímetro = (3+ 1/3) · 10 Dedos ; ello dividido por 4 = área
luego (33 y 1/3)÷ 4 Dedos, sería área circular en su zona mas pequeña,
lo que supone 8 y 1/3 Dedos cuadrados

Teniendo 50 Dedos de area circular mayor y 8+1/3 Dedos, en su área menor. Sabiendo la Longitud del ánfora que eran 36 dedos.

-Hallar el Volumen:

Calculemos su Volumen con quebrados (tal como se hacía) = Área media, por la altura; restando el mayor del menor y sacando promedio:

Restemos el área mayor a la menor y saquemos promedio: 
50 – (8+1/3) = 41+10/15 ; el promedio entre ambas áreas es de 1/2 de (41+10/15) = 20+10/12
Esta sumada al área mas pequeña nos da un promedio total:
(8+1/3) + (20+10/12) = 29+1/6 

De lo que el área circular media del ánfora es de 29+1/6 Dedos cuadrados.  

Volumen = altura por área circular media

29+1/6 Dedos multiplicados por 36 Dedos, de longitud = Volumen del ánfora

Total: 1050 dedos cúbicos.

De lo que el volumen del ánfora es de unos 1000 Dedos hebreos cúbicos. Sabiendo su contenido, podremos ajustar precio y por medio de un escriba hacer el contrato para encargar las 20 ánforas si interesan.

 

b)-Calcular el trigo antes de ser pesado:
Queremos comprar un cargamento de trigo antes de que lo pesen y valoren, pues sabemos cuanto equivale al peso un Codo cúbico de este cereal. Se encuentra todavía recién trillado y puesto en un gran círculo en forma de cono. Solicitamos auda alamigo del templo quien nos dice que tan solo que le quiten esta forma piramidal y lo golpeen hasta dejarlo como un cilindro. Tras ello que tomemos la medida de su períemtro con una gran cuerda y se la llevemos. Nos dará la medida exacta si beneficiamos en la venta al templo. Usara luego dos tipos de Codos (el perimetral y el normal), para medir la cuarda que le levamos marcada con el perímetro de la "montaña) cilindrica hecha con cereal. Para hallar el volumen del trigo hará la siguiente operación:

-Tomamos el Codo del Mar de Salomón (el que hemos llamado Codo Perimetral) y mediremos con este el total que nos traen como contorno del montón cilíndrico hecho con cereal. Nos sale un total de 122,5 Codos (del Mar) de perímetro (122+1/2 como entonces se escribiría pues no existía ni la cifra, ni los decimales). -Recordemos una vez mas que este Codo Perimetral o del Mar de Salomón, era un 0,0472 mayor que el normal, preparado para valorar su diámetro exacto. Por lo que dividiendo los Codos que nos daba un contorno por 3, resultaba el diámetro casi exacto calculado en π-.

-Tomemos la cuerda (de longitud 122,5 Codos del Mar), con la que hemos rodeado el montón de cereal y dividámosla manualmente en tres partes. Nos saldrá la cuenta hecha así a mano simplemente doblándola en tres partes iguales :

(122 + ½) ÷ 3 = 40 + 10/12 Codos
Este es el diámetro  del montón de cereal, en Codos Normales

-Ahora volvamos a medir el perímetro o la cuerda con la que hemos rodeado el montón de trigo, en Codos, pero esta vez Normales, para hallar el área:

Nos saldrá un perímetro de 128,3 (aproximadamente) 128+10/35 Codos Normales

Ello significa que el diámetro exacto del contorno en el cilindro de cereal, tiene 40 Codos y 20 Dedos (recordemos que 1 Codo eran en Israel 24 Dedos) y su perímetro es de 128 y algo mas de 6 dedos.

-Haremos la operación primero en Codos cúbicos y luego en dedos, para comprobar que en ambos casos es factible:

Multiplicaremos diámetro por perímetro para hallar área multiplicada por 4: 
(40+10/12)·(128·10/35) = 5238+1/3 Codos (su área será 1/4 de esto)

Área del circulo de cereal = (5238+1/3) ÷ 4 = 1309+1/2 (aprox) Codos

Multipliquemos área por altura y obtendremos el volumen. Dando una altura de 1+1/3 de Codo, de lo que:

(1+1/3)·(1309+1/2) = 1746 Codos cúbicos

Si sabemos lo que pesa y vale un Códo Cúbico de trigo seco, podremos comprar el cargamento antes de que se evalúe.

-FINALMENTE: REPITAMOS LA MISMA OPERACION EN DEDOS PARA SER MAS PRECISOS:

-Pasemos todo a dedos y hallemos el área sabiendo que el diámetro es 980 Dedos (40 Codos y 10 Dedos) y el Perímetro 3078 Dedos (128 Codos y 6 Dedos)

(980·3078) ÷ 4 = 754110 Dedos cuadrados = área del cilindro de cereal

-Multipliquemos el área por la altura y sabremos el volumen. Siendo altura= 1+1/3 Codo resultaría un total de 32 dedos de alto el cilindro de cereal. De lo que:

32·754110 = 24131520 Dedos cúbicos es el total que contiene el montón.

Sabiendo que 1 Codo = 24 Dedos, resulta que 24³= Codo Cúbico = 13824 Dedos por Codo

Dividamos por 24 tres veces el Volumen o bien dividámoslo por 13824 y sacaremos su total en Codos cúbicos, que en este caso son 24131520÷13824= 1745,6, Codos cúbicos aproximadamente.

c) FINAL:

Por lo que hemos comprobado, si conocemos bien las medidas (el codo cúbico o el dedo cúbico), podremos comprar una carga recién trillada antes de que la pesen o encargar ánforas solo sabiendo su medida, conociendo exactamente cuantos kilos o litros de entonces, adquirimos y pudiendo discutir el precio. Por ello, para saber el total en estos casos, bastará que el contable o sacerdote que deseaba hacer el cálculo hiciera lo que hemos visto:

-Tomar su perímetro total con una cuerda y medir en Codos del Mar de Salomón

-Dividir la cuerda anterior por 3 y tendremos su diámetro

-Medir luego su perímetro en Codos Normales

-Doblar la cuerda del total del Diámetro en cuatro, para pasar a la siguiente operación:
-Multiplicar perímetro por diámetro (todo en codos normales) y dividirlos por 4. Tendremos el área (el modo mas fácil dfe hallarla hemos dicho que es doblar el total de su diámetro en 4 partes y multiplicarla por lo que marca el contorno).

-Multiplicar la cantidad anterior por la altura y tendremos los codos cúbicos.

-Si deseamos una mayor precisión, puede hacerse todo en Dedos Cúbicos, aunque habrá luego de dividirse por 24 tres veces (para hallar el cubicaje en codos, dado que un Codo cúbico = 24·24·24 dedos)      

Hasta aquí, lo que consideramos la explicación y exposición de lo que es el Codo Perimetral y su uso en la Antigüedad; lo que hemos deducido de la medida que se conservaba en el Cordón que rodeaba el Mar de Salomón, tal como  citan el Libro de los Reyes y el de Crónicas.

Análisis del Codo perimetral y los adornos simbólicos, en el Mar de Salomón

Vamos a analizar el Mar del Templo de Salomón, desde su simbología, sus proporciones y su significado matemático; pero, previamente, recogemos de nuevo las citas de El Antiguo Testamento, donde se menciona esta “pila” salomónica, para poder estudiarla conforme al texto exacto que la describe. -Tomamos la traducción de La Vulgata revisada y redactada por Jose Mª. Bover y Francisco Cantera Rios, en la edición de La Biblia de Biblioteca de Autores Cristianos (Madrid, 1947)-.

I-Libro de los Reyes, 7: 

“Hizo luego un mar fundido de metal, de diez codos de borde a borde; era perfectamente redondo, de diez codos de altura y un hilo de treinta codos ceñíale alrededor (23). Por debajo del borde ordábale entorno coloquintas, diez por cada codo, dando la vuelta a todo el mar. Las dos hileras de coloquintas habían sido fundidas a la vez que el mar (24). Este descansaba sobre doce toros de los que tres miraban a septentrión, tres a occidente, tres a medio dia y tres a oriente; el mar asentábase sobre ellos, cuyas partes traseras todas (volvíanse) hacia dentro(25). Tenía el mar el grueso de un palmo y su borde semejaba al de una gran copa a modo de flor de lirio, cabían en él dos mil batos(26)”

II- Crónicas, 4:

“E hizo el mar de metal fundido de diez codos de un borde a otro, redondo enteramente y de cinco codos de altura; y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos (2). Por debajo del borde le circundaban todo el entorno figuras de coloquíntidas, a diez por codo, dando toda la vuelta al mar; dos filas de coloquíntidas que habían sido fundidas al fundir aquel (3). Descansaba sobre doce reses vacuas que miraban, tres al norte, tres a occidente, tres al sur y tres al oriente; el mar reposaba sobre ellos y todas sus partes traseras estaban hacia adentro(4). El grosor del mar era de un palmo, y su borde labrado como el borde de una copa semejaba una flor de lirio y tenía cabida de tres mil batos(5)”

I-Los Doce Toros que sostenían el Mar Salomónico:

a)simbolismo totémico relacionado con otras fuentes (Patio de los Leones o Mar de Plata)

En los dos textos bíblicos que hemos recogido, podemos ver que esta gran pila, se posaba sobre doce toros. No entraremos en este momento en disertaciones sobre el valor del Codo hebreo (en época de Salomón), pero sabemos con cetreza que su medida se aproximaba a los cincuenta centímetros; lo que nos obliga a pensar en una fuente realizada en bronce y de unas dimensiones colosales (mas de cinco metros de diámetro). Pese a las diferencias con otras pilas similares y que consideramos sus sucesoras, o desciendientes en simbolismo; a nuestro juicio, muchas de estas fuentes de abluciones guardan un significado muy parecido. Ello creemos que se observa de un modo bastante claro en la del Patio de los Leones, que tiene como base doce totems, que de algún modo, son el símbolo de la Alhambra. Hemos leido un importante estudio realizado por Jesús Bermúdez, Ana Gómez Román y Manuel Rodríguez, sobre la iconografia de esta fuente del palacio granadino; donde demuestran sus origenes milenarios y su significado relacionado con el Cosmos. Mencionando como antecesoras a esta, pilas y fuentes persas, mesopotámicas y del Antiguo Egipto, que igualmente tienen como base doce animales, mirando a los puntos cardinales.

Bien sabido es que el totem de la fuerza, entre los babilonios fue el león, pero también el toro. Aunque el felino era considerado mas bien el símbolo de la guerra y de la ferocidad, mientras el bovino guardaba un significado preferentemente relacionado con el calendario, el Sol y las fases de la Luna. Ello porque los cuernos de nuestro satélite (que marcan el tiempo leido de manera mas sencilla), recordaron en casi todas las Civilizaciones los de una vaca. "Bovido" sagrado que se consideraba la madre Luna, que nos daba la luz en la noche, en periodos cercanos a las cuatro semanas (siendo los ciclos lunisolares similares a los  femeninos). Madre Luna y padre Sol fué una constante en todas las religiones antiguas y de esta unión de astros, surge leyendas o cuentos tan populares como el del “toro enamorado de la Luna”; que ve el reflejo de su luz en el agua e intenta besarla mientras la bebe. Bella alegoría que creemos, nos recuerda el modo de estudiar la astronomía en la Antigüedad que se realizaba mediante el proceso que a continuación comentamos (sirviéndose de un estanque o de un oasis); un método de análisis de los cielos, que consideramos generó, la importancia de las pilas, los estanques y los "mares" en los palacios antiguos:

Pues para el estudio de los astros, el medio mas sencillo seguido  fué el de clavar palos, a una igual distancia, a los lados y el frente en un estanque. Tras ello, se pasaban cuerdas de un lado a otro, atadas a los postes, formando con ellas cuadrados (cuadrantes) perfectos. Una vez dividida la superficie del oasis -o pila-, en un damero hecho con cordeles visibles, tensados sobre el agua; se procedía al análisis del cielo reflejado en ella. Durante meses, años (o siglos), estudiaban las sombras del día, la posición del Sol y -sobre todo- se dibujaba, noche tras noche y hora tras hora, la posición que guardaba la Luna y las estrellas, entres los cuadrantes del damero. Con este sistema, en pocos años podían dominar la posición de los astros en punto que deseáramos estudiarlos. Un proceso que de hacerse en cualquier otro lugar, donde nos traslademos y construyéramos un damero similar, nos iba a mostrar las variaciones del cielo conforme a latitud y longitud.

El estudio de las estrellas en la forma que relatamos para los pueblos del desierto, creemos fué de tal importancia, que se recordó durante milenios en todos sus monumentos, palacios o templos (desde Mesopotamia a las modernas mezquitas). Así en ellos, aún observaremos los techos con artesonados dibujados con astros, adornos plenos de estrellas y figuras geometrico-matemáticas, que a nuestro juicio, rememoran el estudio de la bóveda celeste en el desierto. Esta fue la cultura que construyó la Alhambra, que tenía su origen en Egipto o Babilonia (del III milenio a.C.). Por lo que muchos de los modelos que nacieron hace cinco mil años, continuaron repitiéndose por todo Asia Menor y el Mediterraneo. Pues tanta era la importancia de la matemática y las estrellas para estas culturas, que la "estrella guía” del desierto y de la caravana, aparece hasta en las banderas de la mayor parte de las naciones con ese origen milenario. Las civilizaciones “hijas” de quienes "descubrieron la astronomía hace miles de años", que aún conservan como motivos sagrados la “Media Luna” o la Estrella (de cinco puntas, o la de David). Por cuanto decimos: En nuestra opinión, el Mar de Salomón, tiene mucho en común con esos estanques donde se estudiaba astronomía y hasta con esa Fuente de los Leones. Pila que también se orienta a los cuatro puntos cardinales, marcándolos en redondo, y cuyo significado creemos une al Tiempo con el Espacio. A las doce horas y a los doce meses del año con las medidas sagradas. Pues parece mas que justificado considerar, que los doce toros divididos de tres en tres, orientados a los cuatro puntos cardinales simbolizan las Estaciones, los meses y las horas. Pero también los grados en el círculo, ya que si multiplicamos estos bóvidos, por lo Codos que sobre ellos marcaba el cordón que rodeaba la pila; nos sadrá el número completo de grados de la circunferencia y dias del año en el calendario egipcio: 

12 toros x 30 Codos = 360 grados (360 + 5 = año egipcio; dividido en 12 meses de 30 dias)

La similitud y significado paralelo con la de la Alhambra, a nuestro parecer es mucho; pese a que no hemos visto ningún estudio realizado sobre las medidas del “plato” de la mencionada Fuente de los Leones. Pese a ello, pero para quien quisiera realizarlo, le presentamos las premisas que a continuación exponemos, para comprender el simbolismo de estas pilas sagradas (a nuestro juicio). “Vasos de abluciones” que simbolizan para algunas Civilizaciones, la “fuente de la sabiduría y del conocimiento”. De las que se dice también había otra famosa en Medina Al-Zahara, llamada el Mar de Plata, donde se reflejaban las estrellas, los planetas e incluso las luces de las piedras semipreciosas, que estaban engarzadas en los capiteles nazaries de este palacio. Por lo demás, el hecho de que a estas grandes pilas, se les denominara "Mares", creemos que dice mucho sobre su uso en origen y acerca de su significado. Algo que a nuestro juicio procede de que en ellas se hacía un "espejo del mar", para poder estudiar los cielos y con ello posibilitar guiarse sobre los mares y las arenas del desierto.


b) Los doce Toros; doce meses agrupados en cuatro Estaciones y la división de la circunferencia:

Por cuanto hemos expuesto no nos queda la menor duda de que los doce toros bajo la pila, mirando de tres en tres a los puntos cardinales, son el símbolo claro del tiempo, que ya desde el III milenio a.C., se dividía en Babilonia o en Egipto en doce meses y en doce horas dobles (del dia). Habíamos dicho que los egipcios,  hacia el siglo XXVII a.C., imponen el año de 360 dias (mas cinco festivos); año que simbolizaron en los 360 grados en los que también dividieron la circunferencia. De tal modo el giro anual, se correspondía con el total de grados que comprendían el círculo en su geometría, uniendo así la órbita de planetas a la matemática.

Sobre esta división de la circunferencia en 360, en verdad se desconoce si este es un sistema que pudo tener su origen en Mesopotamia, hacia el IV mileno a.C. y de aquí llegar a Egipto (donde lo unieron los sacerdotes conceptualmente al número de dias del año calendárico). Pues los babilonios usaban el sistema duodecimal mas ajustado con este de 360 grados y se guiaban por un complejo calendario lunar, mas antiguo que el del Nilo. Sistema que fue heredado por los hebreos y los helenos, donde alternaban ciclos anuales de trece meses, cada tres años solares, regulando y reajustando el cada diecinueve años solares los periodos del Sol, que se igualan con los de nuestro satélite cada 6939 dias (aproximadamente).

De tal manera no creemos que pueda haber dudas sobre que los doce toros del Mar de Salomón (y los doce leones de la Alhambra) sean los doce meses del año, que en el templo judío vemos divididos en cuatro grupos o Estaciones. De ello, nara el Libro de los Reyes y el de Crónicas que cada tres bóvidos (unidos) miraban a un punto cardinal. Además, esta división en cuatro grupos, nos habla claramente del estudio de la circunferencia, en cuadrantes. Algo que igualmente sucede en El Patio de los Leones, pues bajo la fuente hay cuatro canales, señalando Norte-Sur Este-Oeste, dando forma de "Rosa de los Vientos" a la pila cenral.  Siendo este diseño puramente geométrico y matemético, imprescindible para analizar un círculo, porque lo primero que debemos de realizar es dividirlo en cuatro, trazando sobre él dos líneas transversales (una de norte a sur y otra de este a oeste). De tal manera, haciendo una cruz sobre la circunferencia y una vez separada en cuatro partes (cuadrantes), podemos iniciar su razonamiento; análisis que comenzará por triangular estos "cuatro gajos resultantes", llamados cuadrantes. Ese medio de dividir las areas redondas, es el único con el que podremos estudiar los círculos y para ello lo mejor es servirse de puntos fijos marcados, para trazar desde aquellos unas coordenadas. De tal manera, en el caso de la pila que analizamos en el Templo de Salomón, gracias a los adornos que El Antiguo Testamento nos relata, consideramos que fuera muy fácil utilizar este area redonda para estudiar y "cuadrar" allí la circunferencia...

II)- El cordón de treinta Codos hebreos marcados, que ceñía toda esta pila:


a) La posibilidad de escribir "pi" en sistema métrico hebreo y el verdadero contorno de la fuente:

Ya hemos, dicho que estos 30 Codos, perfectamente marcados en una cuerda en bronce, que rodeaba el borde de todo El Mar Salomónico, simbolizarían los 30 dias del mes egipcio, para conformar los 360 grados circulares. Puesto que aunque los hebreos usaban un calendario babilónico y lunisolar, gran parte de sus costumbres continuaron con sus arraigos mosaicos, traidos en El Exodo, desde el Nilo. Mas el relato bíblico que nos dice que el contorno de la pila perfectamente redonda guardaba el tamaño de 30 Codos (con un diámetro de 10). Versículo que tiene un "problema" o debemos de entender con un sentido distinto al que desean darle, interpretando que "pi" para los judios era=3.

Pues si reflexionamos un poco, comprenderemos como cualquiera que tomase un cordón y lo pusiera alrededor de aquella pila, vería rápidamente el valor verdadero de “pi” aproximado (que no es precisamente 3). Del mismo modo, si midiéramos el contorno del Mar de Salomón observáríamos un mayor perímetro al marcado de 30 Codos. Máxime cuando a través de los textos, conocían perfectamente que la anchura de aquel Mar, que era de diez Codos; por cuanto bastaría con abrazarlo con una cuerda métrica, para comprender que el perímetro verdadero era de mas de 31 Codos (no esos 30 que había adornados y marcados en su cenefa hecha con un cordón de bronce). Concretamente, si pusiéramos alrededor del Mar de Salomón una cuerda, descubriríamos, que el total del contorno, era de unos 31,416 Codos. Lo que en medición judía sería lo mismo que: 31 Codos + 2 Palmos y 2 Dedos (aproximadamente). O bien 31 Codos y 10 Dedos (debido a que el codo hebreo se dividía en 6 palmos de 4 dedos cada).

Curiosamente, la división del Codo hebreo permite escribir “pi” de manera métrica perfecta…. Por cuanto el valor π, en la cultura y metrología hebráica, podía expresarse en una cantidad casi exacta a través de la fórmula vista antes en El Mar de Salomón: Siendo el Diámetro 10 Codos, el Perímetro será de 31 codos y 10 dedos. De lo que valiendo cada Codo 24 dedos, podemos escribir Diámetro del Mar = 240 Dedos y Perímetro 754 Dedos. Por lo que:   

π= 754 (dedos) ÷ 240 (dedos) = 10/31,416 Codos. = 754/240 = 3,141666…

En nuestra opinion, no debería haber dudas acerca de que se hubiera medido el perímetro real de esta fuente. Puesto que nos parece imposible pensar, que en los cientos de años que aquella pila estuvo en el centro del Templo de Salomón, nadie tomase una cuerda, marcada con codos, palmos o dedos y la rodeara con ella.... Máxime cuando estas cuerdas "metricas" las fabricaban y había en todo templo, para poder dirimir disputas sobre pesos, medidas y terrenos (entre los fieles). Siendo los sacerdotes, los que en último término, solían ponderar y medir exactamente las mercancías (o areas), con areglo a "las proporciones" que marcaba el templo -para evitar problemas o litigios y mediar en el comercio-. Por cuanto decirmos es imposible pensar que jamás un rabino o un fiel, rodeó el contorno del Mar de Salomón para ver su longitud, más aún si consideramos que precisamente un cordón de bronce ceñía aquella pila, como “anunciando” lo que había de hacerse para comprender el significado de aquel "mar"... Un significado métrico y preciso en un lugar donde “la medida” era la fuente de toda la construcción; pues recordemos que el Antiguo Testamento dedica versículos y versículos a especificar exactamente el tamaño en codos, de capacidad, longitud, altura, volúmenes y áreas (de cada capitel, pila o pared, de aquel lugar sagrado). 


Por cuanto vemos, ya hay dos dudas que nos inquietan: La primera, que "pi" curiosamente se pueda escribir en sistema métrico judío con la fórmula bastante exacta de 745/240 Dedos (justo la medida entera y en Dedos que guarda el Mar de Salomón...). A lo que hemos de añadir algo tan sencillo como que aquel quien forjó y fundió la gran pila, hubo de saber exactamente su tamaño (aunque solo fuera por cobrar el valor del bronce, entonces carísimo). Ya que si lo calculamos con un π equivalente a “3”, resultaría que tendría un 5% menos de metal (y de precio...); no cuadrando nunca el peso del bronce con el tamaño dado al "plato de la fuente". De ello, desde el maestro fundidor (que se decía fuè Hiram); hasta Salomón, quien la encarga, paga y allí la sitúa; hubieron de conocer y calcular bien su valor, su area, peso y tamaño (tanto como miles de personas que pasaron junto a ella). Entre otros motivos, porque si leemos bien los textos bíblios que hablan de esta, describen su capacidad en agua narrando que era de 2000 o 3000 "batos". Mostrando claramente que aquella era igualmente una forma de establecer medidas de volumen y de líquidos, por lo que el conocimiento exacto de su area era imprescindible.


b) Planteamiento del Codo "perimetral":

Hemos expuesto que nos resulta imposible considerar que nadie hubiera medido con exactitud el contorno del Mar dándose cuenta de que era mayor a esos 30 Codos que marcaba. No solo por ser algo tan fácil de hacer; sinó sobre todo, porque estas cuerdas marcadas en Codos perfectamente reguladas, eran  un trabajo que preferentemente se hacía en los templos (para que no se engañase en pesos y medidas, creando sogas tensadas y secadas, con el fin de estas no se deformaran ni tuvieran erores). Pues de ello y de la perfecta medición, dependía el mercado próspero y sin disputas; tanto como se podían dirimir problemas de ventas, de propiedades, y sobre todo, de lindes. Por lo demás, tal como hemos visto no nos parece casual que π se pueda escribir en sistema métrico judío con la exactitud que hemos hallado; valiéndose de un perímetro de 10 codos (240 dedos), que precisamente nos dará un diámetro de 31 codos y 10 dedos (754 dedos). Es decir, que la fórmula "Pi" = 754/240= 3,1416666… ; no sale de nuestra imaginación, sinó del tamaño exacto de la pila de abluciones del templo de Salomón que estudiamos. Evidentemente, en toda superficie redonda el períemetro dividido por el diámetro, saldrá "pi". Pero lo extraño en este caso, es que se pueda escribir la cifra exactamente en Dedos...

Siguiendo con lo que estudiamos; como recoge en El Antiguo Testamento , había otra cuerda de bronce, que rodeaba aquel Mar; marcada exactamente con  30 Codos…. Codos que rodeaban al Mar que debían ser mucho mayores al Codo normal; tanto que ello se podría percibir a primera vista, por cualquier persona observadora. Así, cuanto exponemos, sobre el verdadero perímetro de la pila = 31,416 Codos;  “choca” con lo que leemos en el texto bíblico, que nos dice exactamente que aquel cordón broncineo, que rodeaba el Mar, media solo 30 …. Al leer esto, por dos veces escrito en El Libro de los Reyes y el de Crónicas, nos hemos preguntado si es que nadie (en los cientos de años que estuvo en pié este templo), sacó una cuerda métrica y comparó el Codo vedadero con aquel deformado y mucho mayor, que rodeaba esa fuente.... Pues entre ambos existiría una diferencia de mas de un Dedo, algo que como decimos a simple vista se puede observar (siendo el que circundaba el Mar de Salomón 1,0472 veces mas grande).

Por cuanto decimos, hemos considerado otra hipótes, atendiendo a  la conclusión primera que se puede obtener, pensando sobre los por qués de este cordón marcado con 30 Codos mayores alrededor de esta pila de abuciones. Pues creemos  que aquel Codo perfectamente marcado en 30 partes iguales en ese hilo de bronce que rodeaba el Mar, era el Codo de medidas circulares. Es decir, que aquel era el “patrón” para poder medir y calcular diámeros y perímetros, pues su valor era del Codo multiplicado por π….. (Ya que al no haberse incluido la razón “pi”=3,1416, que hubiera debido dividir el perimetro en 31,416 codos; esta medida quedaba deformada como “patrón perimetral”). -Mas tarde se entenderá perfectamente qué es lo que determinamos por un "Codo Perimetral", tanto como el uso que creemos tuvo-

Podemos preguntarnos, para qué pueden necesitar una medida que corresponda a 10 Codos × “Pi” ÷ 30. Algo que a nuestro juicio es muy sencillo de entender: Simplemente para medir diámetros, pues la razón que de esa fórmula se obtiene, deja el cáculo del area y volúmenes de la circunferencia simplificado, pudiéndo realizarlo tan solo dividiendo el perímetro por 3. Ya que hablamos es de un Codo 1,0471917551 mayor que el normal y que serviría para medir las superficies circulares, calculando facilmente su diámetro. Pues valiéndose de él no, haría falta conocer el valor de “pi”, sinó bastaría con aplicar ese patrón a la medición de objetos redondos en el diámetro, doblar su tamaño recogido en una cuerda, en tres partes y haber obtenido así el diámetro. Con este valor se multiplicaría luego por el del contorno para conocer su tamaño de áreas y volúmenes. (¡Utilísimo!).

EJEMPLO PRÁCTICO: Para entenderlo mejor, vamos a poner un ejemplo.
Pensemos que tenemos una choza de piedra (o una torre) circular y encargamos al escriba del templo que nos la mida para calcular su area, para vederla. La choza no puede medirse por dentro, ya que sus muros son muy anchos y está dividida en habitaciones. Pese a ello, y no pudiendo transportar el diámetro a un lado de la choza (por estar en lugar escarpado), hay una solución:
Bastará que rodeemos con una cuerda métrica  dividida en "Codos Perimetrales" (los que marcaba el cordón que rodeaba el Mar de Salomón) y el cálculo es inmediato, pues solo se necesita dividir entre 3 esta cuerda, para hallar el diámetro exacto:

Ejemplo 1º: 
12 Codos Perimetrales de contorno tiene la choza o torre redonda 
Solución: Dividir 12 entre 3 = diametro  en Codo Normal 
12 C.P./3 = 4 Codos Normales de diámetro

Tras ello, vuélvase a medir el perímetro de la choza en Codos Normales y ya se podría operar para hallar areas y etc sin haber tenido que aplicar "pi". Es decir:
Si el contorno de la choza medía 12 Codos Perimetrales, es que tenía 12,5663 Codos Normales; es decir 12 Codos + 13 Dedos y medio (aprox).
Del siguiente modo tan sencillo hallamos su area:
(12,5663 x 4) : 4 = 12 Codos, 13, 5 Dedos cuadrados es su área.
Para encontrala basta con multiplicar el perímetro de la choza por 1/4 del diámetro.
Ello porque:
PERIMETRO en Codo Normal x DIAMETRO en Codo Normal = AREA · 1/4
(para la comprensión de esta forma de calcular el área ver el siguiente comentario al blog)
Ejemplo 2º:
Una torre circular tiene 15 Codos y 6 Dedos (366 Dedos) Perimetrales de contorno e igualmente no podemos medirla por dentro ni trasladar su diámetro, para saber su área-
Solución: Saber el perímetro en Codos marcados en el Mar de Salomón, medir con una cuerda y dividirla en 3 tres partes; así obtendremos el diámetro exacto en Codos Normales (no hace falta saber dividir, bastará con doblar la cuerda en tres partes iguales)
15 Codos y 6 Dedos : 3  = 5 Codos y 2 Dedos es el Diámetro exacto (122 Dedos)
Tras ello, volver a medir el exterior en Codos Normales el contorno. Nos saldrá  383,2 Dedos. Luego simplemente multiplicar diámetro y perímetro en Codo Normal, para hallar areas y etc.
SOLUCION: Area = Perímetro x Diametro : 4  
(122 Dedos x 383 Dedos) : 4 = 1168,5 Dedos cuadrados (aprox) 

Ahora intentemos hacer la misma operación, por el procedimiento  normal:
Midiendo el diámetro multiplicando por un "pi" de la época, como era 3+1/7 = 22/7 
Veremos que es altamente difícil el cálculo ya que no tenemos cifras y haríamos
122 Dedos x 22/7 = 122 x 22 : 7 = 383,2 dedos 
Tras minutos de hacer cuentas llegaremos a hallar el area, pero al carecer de cifras y tener que operar con quebrados, es mucho mas rápido usar el Codo Perimetral, que nos dará exactamente en el instante el Perímetro dividido por "pi", simplemente midiendo con ese Patrón y dividiendo por 3.

Evidentemente cuanto comentamos puede parecer extraño, mas invitamos al inteligente lector a reflexionar sobre la contabilidad y cálculo de areas hace miles de años, sin la existencia de cifras. Mas aún, sobre cómo en la Antigüedad se podía saber si un barril, una jarrita, un vaso o una tinaja, guardaban exactamente unas medidas concretas. Pues los objetos para venta o manutención de líquidos (tales como vinos, o cervezas; entonces preciadísimos) eran comunmente de forma cilíndrica o circular. Es mas, cuanto comentamos se documenta por la necesaria existencia siempre en los templos de medidas de longitud y capacidad, para que los comerciantes y sus clientes pudieran comprobar allí las ponderaciones y denunciar el fraude ante los sacerdotes (en caso de existir mercado con medidas o pesos engañosos). Porque como hemos dicho, la determinación de pesos, volúmenes y medidas; era un cometido de los jueces (sagrados) del templo. De ello, la importancia que da La Biblia en dictar cuantos codos tenía cada lugar, o el tamaño exacto de los objetos del templo de Salomón; pues con ello se podían comparar y ponderar las medidas para comprobarlas. Evitando así fraudes y disputas, tanto como se conseguía un comercio limpio y una Sociedad próspera.

De ello consideramos que una de las medidas que necesitase fuera esta que hemos descubierto equivalente a “π Codos”; o Codo Perimetral (que le hemos llamado), para poder comprobar en cualquier barril, jarra, vaso o tina; el volumen que esta contenía (sin precisar conocer “pi”; bastando con medir con aquel patrón,  perfectamente marcado en “el cordón” que rodeaba el Mar del Templo. (un Codo para medir longitudes circulares; que era 0,04720, mayor que el normal usado para las lineales con el que al dividir por 3 obteníamos el diámero con relación a su períemetro).

Pese a ello, si algún lector tuviera muchas dudas de lo que exponemos, le invitamos a leer de nuevo los textos que hemos recogido de Reyes y Crónicas, que finalizan diciendo sobre este Mar: “cabían en él dos mil batos” (Reyes I; 7,26); “tenía cabida de tres mi batos” (Paralipómenos II; 4, 5). Vemos que ambos textos no se ponen de acuerdo sobre la medida y el volumen de aquel recipiente. Mas lo que sí es llamativo, es que nos hablen de una cabida en “batos”; medida de líquidos hebrea, que se ha de traducir por “barril”. El “Bato”, se tiene por una cantidad cercana a los 37, ó, 38 litros y  era la mas común para venta de líquidos entre los israelitas. Mayor que el cántaro, consideramos era el volumen del cubo de 15 x 15 X 15 Dedos hebreos; o bien el de un barril cilíndrico que tuviera 1 Codo de alto x 10 Dedos de diámetro. Evidentemente, las medidas exactas de líquidos, en recipientes cúbicos o cuadrados eran muy difíciles y construir. Porque la madera ha de ser trabajada al milímetro, para que al hacer un objeto en forma cuadrada; no pierda por los lados. Por lo que los medidores en cubo eran tan solo para templos y lugares de ponderación, mientras todos los barriles y recipientes de líquidos, comunmente eran redondos, no permitiendo ser por ello facilmente calculados, si no se vaciaban o no se conocía “pi” y se sabía multiplicar con quebrados. Por todo ello y como las jarras y vasos cerámicos eran y son circulares,  el medio mejor para calcular este “batos” (su volumen) es precisamente tener un Codo de “Pi” (una medida de Codo  Perimetral para conocer las superficies circulares).

Determinado qué significaba este Codo que marcaba el cordón que rodeaba el Mar de Salomón, como un patrón para que comerciantes y personas sin grandes conocimientos matemáticos, para que pudieran medir las superficies, áreas y volúmenes circulares; solo valiéndose de cuerdas y sin precisar dividir y solo multiplicacr de manera simple. Tras ello, pasamos a analizar el sentido que podrían tener las diez coloquíntidas que adornaban cada Codo.

III)-Las 300 “coloquíntidas” que decoraban (de diez en diez), cada Codo del cordón:

Una vez visto que toda la pila versa sobre de π, representando la orientación, el Tiempo -los ciclos de las cuatro Estaciones y el año- y el Espacio. Nos planteamos qué sentido podían tener estas diez coloquíntidas que había bajo cada Codo marcado en el cordón. Tal como narra La Biblia,  estas iban puestas en dos hileras (que no filas), alrededor de toda la pila. Frutas fundidas en bronce, que son un cítrico semejante a la naranja (de origen egipcio), y que realmente consideramos pudieron simbolizar los planetas o los astros. Concretamente, su significado aquí quizás se centrase en simbolizar por su forma, las esferas (los planetas, astros y por ende: La Tierra y La Luna), y por sus gajo, las partes o divisiones de la circunferencia. De ello, consideramos que estas frutas que rodeaban el Mar de Salomón, eran “como marcadores” del Espacio, puestos en dos hileras en sotuer (no en paralelo -unas bajo otras-) . Que se situaban equidistantes en grupos de diez, divididas de cinco en cinco y alrededor de todo el perímetro. De este modo creemos que señalan los grados en una división de la circunferencia en base decimal, es decir en un círculo de 300 grados (sistema que quizás toman los hebreos en época de Salomón).

Evidentemente, si hubiéramos leído que el número de naranjas (coloquíntidas) que rodeaban la pila de Salomón era un total de 360, rapidamente hubiéramos entendido que se trataba de los 360 grados de la circunferencia. Pero al ver que son un total de trescientas, no es normal suponer que se tratase de una división decimal del círculo. Aunque los 12 toros que hay bajo estas, y los 30 Codos nos hablan claramente de que su simbolismo es calendárico y de los 360 grados o dias del año, en los 12 meses.

Pese a ello, las 300 coloquíntidas a nuestro entender se refieren a los dias lunisolares del ciclo anual en el calendario hebreo. Por ello las coloquíntidas se situaban en dos hileras, alternándose, unas arriba y otras abajo alternativamente. Ello porque los dias de la luna tienen una duración de 29,53, lo que exige meses de 29 y 30 días, alternativos. Meses que de este modo se conforman en 29 dias y medio (aproximadamente); de lo que los 30 Codos que en total rodeaban el Mar, creemos que representan estos 29 y 30 dias del mes lunisolar y las coloquíntidas la capacidad de calcular fracciones del dia en el número 30 . Pues como vimos, al total que marcaba el cordón le faltaba un Codo (ya que debía ser de 31,416… Codos). Lo que posiblemente también signifique esa necesidad de ajustes entre las jornadas  lunisolares, para encajar el calendario lunar con el del Sol, algo que se hacía con esos meses de 29 y 30 dias, tanto como conociendo perfectamente los ciclos de los astros, para poder cuadrarlos y regularlos cada 235 lunaciones (19 años solares).

De ello, consideramos que estas 300 coloquíntidas puestas en dos filas alrededor de aquel Mar de Salomón, marcan una circunferencia de 300 grados al igual que un periodo similar al Saros; no tan perfecto, pero también bastante exacto en las fases de regulación entre la Luna y el Sol. Este sería de 300 lunas, que es casi exactamente a 24 años solares y un cuarto (24 años y 93 dias); de lo que el periodo completo en el que Luna y Sol encajan exactamente en base 12 y como múltiplo de 300, es de 1200 lunaciones (300 x 4). Dado que:

300 x 29,53 dias = 8859 dias ;  porque cuatro ciclos de 300 lunaciones = 1200 lunas.

1200 x 29,53 dias = 35436 dias (o diez años de 12 meses lunares) = 97 años solares (sobrando entre un astro y otro tan solo una semana, 7 dias)

Aunque realmente cuando Luna y Sol se unían era en el periodo conocido entre los babilonios y hebreos como Saros y“gran Saros”; que consistía en 19 años solares, correspodiendo 235 lunaciones. Tanto como el Gran Saros conformaban 8 ciclos de 19 años = 152 años , dado que 365,2422 dias x 152 años ≥ 29,53 dias x 1880

Pues 1880 lunaciones de 29,53 dias = 55516,4 dias

Y 152 años solares de 365,2422 = 55516,81 dias

Por todo ello, consideramos que estas frutas colocadas de 10 en 10, bajo cada Codo del cordón en el Mar, simbolizan las fases de la luna y los dias lunares, completando un número de 300 habida cuenta de que el pueblo israelita era puramente decimalista en época salomónica (circ 950 a.C.). Ya que la “base diez” se intentaba imponer en esta época hasta el punto de considerar mejor dividir una circunferencia en 300 grados que en 360. Por lo que creemos que esas 300 naranjas son 300 grados (bajo 30 Codos), y así aparece dividida en esta pila central del templo de Salomón. Una división que además se justifica cosmologicamente, pues hemos visto que uno de los modos de “encajar” las fases de la luna con las de el Sol es multiplicando 10 lunaciones = 295,3 dias y añadiendo a ello 70 dias mas (pues 295,3 + 70 = 365,3, que viene a ser la duración del año solar).

De lo que resultaría que diez meses lunisolares (unos 295) vendrían a simbolizar las 295 coloquíntidas; que como se situaban en sotuer de cinco en cinco, dejarían cinco últimas para recomenzar a contar el siguiente año. Siendo así que el año lunar de los judíos podía estar representado en 300 grados de la circunferencia (como 300 + 65 dias), al igual que los egipcios figuraban que su ciclo anual conformaban el total de grados de su círculo (360 + 5 dias epagómenos). Ello, porque los egipcios pusieron como festivos (o "dias inexistentes") estos 5 últimos y que “sobraban” a su calendario de 360 dias. Siendo llamados epagómenos los cinco dias finales del año egipcio (origen de las posteriores Saturnales). De lo que pudiera deducirse que como los hebreos marcaban muchas mas fiestas obligadas, tales como el Sabbath (al menos 52 al año), tanto como varias celebraciones del tipo “epagómenas”. Ello podía configurar este total de 65 dias que al año le sobrasen. Siendo el año laboral judío quizás de 300 dias tal como su circunferencia tenía 300 grados….

Con lo que consideramos que esta pila así marcada, nos habla de grados centesimales, otorgando valor 300 a la circunferencia. De igual forma, al tener 30 codos que subdividen esa graduación del perímetro, creemos que partirían igualmente en proporciones relativas a 10 cada grado. Siendo así el cuadrante de la circunferencia = 75 grados. (75⁰ x 4 =300⁰).

Finalmente, diremos que hablamos del cuadrante, porque consideramos que los 12 toros bajo el Mar, mirando en grupos de tres cada uno a un punto cardinal, igualmente habla de la división de la circunferencia en cuatro partes. De las que se marcan 4 y 12 con los bóvidos bajo ella, siendo el valor del cuadrante centesimal de 300 grados dividido entre 4 y 12 = 75 grados, subdivididos en 25^o . De lo que a cada mes o toro, le corresponderían 25 grados de la circunferencia (25^o x 12=300^o).

Tristemente se perdió cualquier escultura o grabado que pudiera mostrar exactamente como estaban situados los toros y las frutas, bajo el cordón de los “Codos perimétricos”. Pues de haberse conservados, pudiéramos haber comprendido aún mejor el significado astronómico de este Mar de Salomón. Que sin duda es el origen o pertenece a la “familia” de muchas fuentes y pilas similares, con sentido matemático-astral (entre las que hemos destacado la de Los Leones, en Granada). 

Bronce Tartessio en Templo de Salomón

Continuamos intentando interpretar “por qué” libros sagrados como La Biblia pudieron dar tanta importancia a la descripción de medidas y proporciones (algo que para el hombre de hoy apenas parece tener importancia….). Aunque bien conocido es que los grandes sabios de La Antigüedad (desde Platón a Vitrubio) o los pensadores del Renacimiento  -desde Pacioli, o Piero della Francesca, hasta Kepler-, dedicaron su vida y su obra al análisis de “la medida” y de “las proporciones”. Evidentemente, todo aquello puede ahora carecer de sentido, pues la ciencia va por otros derroteros, mas nunca podemos decir, ni afirmar, que aquellas teorías fueran falsas ni absurdas. Puesto que pertenecen a una forma de verdad científica, que –como intentaremos demostrar- realizaba hipótesis demostrables y mostrables. En nuestros comentarios anteriores, habíamos hablado repetidamente de la “matemática fáctica”; “ciencia” que afirmamos y creemos que existió, pero  que a nuestro amigo matemático, educado en las exactas puras, le había parecido “una chapuza”. Pues dijimos que es nuestra teoría, que en la Antigüedad, se hallaban los teoremas y las razones matemáticas por procedimientos empíricos (no de cálculo) y aunque aquello pueda producir “cierto repelús” a un hombre educado en ciencia moderna, esa matemática “fáctica”, no deja de ser una verdad científica. Puesto que “la verdad” en la ciencia (a nuestro juico), es el medio mas sencillo de resolver mejor un problema. Por lo que “la verdad” es “mutable, transformable y derogable”, desde el momento en que se halle otro medio mejor y mas eficaz, para solucionar ese problema. Pese a ello, un medio que resolvió anteriormente un problema de manera eficaz, fue una verdad científica del pasado.

En relación a ello, habíamos visto, como hay pruebas en la Protohistoria de que para encontrar “pi” bastaba con trazar un círculo (por ejemplo, en la arena con un palo y una cuerda) y dividir el perímetro por el diámetro. Uno de los mejores testimonios de ello, es el famoso “Mar del Templo de Salomón”; lavabo de abluciones del gran templo de los judíos, cuyas proporciones y descripción en La Biblia (como vimos), no dejan lugar a dudas de que nos habla de un “π sagrado” y hallado de modo empírico. Aquella enorme “pila bautismal” colocada en el centro del lugar mas sagrado, era de metal (cobre), fundido por Hiram en las zonas de Palestina cercanas a Fenicia. Evidentemente, ello remite a los cargamentos que Salomón trajo desde “allende” los mares, durante su alianza con este rey fenicio llamado Hiram. En La Biblia se cita a Hiram también como constructor y arquitecto del templo de Salomón, lo que creemos hace referencia clara a que tanto los materiales (con los que ese lugar sagrado se levantó), así como las técnicas de construcción, su simbología y decoración; tenía mucha relación con los de este monarca fenicio amigo de Salomón. Hiram, quien llevó al mayor esplendor a la ciudad de Tiro y que entró en alianza con Salomón para navegar hasta los lugares mas lejanos, en busca de metales preciosos y marfil.

En otros estudios nuestros, hemos demostrado (creemos que con suficientes pruebas históricas), como las famosas naves de Tarshish que traía Salomón -citadas en El Antiguo Testamento-, venía hasta el Sur de Iberia. Pues en La Biblia se narra que cada cuatro años llegaban a las costas de Fenicia e Israel, enormes barcos, cargados de metales preciosos, y procedentes de la lejana Tarshish. En nuestra opinión, tanto como en la teoría clásica de la arqueología; estos barcos viajaban al final del Mediterraneo, hasta la Tarshish andaluza. Aunque, como las teorías históricas se ven “obligadas” a “renovarse” cada un determinado número de años, ahora la identificación del Tartessos ibérico, por la Tarshish bíblica se enfrenta a múltiples detractores. Ello porque se cita la llegada de monos, marfil y pavos, dentro de las mismas naves; sin pensarse quizás que aún en Gibraltar hay primates (no ingleses) y en el sur de Iberia hubo hasta época prerromana elefantes (tal como lo muestra la entrada de Anibal desde Hispania en Roma). De igual manera, el marfil, los monos y las aves raras abundaban en las zonas Sur de influencia Tartessia. Nos referimos a las “zona ibéricas ahora llamadas bere-beres”; areas que se sabe, tuvieron gran contacto con el Sur de nuestra Península, durante el neolítico y en la Edad de Bronce -tanto como para considerarse que la etimología de Bereber se relacione con la de ibero (i-beres)-.

Aunque en lo que se refiere a cargamentos llegados hasta las costas de Tiro e Israel, traídos en esas naves de Tarshish, por Hiram y Salomón a mediados del siglo X a.C.; posiblemente alude a mercancías compradas por los púnicos en Gadir. Donde se comerciaba con objetos ibéricos (procedentes de la vecina Tartessos), tanto como con mercancías llegadas de las fundaciones fenicias atlánticas; entre las que destacaban las del Sur, como la actual Mogador (Agadir). Pues conocido es que en esas costas de marruecos los fenicios tuvieron “importantes puertos”, donde comerciaban con oro y marfil. Al igual que esa zona africana que visitaban los gaditanos, estaba repleta de extraños monos y de raras aves -tales como las gallinas de Guinea y etc.-, a las que quizás se refiere La Biblia al mencionar “pavos” en las naves que llegaban de Tarshish.

Sea como fuere, parece indudable que una parte de la mercancía llegada hasta las costas de Israel y Tiro, traídas cada cuatro años por sus reyes (salomón y Hiram), procedían de Tartessos. Dictaminando los arqueólogos mas ilustres que el bronce llegado hasta Israel en esta época vendría en su mayor parte desde puertos fenicos del Sur de Andalucía. Algo que podemos corroborar con un planeamiento nuestro como el siguiente:

En este siglo X a.C., la ruta hasta el resto de minas de estaño (con cobre) existentes en el Mediterráneo, fue cerrada y dominada por los griegos. Nos referimos al otro lugar donde existe casiterita en el Mediterráneo, que era los yacimientos de la Cólquida (al final del Mar Negro –en el Cáucaso-). Minas que estaban “cerradas” y dominadas” por los helenos tras vencer a Troya. Pues la caída de la ciudad de Paris no tuvo otro motivo mas que l supremacía de este paso hacia el cobre y el estaño. Guerra sucedida aproximadamente un siglo y medio antes del levantamiento del Templo de Salomón, tras la que Micenas se hace ya con el dominio del Estrecho del Bósforo. Ello supuso, que los fenicios no pudieran tener apenas acceso al comercio del cobre y menos del Estaño de esa zona Norte (que dominaban los griegos) y hubieran de buscar nuevas rutas hacia el Oeste y el Este.

Las salidas hacia El Este eran muy dificultosas, aunque parece que gracias a la alianza con Salomón, consiguen establecer bases en el Mar Rojo, desde donde viajar a Arabia y zonas cercanas a la actual India. Pese a ello, en estas rutas de Oriente, apenas existen minas de casiterita y cobre (juntas); o ,de haberlas, están muy lejanas al Mar Rojo. De aquí la importancia de Gadir desde el siglo XI a.C., situado junto a los mejores yacimientos de estaño y cobre del Mediterráneo y tan solo a unas semanas de distancia de Fenicia. De ello, podemos deducir que el bronce y los metales preciosos que recubrían y adornaban todo el Templo de Salomón, en su mayor parte procederían de Tartessos (incluso de las las actuales minas de Rio Tinto, que se saben activas desde el III milenio a.C. y que hasta tienen una población cercana llamada “Minas de Tarsis”).

Tras recordar que ese Mar del Templo de Salomón, seguramente estaba hecho con metales procedentes de nuestra Andalucía; pasemos a analizar su importancia matemática y a su interpretación de símbolos. Entre los significados mas importantes que podemos considerar tuvo, puede deducirse que El Mar de aquel recinto sagrado recordaba posiblemente las singladuras de los comerciantes de metales; marinos que llegaban en las naves de Tarshish, hasta los lugares mas remotos de entonces. Pues, como hemos dicho, enviar naves hasta Tartessos en el siglo X a.C., debía ser algo similar a lo que actualmente supone lanzar un satélite al espacio (una labor solo reservada a naciones punteras en tecnología). De ello que aquella pila central, hecha en bronce y oro, con forma de “flor de lis” y tamaño de diez codos (mas de cinco metros), guardando proporciones matemáticas, fuera seguramente una reliquia que “adoraba” los progresos de la sociedad salomónica. Quizás algo similar a lo que simbolizaba la famosa escultura de “la molécula”, que se erigió Bruselas como un “totem científico”, al comienzos de la Era Atómica (cuando precisamente se estaba generando la Unión Europea, con su capital en esta ciudad). Una pila sagrada que representaría sin duda los avances tecnológicos de la “Era Salomón”, tal como las catedrales se construían, en gran parte, para demostrar los conocimientos científicos y matemáticos de la Sociedad (en especial de los sacerdotes). Por cuanto creemos muy importante el análisis matemático de esta “pila”; lugar de abluciones que quizás tuviera relación con el propio significado del bautismo entre los judeo-cristianos….

Pero antes de entrar en ello, deseamos exponer que no somos matemático ni nunca fue esta una disciplina en la que brillásemos. Es mas, fui un mal estudiante de ellas en mi juventud, pero la música nos llevó hasta esa ciencia. Pese a ello, hasta encontrarlas en la arqueología, nunca sentí gran atracción ni estábamos capacitado para las ciencias exactas (sinó mas bien todo lo contrario). Vocación que surge hacia los veinte años, estudiando la carrera de Derecho, cuando me interesé y escribimos sobre las leyes en la Antigüedad (Derecho protohistórico). Y por inspirarme también en Antiguas Culturas, para componer obras de música… Todo ello nos llevó al estudio de religiones antiguas, y ,de estas, hubimos de pasar al de la astronomía. Con ello nos vimos obligados a “ponernos al dia” en matemáticas, pese a que lo hicimos de manera autodidacta y buscando nuestro método. Esta “trayectoria” nacida de la vocación y nunca de una preparación académica, posiblemente nos llevó a ver las matemáticas desde otro prisma, visión que quizás para un científico, sea una “chapuza”. Es lo que hemos denominado “matemática fáctica (o empírica)”; con la que intentamos demostrar que hace miles de años, valiéndose de palos y cuerdas, podían hallar soluciones a problemas, que mas tarde (cuando existieron las cifras y el cálculo) se consiguió explicar por procedimientos razonados.

Por cuanto decimos, todo aquel que considere “chapucera” esta forma que planteamos de ver la matemática; está en su pleno derecho de hacerlo; pues el medio de encontrar las soluciones es empírico y no a través de la razón (valiéndose del ingenio, no del método). Pese a ello, para que se comprenda lo que fue la vida en el pasado; deseamos exponer, como también, antes de que existieran los metales, el hombre fabricó todos sus artilugios, herramientas y armas, usando solo piedras, palos y cuerdas. Consecuentemente, si vemos una hoz hecha con lascas de silex entalladas en una madera, un martillo construido con pedruscos atados a un bastón, o un cuchillo de obsidiana… Nos podrá parecer algo “chapucero” y unas herramientas con las que fuera imposible trabajar. Pero gracias a la arqueología, hoy podemos saber y afirmar, que durante decenas de miles de años se trabajó, vivió y luchó, con esos instrumentos hechos valiéndose solo de palos, cuerdas y piedras. Tras exponer claramente esto, pasemos a ver lo que pudo ser la “matemática fáctica” pensada con palos y cuerdas....

El Mar del Templo de Salomón

Habíamos visto en el anterior comentario, que el Templo del rey Salomón tenía una pila central que parecía hacer mención muy explícita al número “pi”. Un hecho que estuvimos discutiendo y comentando con nuestro amigo “el matemático”; pese a que aquel hombre de exactas no terminaba por convencerse de que realmente hubiera una relación entre p y “el mar del Templo de Salomón”.  Tanto fue así, que a los pocos meses regresó. Ya no venía a escuchar Tartessos en mi guitarra, ni siquiera se interesaba por las obras que estábamos componiendo y preparando para grabar en Japón. Volvía para discutir nuestras ideas sobre la existencia y la importancia sagrada de π , en la Antigüedad. Esta vez “se nos presentó” con un trabajo bajo el brazo, obra inédita aún, de dos autores licenciados en exactas. Un estudio que trataba sobre la Historia de esta ciencia entre los israelitas. Era un texto aún sin publicar, aunque me advirtió que pronto se presentaría en la Universidad Complutense y se editaría por la facultad de Ciencias exactas. Realmente, pude comprobar años mas tarde que así se había hecho y que el trabajo que mencionamos formaba parte de un libro llamado “Seminario de Historia de la matemática” (que salió a la luz hacia 1991, en Madrid). Pese a ello, las conclusiones a las que llegaba en este capítulo dedicado a Israel, muy poco nos gustaron, por lo que nos vamos a permitir no citar a los dos autores (ya que, de algún modo, los refutaremos).

Abrió nuestro amigo aquel trabajo aún inédito y señaló: -“Mira el capítulo V, se llama la Aritmética bíblica y comienza diciendo textualmente: Los israelitas, nunca tuvieron un especial interés en las matemáticas”-.

Lo leí con detenimiento, pués no daba crédito a lo que allí ponía y apostillé: -“Hombre, yo creía que era mas que evidente que un pueblo que usa uno de los calendarios mas complejos (como es, el lunisolar babilónico); con especial énfasis a determinadas cadencias calendáricas, que regulan sus fiestas y todos sus ritos; tanto como por la importancia que dan los judios a las fechas relacionadas con conjunciones planetarias…. Creo que con ello, es mas que evidente que los cálculos matemáticos debieron tener gran importancia en Israel. Pero; es que hay otros datos históricos que lo determinan, como son textos que enseñan que en Egipto, antes de ser esclavizados, parece que los judíos cumplen la función de escribas entre las dinastías Hicsas (con capital en Avaris). Y que igualmente en “el cautiverio” de Babilonia hay mención a israelitas actuando como destacados contables y de “funcionarios semi-eslavizados” que se dedicaban a “la hacienda” durante su estancia en Mesopotamia. Sin contar con todo el tema “filosófico judío” que relaciona la numerología y los planetas con la historia del propio pueblo, o con los textos antiguos que hablan de musica y de temperamentos en Israel; que relacionan la música sagrada o del templo con la religión (ya desde tiempos de Salomón)…”.

Se quedó parado y prosiguió:  -“De ´eso`, pues parece que no hay mucho ni tanto. Mira, mira y abrió el libro que traia para que yo leyera”-.  Allí, en esta obra preparada por dos autores (mujer y hombre) para presentarse en breve,  en la facultad de ciencias exactas ponía exactamente:

“El valor π era considerado 3 (Reyes, 7,23). La “Misna Eruvin” retiene este valor aproximado, pero la Misna-ha-Middot (Siglo II d.C.) estima 22/7. De todas formas, mi opinión personal es que a los judíos les importaba muy poco lo que valiera π”. Leí esta frase detenidamente y mi comentario fue:  -“¿No irán a publicar eso?. Es que no tiene ni pies ni cabeza. Si me hablas del pueblo ibero, en cuyo alfabeto no sabemos aún como contaban, ni hemos podido ver vestigios de cálculos matemáticos o calendáricos… Lo entiendo. Pero de los judíos que están llenos de referencias a medidas, fechas; a modos de vida relacionados con días determinados o mediciones … .Es mas, tienen un clarísimo sistema decimal, que escribían con su alefato desde finales del II milenio; cuando aún el alfabeto ni siquiera se había desarrollado en la Hélade ”-. Tristemente esa era soloo nuestra opinión, la de un “aficionado”; porque poco después lo publicaron tal como lo vimos y salió precisamente igual a como lo recogimos antes, en la página 319, de este Seminario de Historia de las Matemáticas (capítulo V)…

Me limité a intentar convencerle que aquello no estaba suficientemente documentado. Tanto era así que la propia cita del Libro de los Reyes, era incorrecta; pues no determinaba ni su número de libro. De tal manera, cogí la Biblia (en una buena traducción, como la Vulgata) y la abrí por la parte que hablaba de la construcción del Templo (Libro I de los Reyes, 7), donde decía:

“Construyó Salomón su casa en trece años, tras los cuales quedó totalmente acabada” (7,1). Narrándose como se hizo con cedros del Líbano con una planta y tamaño de cien codos, por cincuenta de ancho y treinta codos de alto (7,2). Luego, llamó Salomón al arquitecto del rey de Tiro, un hombre llamado Hiram, quien adorna y cubre el templo de objetos votivos y de metales preciosos. Construyendo y colocando en primer lugar las dos columnas del final del templo, que tenían 18 codos de altura, a las que rodeaba un hilo de 12 codos (7,15). Sobre estos situó dos capiteles de 5 codos cada uno de alto y a cada cual le labró decorando 7 redes trenzadas; llevando cada red dos series de granadas esculpidas (7,16-18).

“Hizo luego un mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde; era perfectamente redondo, de diez codos de anchura y un hilo de treinta codos ceñíale alrededor. Por debajo del borde ordábale en torno coliquíntidas, diez por cada codo, dando la vuelta a todo el mar. Las dos hileras de coliquíntidas habian sido fundidas a la vez que el mar. Este descansaba sobre doce toros, de los que tres miraban a septentrión, tres a occidente, tres a medio dia y tres a oriente. El mar asentábase sobre ellos (…) Tenía el mar el grueso de un palmo y su borde semejaba al de una copa, a modo de flor de lirio; cabían el él dos mil batos” (I, Reyes, 7, 23-26). –antes de proseguir diremos que las coliquintidas son frutas redondas, semejantes a la calabaza y el “bato” es una medida judia de capacidad, correspondiente al “barril” de unos 37 a 38 litros modernos-.

Sigue este interesante capítulo que narra la construcción del Templo de Salomón, diciendo: “Fabricó diez basas de bronce, cada una de diez codos de longitud, cuatro de anchura y tres de altura” (7,27). Tanto como cuenta que en estas basas, colocó 10 aguamaniles, cuya capacidad de cada uno era 40 “batos”, pues medían “cuatro codos de dimensión “ (hemos de entender de cubicaje en este versículo 7,28). Cada una de estas pilas descansaban sobre esos basamentos y cada basa se situaba equidistante, cinco a cada lado del templo. Todo cuanto va recogiendo que se recubre de metales precisos en el lugar sagrado de Salomón,, fue expresamente creado y fundido por Hiram para ese rey (7,46).

Tras mostrar este interesante pasaje de La Biblia a nuestro amigo matemático, e indicarle que el anterior texto que traía y trataba sobre la matemática de los judios, estaba falto de documentación (a nuestro juicio tanto que incluso su cita era incompleta). Pasamos a demostrarle que las medidas y los números eran mas que importantes en El Antiguo Testamento. De modo tan importante para ellos, que estas del templo del rey Salomón, se volvían a recoger en Paralipómenos. De tal manera, abrimos el Libro II de Crónicas y le enseñamos una mención al templo de Salomón casi igual a la anterior, pero con otra redacción. En esta se daban otros tamaños (a veces), pero que en otras se correspondía plenamente la descripción, decoración y medidas con el anterior. En este segundo texto que narraba la creación del templo de Salomón, se hablaba explicitamente de que “el Codo usado era el Antiguo de Israel” (Paral. II, 3,3); algo que mostraba la importancia de “la medida” entre los judios desde al menos esta época (950 a.C.). Tanto como mencionaba un lugar sagrado para oficiar; el altar de bronce de 20 por 20 codos, recubierto de oro (Par.II; 3,8). Dos querubines cuyas alas abiertas median 20 codos, cubriendo de lado a lado el templo y las dos columnas de 35 codos cada al final del altar (3,15 y ss). Volviendo a mencionar el altar de 20 x 20 codos de área, por 10 codos de alto hecho en bronce (4,1). Finalmente regresa a la descripción del mar de diez codos de lado a lado, siendo casi exacto lo que aquí pone con lo que decía en Reyes, II, 7 (referente a tamaños, capacidad y decoración con un cordón; sostenida aquella gran pila sobre doce toros y con trescientas frutas decorando todo su perímetro) .

Tras enseñarle aquello, le hice reflexionar y le pregunté si no creía que estas medidas, ese número de codos asignado a cada parte del templo de Salomón, o a cada elemento decorativo, respondía a un “canon científico-religioso”. Si no opinaba que aquello podía tener un simbolismo, relacionado con la matemática y la astronomía. Un simbolismo sagrado, y un significado iniciático. Pero cuyo origen realmente estuviera entroncado con conocimientos de astronomía, de cálculo, y hasta de física. Se quedó pensativo… Solo dijo:  -“Sí… Pero es que tal y como me intentas demostrar las cosas en la Historia Antigua… Es que no hay pruebas; aquí lo único que se puede realmente afirmar es que El Antiguo Testamento recoge unas medidas sagradas. Pero de allí a determinar que estas pueden tener relación con la matemática y la matemática con la religión… Es que no hay pruebas”.

Solo pude contestarle:  -“Por suerte, la arqueología y la Historia Antigua no son ciencias que estudian la delincuencia, ni el crimen. Pues de haber sido así, el culpable casi siempre saldría libre y sin cargos, por falta de pruebas. Muy distintamente, en el ámbito judicial, se trabaja con hipótesis que entienden como pruebas fehacientes, algo tan sencillo como el móvil, o la falta de coartadas. De igual manera, las sospechas fundadas y los indicios suficientes, son motivos determinantes para que la policía y el juez investigue y determine la culpabilidad de aquel que comunmente apela a falta de pruebas y proclama su inocencia manifiesta... Pese a ello, nadie duda en la mayoría de los casos, de tomar como pruebas inculpatorias, los “indicios suficientes”, la falta de coherencia en declaraciones, o el no poder determinar qué hacía, donde y con quien estaba a la hora en que se cometió el crimen… Es verdad que ha habido errores judiciales; pero todos creemos en la justicia y salimos a la calle sin problemas, ni el menor temor a ser detenidos por lo que no hemos cometido….

Ahora bien, en la Historia (y sobre todo en la Historia Antigua), parece que hasta que no se demuestran los hechos con objetos o escritos que lo corroboren (cual certificados notariales), todo se pone en duda. Ello supone tal exigencia al historiador, como lo sería pedir al sistema judicial, que hasta que no se encuentre el cadáver o el arma del delito, no pueda ser juzgado un crimen… Verdad es que cuando esto ocurre (desaparecer una pistola o un cuerpo), se trata como un delito diferente; mas nunca se deja por ello en libertad al sospechoso de ser culpable. Pese a ello, en la arqueología hasta que no aparezca un documento que explique el teorema de Pitágoras por escrito, no se dirá que este teorema se conocía en un lugar y en una fecha -Aunque aquel lugar fuera donde estudió Pitágoras y esté repleto de pirámides....-. Algo que es altamente erróneo desde el punto de vista científico, porque si vemos que una cultura dominaba la triangulación; de tal manera que triangulaba anualmente todos sus campos para dividirlos y repartirlos en cada inundación (como hacían los egipcios desde el IV milenio a.C.). Resulta impensable creer que no dominasen el teorema que siglos después aprende Pitágoras en el templo de Luxor (donde se sabe que estudia ) y que recogieron sus discípulos helenos por escrito”.

Por cuanto decimos, vamos a intentar explicar qué pueden significar estas medidas del Templo del rey Salomón que tan destacadamente marca el Libro de Los Reyes y Paralipómenos. Pese a que siempre habrá quienes afirmen que aquellas nada prueban… Tanto es así que hemos visto dudar de que en Israel se conociera bien las fases de la Luna, mientras su calendario es de una complejidad especialísima, debiendo encajar las lunaciones de 29,53 dias, con el año solar de 365,2422. Usando para tal fin, un método alternativo lunisolar, nacido en Babilonia en el III milenio a.C., que incluye cada siete anualidades un mes mas lunar. Años de doce y treces meses, para completar el ciclo Saros, de diecinueve años solares, en los que Sol y Luna “coinciden” en una misma fecha; algo que ocurre cada 235 lunaciones, o, 6939,5 dias.... Pese a ello, quienes crearon el alefato, parece que fueron analfabetos (astronómicamente hablando...).

(continuará)